Metodi numerici in finanza: il pricing di opzioni esotiche Matematica e Finanza (Milano, 27 ottobre 2005) Marco Airoldi marco.airoldi@mediobanca.it Indice Le opzioni Alberi binomiali Differenze finite 2. Metodo Monte Carlo Metodi di quadratura (espansione perturbativa nei momenti) Conclusioni 9/17/2018

Metodi di pricing una vista d’insieme 9/17/2018

SEZIONE I – Le opzioni Definizione Opzione plain vanilla: un'opzione dà al suo possessore il diritto di acquistare o vendere, ad una data futura, un certo bene (il sottostante) ad un certo prezzo (detto prezzo di esercizio o “strike price”): Un’opzione è una scommessa (o un’assicurazione) Opzioni esotiche: in generale il mercato nel corso degli anni ha sviluppato opzioni con caratteristiche più complesse rispetto alle semplici “plain vanilla”. 9/17/2018

Opzioni asiatiche e con barriera Opzioni asiatiche sono opzioni il cui valore finale dipende dalla media aritmetica dei prezzi dell’attività sottostante, rilevati in date predeterminate: average price call: Opzione con barriera: il pay-off finale è condizionato dal fatto che il prezzo dell'attività sottostante abbia raggiunto o meno un certo livello (barriera). call down-out: 9/17/2018

Opzioni reverse cliquet e opzioni americane Opzione reverse cliquet: il pay-off finale è legato alla media delle performance negative del sottostante: Opzioni americane: sono opzioni in cui l’esercizio del diritto può avvenire prima della scadenza 9/17/2018

Il modello log-normale per i prezzi delle azioni Modello per l’evoluzione dei prezzi azionari: processo stocastico di Wiener / moto geometrico browniano la versione discreta di tale modello è il ben noto random walk Einstein 1905 -- Bachelier 1900! Distribuzione dei ritorni Distribuzione Gaussiana 9/17/2018

Equazione di Black & Scholes Problema dell’option pricing Sulla base del modello log-normale, il calcolo del prezzo di un’opzione si riduce ad un’equazione differenziale alle derivate parziali: Esistono soluzioni esatte nel caso delle opzioni più semplici Non esistono soluzioni esatte per la maggioranza delle opzioni esotiche. In generale il pricing di opzioni esotiche richiede algoritmi numerici. 9/17/2018

SEZIONE II – Il metodo Monte Carlo in finanza Il calcolo del prezzo di un’opzione si può riformulare tramite un integrale di cammino (dove i cammini sono tutte le possibili evoluzioni future dell’azione sottostante) Indicando con fp il pay-off dell’opzione relativamente ad un dato cammino, il prezzo dell’opzione ad oggi, f, sarà: essendo Ê il valore di aspettazione neutrale al rischio, T il tempo a scadenza ed r il tasso privo di rischio. L’applicazione del metodo Monte Carlo al caso in esame, consiste nel generare un numero sufficientemente alto di stime di fp da cui estrarre il valore medio. 9/17/2018

Il Monte Carlo e il calcolo di p Un’estrazione da un campione di numeri casuali può essere utilizzata come stimatore di un integrale Questo può essere interpretato come il valore di aspettazione della funzione f di due variabili aleatorie a valori uniformemente distribuiti nell’intervallo [-1, 1]x [-1, 1] Densità di probabilità uniforme. 9/17/2018

Il Monte Carlo e il calcolo di p Il valore dell’integrale può essere stimato tramite la media aritmetica di N valori di f(xi yi) dove ciascuna coppia (xi yi) è un campione estratto da una distribuzione uniforme in [-1, 1]x [-1, 1]. Ovvero: é uno stimatore di I=p/4. L’errore della stima si può dedurre dal T. del limite centrale: siano wi un set di variabili stocastiche i.i.d. con media m e varianza s2. La media W, nel limite N infinito, è una variabile stocastica distribuita gaussianamente con media: m e varianza s2/N. 9/17/2018

Scaling dell’errore nel Monte Carlo Nelle simulazioni Monte Carlo l’errore decresce come: Questo risultato è indipendente dalla dimensione del problema. Con il metodo del trapezoide l’errore nel calcolo di un integrale in D dimensioni scala come: L’indipendenza dalla dimensione, rende il metodo Monte Carlo uno dei mezzi numerici più potenti per la risoluzione di problemi in alte dimensioni. 9/17/2018

Il Monte Carlo nel pricing di un’opzione STEP 1 – Definire un processo stocastico per il sottostante STEP 2 – Costruire una grande numero di scenari (le possibili evoluzioni del sottostante azionario) Si divide l’intervallo di vita del derivato in m intervalli di ampiezza t. Si calcolano i valori futuri Si agli istanti ti = i t fino alla scadenza T. NB: il processo di simulazione richiede la generazione di m numeri casuali indipendenti normalmente distribuiti. 9/17/2018

Il Monte Carlo nel pricing di un’opzione STEP 3 – Valutare il valore del premio a scadenza sotto ciascun scenario (traiettoria). STEP 4 – Calcolare il valor medio (ovvero il prezzo dell’opzione!) e il relativo errore, sulla base della distribuzione ottenuta. Processi per il / i sottostanti Distribuzione probabilistica dei premi. Calcolo della media e dell’errore Scenari 9/17/2018

Il problema della generazione di numeri “casuali” Il Monte Carlo richiede la generazione di numeri casuali. E’ possibile per un computer (cioè una macchina deterministica) generare numeri veramente casuali? ---> NO! Esistono due soluzioni: Numeri pseudo casuali: sono numeri generati da un calcolatore tramite un algoritmo deterministico (basato usualmente sul generatore lineare congruente). I numeri prodotti non sono veramente casuali, anche se le loro proprietà statistiche sono simili a quelle delle sequenze casuali. I parametri a, b ed m determinano la qualità del generatore. a moltiplicatore, b incremento, m modulo. La sequenza di numeri casuali tenderà a ripetersi dopo un ciclo che, al più, potrà essere di lunghezza m. Numeri quasi casuali (-> Quasi Monte Carlo) 9/17/2018

Numeri Quasi Casuali Sequenze a bassa discrepanza / Simulazioni Quasi Monte Carlo Nel Monte Carlo l’errore scala lentamente all’aumentare del numero di cammini generati. La causa è legata a fenomeni di clusterizzazione dei punti campionati. Nelle sequenze a bassa discrepanza i punti sono generati (algoritmicamente) in modo da riempire lo spazio delle fasi nella maniera più uniforme possibile, andando a disporsi all’interno degli spazi lasciati vuoti dagli altri punti. Si dimostra che l’andamento asintotico della discrepanza, d, in D dimensioni è: 9/17/2018

Miglioramenti al Monte Carlo Sequenze a bassa discrepanza / Comportamento in Alte Dimensioni Vantaggi: Sono necessari meno scenari a parità di precisione Svantaggi: Il tasso di convergenza dipende dalla dimensionalità del problema (-> inefficiente in alte dimensioni). Quando si eseguono simulazioni Monte Carlo con un numero elevato di dimensioni si osserva che le dimensioni più alte tendono a diventare fortemente correlate (vedi figura). 9/17/2018

Perché il Monte Carlo Vantaggi Rispetto ad altri metodi numerici il Monte Carlo permette di trattare problemi in alte dimensioni. Semplice da implementare Svantaggi: Pesante da un punto di vista computazionale. 9/17/2018

SEZIONE III – Alberi binomiali E’ un metodo numerico basato sulla generazione di un albero L’albero rappresenta l’evoluzione dell’azione nel tempo, tramite un processo discreto su reticolo I movimenti azinari ammessi sono solo up o down Il reticolo converge nel limite del continuo al modello log-normale 9/17/2018

Alberi binomiali – metodo CRR Le probabilità dei movimenti up e down non sono uguali L’albero è simmetrico rispetto all’asse orizzontale. 9/17/2018

Alberi binomiali – metodo di Rubinstein Le probabilità dei movimenti up e down sono identiche (50%) L’albero non è simmetrico rispetto all’asse orizzontale. 9/17/2018

Alberi binomiali – calcolo del prezzo di un’opzioni Costruzione dell’albero secondo uno dei due metodi (CRR o Rubinstein) Costruzione a ritroso del prezzo dell’opzione partendo dal tempo finale (data di maturità dell’opzione) in cui il pay-off è noto Semplice da implementare Gestisce l’esercizio anticipato (opzioni americane) Limitato alle basse dimensionalità Richiede implementazioni ad hoc in base al tipo di contratto 9/17/2018

SEZIONE IV – Differenze finite E’ un metodo numerico basato sulla risoluzione delle equazioni alle derivate parziali di Black & Scholes Le equazioni e la funzione che rappresenta il prezzo dell’opzione vengono discretizzate E’ equivalente ad un albero trinomiale 9/17/2018

Differenze finite – metodo esplicito Si fissano le condizioni al contorno (in particolare le condizioni finali per t = data di maturità). Le equazioni sono risolte tramite una ricorsione di tipo “backward” (ovvero a ritroso) partendo dalla data di maturità, ricavando Fi,j in termini di Fi+1,j. 9/17/2018

Differenze finite - opzioni Relativamente semplice da implementare E’ possibile usare metodi di accelerazione Gestisce l’esercizio anticipato (opzioni americane) Limitato alle basse dimensionalità Richiede implementazioni ad hoc in base al tipo di contratto 9/17/2018

SEZIONE V – Metodi di quadratura Pricing di opzioni path dependent Integrale multiplo Integrali annidati (tanti quante sono le date di rilevazione) Integrali ricorsivi uni-dimensionali (che coinvolgono tipicamente funzioni di densità) Esempio: Opzioni Reverse cliquet 9/17/2018

Opzioni Reverse cliquet in uno schema di Quadratura Performance negative Prodotto di convoluzione (cioè un integrale) 9/17/2018

PDF nei metodi di Quadratura Due problemi principali: Come trattare le densità di probabilità (PDF); Come comporre in maniera efficiente le PDF (prodotti di convoluzione); Soluzioni proposte dalla letteratura: La PDF è rappresentata tramite una griglia di punti; La PDF è interpolata usando polinomi di Chebyshev; La PDF is modellata tramite una forma parametrica (+ fit quadratico); Svantaggi: La convoluzione delle PDF è pesante; Ciascuna PDF richiede la memorizzazione di molti punti; Nel caso di rappresentazione parametrica, si deve indovinare la forma della PDF; 9/17/2018

Espansione perturbativa nei momenti (ME) di una PDF ME: un metodo per approssimare una PDF tramite una serie perturbativa intorno ad una data PDF: Con la seguente condizione sui momenti …… Funzione Gaussiana (media zero, varianza unitaria) Da determinare risolvendo il sistema lineare 9/17/2018

Espansione perturbativa nei momenti (ME) di una PDF Espansione di una PDF includendo solo i primi 4 momenti: Funzione Gaussiana (media zero, varianza unitaria) Skewness – momento terzo (code asimmetriche) Kurtosis – momento quarto (code grasse) 9/17/2018

Convoluzione di PDF tramite i momenti Convoluzione in termini di PDF Integrale “Complesso” Convoluzione in termini dei momenti: Algebra elementare!! 9/17/2018

Strategia dell’espansione nei momenti (ME) Soluzione basata sull’espansione nei momenti: le operazioni tra variabili random sono risolte in termini dei momenti le PDF sono recuperate tramite un’espazione nei momenti. Vantaggi: i prodotti di convoluzione sono più semplici in termini dei momenti (solo algebra). pochi parametri da gestire (solo i primi momenti) per ciascuna PDF. 9/17/2018

Opzioni Reverse cliquet - risultati Option price r=9% s=30 % S0=100 H=m 4% T=2 year m = 24 ME(4) 0.82935 % ME(6) 0.82890 % ME(8) 0.82914 % ME(10) 0.82891 % ME(12) 0.82898 % Quasi MC Vantaggi L’algoritmo ME è semplice da implementare; Fornisce una precisione eccellente (l’errore è inferiore allo 0.1% già con pochi momenti); Il tempo di CPU scala linearmente con il numero di date di osservazione; i processi non normali possono essere trattati naturalmente; Svantaggi Non è disponibile, al momento, una stima dell’errore; 9/17/2018

Conclusioni Abbiamo presentato le principali metodologie numeriche applicate al calcolo del prezzo di un’opzione. I metodi numerici in finanza sono destinati a diventare sempre più importanti a causa dell’aumento di esoticità dei prodotti finanziari. 9/17/2018