Questa è la funzione esponenziale

Questa è la funzione esponenziale Consideriamo a = 2 f(x) = 2x

Se diamo alla x il valore X = 1, otteniamo per la funzione

f(1) =21 = 2 Se diamo alla x il valore X = 1, otteniamo per la funzione f(1) =21 = 2 Mentre se diamo alla x il valore X = 10, otteniamo per la funzione f(10) =210 = 1024

Questa parte del grafico è inutilizzabile Aumentando il valore della x di sole 10 volte il valore della funzione aumenta di più di 1000 volte Questo fatto può essere molto scomodo quando si devono eseguire calcoli ed utilizzare i grafici Questa parte del grafico è inutilizzabile e poiché le funzioni esponenziali, in modo più o meno complicato, sono usatissime in vari campi, questo capita molto spesso ?

Questa parte del grafico è inutilizzabile La funzione esponenziale costituisce il modello matematico che, in modo più o meno complicato, permette di descrivere fenomeni e situazioni in svariati campi Questa parte del grafico è inutilizzabile Ma può essere molto scomoda da usare!!! ?

Per aggirare l’ostacolo dovuto della scomodità si ricorre ad un «trucco»: Poiché, in una funzione esponenziale, la base è sempre la stessa, si possono utilizzare nei calcoli , inizialmente, i valori degli esponenti e solo successivamente il valore della funzione f(x) = ax

CONCENTRIAMOCI SULL’ESPONENTE X X è il valore da dare all’esponente della base a per ottenere il valore della funzione

X è il valore da dare all’esponente della base a per ottenere il valore della funzione Esempio 1:       6 è il valore dell’esponente della base a che ci permette di ottenere il valore della funzione  

X è il valore dell’esponente della base a che ci permette di ottenere il valore della funzione Esempio 2:         4 è il valore dell’esponente della base a = 3 che ci permette di ottenere il valore della funzione  

X è il valore dell’esponente della base a che ci permette di ottenere il valore della funzione Esempio 3:         - 4 è il valore dell’esponente della base a = 5 che ci permette di ottenere il valore della funzione  

Ee, poiché nel linguaggio delle funzioni Si può anche scrivere

  X è il valore dell’esponente della base a che ci permette di ottenere il valore della funzione y Invertiamo i ruoli tra l’esponente x e la funzione esponenziale y in modo da ottenere il valore dell’esponente dalla funzione    

X è il valore dell’esponente della base a che ci permette di ottenere il valore della funzione Invertiamo i ruoli tra l’esponente e la funzione esponenziale in modo da ottenere il valore dell’esponente dalla funzione   X , il valore dell’esponente della base a che ci permette di ottenere il valore della funzione, si chiama LOGARITMO IN BASE a DI y x = loga(ax)

    X è il valore dell’esponente della base a che ci permette di ottenere il valore della funzione Invertiamo i ruoli tra l’esponente e la funzione esponenziale in modo da ottenere il valore dell’esponente dalla funzione x = f -1(y) x = f -1(ax)  

Questo simbolo indica la funzione inversa Invertiamo i ruoli tra l’esponente e la funzione esponenziale in modo da ottenere il valore dell’esponente dalla funzione x = f -1(y) x = f -1(ax) Questo simbolo indica la funzione inversa

ha come funzione inversa f(x) = ax ha come funzione inversa x = loga f(x) E’ una funzione come tutte le altre, quindi può essere definita indipendentemente dalla funzione esponenziale f(x) = loga x

Che tipo di funzione è

E' una funzione biunivoca, perché ad ogni valore di f(x) corrisponde un solo valore di x

funzione invertibile f(x3) f(x2) f(x1) x1 x2 x3 E' una funzione biunivoca, perché ad ogni valore di f(x) corrisponde un solo valore di x f(x3) Di conseguenza è una funzione invertibile f(x2) f(x1) x1 x2 x3

x = f -1 (y) Funzione inversa è una funzione invertibile, cioè esiste una funzione tale che x = f -1 (y) da y = ax si passa a x = f -1 (y) Funzione inversa

x = f -1 (y) Per ottenere la funzione inversa è sufficiente che l’asse delle x , dove sono riportati gli esponenti prenda il posto dell’asse delle y (VALORI DELLA FUNZIONE) e viceversa

esempio di funzioni non invertibili f(x) = ax2+ bx + c f1(x) x1B x1A Ad ogni valore di f(x) corrispondono due valori di x

x = f -1 (y) Per ottenere la funzione inversa è sufficiente che l’asse delle x , dove sono riportati gli esponenti prenda il posto dell’asse delle y (VALORI DELLA FUNZIONE) e viceversa

Gli esponenti sono correttamente sull’asse delle y ma l’asse orizzontale, pur riportando i valori della funzione, è diretto in senso opposto rispetto al normale Per ovviare a questo inconveniente l’asse orizzontale deve ruotare perpendicolarmente al piano del disegno, intorno all’asse verticale

x 1

x Adesso rinominiamo gli assi mettendo x su quello orizzontale e y su quello verticale 1

x Adesso rinominiamo gli assi mettendo x su quello orizzontale e y su quello verticale 1

Questa è la funzione logaritmo f(x) Questa è la funzione logaritmo f(x) = logax 1 x

Questa è la funzione logaritmo f(x) f(x) = logax Questa è la funzione logaritmo f(x) = logax a > 1 1 x

Cerchiamo la funzione inversa della funzione esponenziale anche nel caso in cui f(x) = ax 0 < a < 1

0 < a < 1

f1(x) = loga x f2(x) = logb x

f1(x) = loga x 0 < a < 1 f2(x) = logb x b > 1

Sono simmetriche rispetto alla bisettrice del I e del III quadrante Le due funzioni f(x) = loga x e f(x) = a x Sono simmetriche rispetto alla bisettrice del I e del III quadrante f(x) = loga x

x è il valore dell’esponente della base a che ci permette di ottenere il valore della funzione f(x) Identica a:   da cui :   infine  

PROPRIETA’ DEI LOGARITMI IL LOGARITMO DI UN PRODOTTO E’ UGUALE ALLA SOMMA DEI LOGARITMI

IL LOGARITMO DI UN RAPPORTO E’ UGUALE ALLA DIFFERENZA DEI LOGARITMI PROPRIETA’ 2   IL LOGARITMO DI UN RAPPORTO E’ UGUALE ALLA DIFFERENZA DEI LOGARITMI

IL LOGARITMO DI UNA POTENZA E’ UGUALE AL PROPRIETA’ 3   IL LOGARITMO DI UNA POTENZA E’ UGUALE AL PRODOTTO DELL’ESPONENTE PER IL LOGARITMO DELLA BASE