La Trasformata di Fourier: il male e le cure, i mali delle cure e le cure dei mali delle cure Fabrizio Sellone The Smart Ant Group @Polito Dipartimento di Elettronica Politecnico di Torino E-Mail: fabrizio.sellone@polito.it

Generalità sulla FT La Trasformata di Fourier (FT): E’ uno degli strumenti matematici più importanti dell’analisi dei segnali. Consente di evidenziare alcune caratteristiche fondamentali dei segnali in un dominio di consistente significato fisico. Consente con relativa semplicità di capire come un segnale si modifica quando viene elaborato da un sistema lineare. martedì 18 settembre 2018 Fabrizio Sellone

Generalità sulla FT La Trasformata di Fourier Tempo Continuo (CTFT) è definita da: L’Antitrasformata di Fourier Tempo Continuo (CTIFT) è definita da: martedì 18 settembre 2018 Fabrizio Sellone

Generalità sulla FT La Trasformata di Fourier gode di numerose utili proprietà. Tra queste le due principali sono: martedì 18 settembre 2018 Fabrizio Sellone

Difficoltà nella Valutazione della FT In moltissime situazioni pratiche non è possibile risolvere l’integrale di Fourier: Non si sa svolgere l’integrale in forma chiusa. Non si dispone dell’espressione matematica del segnale da trasformare. martedì 18 settembre 2018 Fabrizio Sellone

Difficoltà nella Valutazione della FT In altre situazioni pratiche non è utile risolvere l’integrale di Fourier: L’espressione analitica della trasformata è troppo complicata da poter essere facilmente interpretata con il buon senso ed è troppo costoso ricavarne informazioni numeriche (che sarebbero comunque approssimate). E’ auspicabile disporre di un algoritmo che implementi la trasformata per poter realizzare apparati che svolgano la valutazione della FT automaticamente sulla base di misure fatte sui segnali. martedì 18 settembre 2018 Fabrizio Sellone

Difficoltà nella Valutazione della FT Problemi legati all’implementazione software: L’integrale è un operatore non implementato sul calcolatore. I limiti di integrazione sono infiniti. Le variabili tempo e frequenza sono continue. La valutazione su calcolatore è in aritmetica a precisione finita. martedì 18 settembre 2018 Fabrizio Sellone

Valutazione Numerica della FT Un metodo che consente di ottenere una stima accurata dell’integrale di Fourier consiste nell’utilizzare la DFT (Discrete Fourier Transform). Esiste un algoritmo semplice e veloce per la sua implementazione in software: FFT (Fast Fourier Transform). martedì 18 settembre 2018 Fabrizio Sellone

Segnale e Spettro Periodicizzato Dato un segnale x(t), si definisce Segnale Periodicizzato il segnale: Dato uno spettro X(f), si definisce Spettro Periodicizzato lo spettro: martedì 18 settembre 2018 Fabrizio Sellone

Segnale Periodicizzato martedì 18 settembre 2018 Fabrizio Sellone

Spettro Periodicizzato martedì 18 settembre 2018 Fabrizio Sellone

Il fenomeno dell’Aliasing Nel periodo fondamentale, il segnale (lo spettro) periodicizzato è una versione con aliasing del segnale (spettro) originale. In altri termini il segnale (spettro) originale e la sua versione periodicizzata differiscono, nel periodo fondamentale, per via dei contributi che le repliche del segnale (spettro) fuori periodo danno all’interno del periodo fondamentale. martedì 18 settembre 2018 Fabrizio Sellone

Il fenomeno dell’Aliasing martedì 18 settembre 2018 Fabrizio Sellone

Discrete Fourier Transform (DFT) Dopo una discreta dose di matematica… a partire dalle versioni periodicizzate di segnale e spettro si perviene alla seguente coppia di relazioni esatte: martedì 18 settembre 2018 Fabrizio Sellone

Le Proprietà della DFT Le precedenti relazioni godono di interessanti proprietà: Sono relazioni esatte tra una funzione del segnale ed una funzione del suo spettro. Non contengono integrali ma sommatorie di un numero finito di termini. Le variabili in gioco sono versioni discretizzate (campionate) delle variabili continue tempo e frequenza. martedì 18 settembre 2018 Fabrizio Sellone

I Parametri della DFT I cinque parametri della DFT sono: T0 : Intervallo di campionamento nel tempo. T : Intervallo di periodicizzazione nel tempo. f0 : Intervallo di campionamento in frequenza. Bw : Intervallo di periodicizzazione in frequenza. N : Numero di campioni nel tempo ed in frequenza. martedì 18 settembre 2018 Fabrizio Sellone

I Parametri della DFT Di questi cinque parametri, solamente due sono liberi. Gli altri tre sono univocamente determinati per mezzo delle seguenti relazioni fondamentali: martedì 18 settembre 2018 Fabrizio Sellone

Valutazione Numerica della FT La valutazione dell’integrale di Fourier per via numerica è fatta nella pratica attraverso la DFT (FFT). Supponiamo di disporre dei campioni (non rumorosi) del segnale di cui vogliamo valutare lo spettro e supponiamo che, sia il segnale, sia il suo spettro siano evanescenti (ipotesi ragionevole in molti casi pratici). martedì 18 settembre 2018 Fabrizio Sellone

Scelta dei Parametri Una possibile procedura può essere la seguente (dipende molto da quali vincoli sono prioritari): Si vincola T in modo da ridurre il fenomeno dell’aliasing nel tempo. Si vincola Bw=1/T0 in modo da ridurre il fenomeno dell’aliasing in frequenza. Se non si ha idea dello spettro del segnale si procederà in modo iterativo. martedì 18 settembre 2018 Fabrizio Sellone

Scelta dei Parametri In generale, segnali fluttuanti più rapidamente avranno spettri che si estenderanno verso frequenze più elevate. Quindi richiederanno campionamenti più fitti (T0 minori) o equivalentemente periodicizzazioni più grandi (Bw=1/T0 maggiori). martedì 18 settembre 2018 Fabrizio Sellone

Scelta dei Parametri Si aggiustano i parametri T e T0 in modo che, compatibilmente coi vincoli sull’aliasing, si abbia: Una sufficiente risoluzione in frequenza f0=1/T. Un numero di campioni N non troppo elevato per evitare di avere un ingestibile carico computazionale. Una frequenza di campionamento fc=1/T0 ottenibile in pratica. martedì 18 settembre 2018 Fabrizio Sellone

Scelta dei Parametri Come sempre, la scelta di un insieme di parametri è un compromesso tra i contrastanti vincoli pratici. E’ anche possibile ottenere considerevoli informazioni sullo spettro di segnali periodici (che non sono evanescenti) a patto di fornire alla DFT campioni del segnale nel tempo troncato ad un numero intero di periodi. martedì 18 settembre 2018 Fabrizio Sellone

Lo Zero-Padding Se il numero di campioni del segnale a disposizione non è sufficiente ad avere una “gradevole” rappresentazione dello spettro, è possibile aggiungere in coda ai campioni disponibili una serie di 0. Si tratta di finti campioni ragionevoli, per via dell’evanescenza del segnale. martedì 18 settembre 2018 Fabrizio Sellone

Lo Zero-Padding Il risultato è quello di uno spettro rappresentato su più campioni e quindi dall’aspetto più “gradevole”. Da un punto di vista quantitativo, si può dimostrare che lo spettro così ottenuto è una versione interpolata dello spettro ottenibile senza zero-padding. martedì 18 settembre 2018 Fabrizio Sellone

Lo Zero-Padding Le funzioni interpolanti sono del tipo sin(x)/x. Con l’aggiunta di zeri non si è aggiunta informazione (a meno che il segnale non fosse davvero nullo) e pertanto la effettiva risoluzione spettrale non è migliorata. martedì 18 settembre 2018 Fabrizio Sellone

Interpretazione dei Risultati Il risultato della DFT è pur sempre una valutazione numerica e come tale è affetta da problemi legati alla precisione finita di rappresentazione dei numeri su calcolatore: Errori di arrotondamento. Cancellazione numerica. Propagazione degli errori. Condizionamento e Stabilità degli algoritmi. martedì 18 settembre 2018 Fabrizio Sellone

Interpretazione dei Risultati La DFT elabora dati negli intervalli (0,T) e (0,Bw). Per segnali causali l’intervallo di visualizzazione temporale è quello naturale. Nel caso degli spettri, l’intervallo naturale di visualizzazione è (-Bw/2,Bw/2). Poiché lo spettro è periodicizzato, è sufficiente anteporre la sua seconda metà alla prima. martedì 18 settembre 2018 Fabrizio Sellone

Interpretazione dei Risultati martedì 18 settembre 2018 Fabrizio Sellone

Interpretazione dei Risultati Il fenomeno dell’aliasing rende vana l’informazione sulla fase degli spettri ottenuti mediante la DFT. La valutazione della fase è accettabile solo in zone a bassissimo rischio di aliasing, cioè intorno all’origine. martedì 18 settembre 2018 Fabrizio Sellone

Interpretazione dei Risultati Nelle zone di evanescenza degli spettri gli errori numerici di valutazione sono più incisivi. La fase, pertanto, assume un andamento rumoroso inconsistente (rumore numerico di troncamento). Infatti: martedì 18 settembre 2018 Fabrizio Sellone

Fast Fourier Transform (FFT) 1965: Cooley e Tukey pubblicano il nuovo algoritmo FFT per la valutazione efficiente della DTF. Ancora oggi resta una delle più efficienti tecniche di valutazione della DFT. Si parla alle volte di “Algoritmo a Farfalla”. Complessità: N·log2(N)/2 martedì 18 settembre 2018 Fabrizio Sellone

Esempio Valutazione dello spettro del segnale: Riduzione aliasing nel tempo: martedì 18 settembre 2018 Fabrizio Sellone

Esempio Riduzione aliasing in frequenza: martedì 18 settembre 2018 Fabrizio Sellone

Esempio Il numero di campioni deve essere intero, meglio se una potenza del 2. In conclusione: martedì 18 settembre 2018 Fabrizio Sellone

Esempio martedì 18 settembre 2018 Fabrizio Sellone

Esempio martedì 18 settembre 2018 Fabrizio Sellone

Applicazioni L’algoritmo FFT è largamente utilizzato in molti settori della tecnica. In particolare, è utilizzato come algoritmo fondamentale per: Analisi di vibrazioni. Analisi di rumore. Caratterizzazione di sistemi. Analisi spettrale ed analisi di sistemi. ... martedì 18 settembre 2018 Fabrizio Sellone

35670A 2- or 4-channel DC 102.4 kHz FFT Dynamic Signal Analyzer martedì 18 settembre 2018 Fabrizio Sellone

35670A 2- or 4-channel DC 102.4 kHz FFT Dynamic Signal Analyzer 102.4 kHz at 1 channel, 51.2 kHz at 2 channel, 25.6 kHz at 4 channel Source: Random, Burst random, Periodic chirp, Burst chirp, Pink noise, Sine, Swept-Sine, Arbitrary Measurements: Linear Spectrum, Cross Spectrum, Power Spectrum, Coherence, Power, Spectral Density, Frequency Response, Time Waveform, Autocorrelation, Cross-Correlation, Histogram, PDF, CDF martedì 18 settembre 2018 Fabrizio Sellone