ELETTROTECNICA

COS’E' L'ELETTROTECNICA? E' la tecnica dell'energia elettrica, cioè le possibili applicazioni degli effetti prodotti dalle cariche, ferme o in movimento. L'ELETTROMAGNETISMO E' ALLA BASE DI UNA GRANDE QUANTITA' DI FENOMENI FISICI conversione elettromeccanica dell'energia comunicazione in fibra ottica dispositivi a micro-onde ricezione televisiva comunicazione via satellite radar oscilloscopi etc…

DAI CAMPI… …AI CIRCUITI Leggi di Maxwell Fisica Elettrotecnica Fenomeni Applicazioni

CAMPO X1 f(X1) X3 f(X3) X2 f(X2) X4 f(X4) In una regione dello spazio diciamo che è presente un campo se in tale regione è definita una grandezza fisica funzione della posizione. Esempio: Campo di Temperature

CAMPO VETTORIALE X1 f(X1) X3 f(X3) X2 f(X2) X4 f(X4) Se la grandezza fisica che definisce il campo è vettoriale, il campo è detto vettoriale. Esempio: Campo di Velocità

CAMPO DI FORZE X1 E(X1) X3 E(X3) X2 E(X2) X4 E(X4) Se la grandezza fisica che definisce il campo è una forza, il campo è detto Campo di Forze. Esempio: Campo Elettrico

Campo Elettrico F Legge di Coulomb q Campo Elettrico Q + Lavoro Elementare Differenza di potenziale A D dA + Q B D = Densità di Flusso Elettrico

Campo Magnetico forza indotta i mano destra Legge di Biot-Savart pollice (pesoforza) indice (i corrente) medio (m campo magnetico) B mano destra Legge di Biot-Savart I Legge di Ampére

RELAZIONI COSTITUTIVE DEL MEZZO eo è la costante di proporzionalità fra la densità di flusso elettrico D e l'intensità di campo elettrico E nel vuoto: m0 è la costante di proporzionalità fra la densità di flusso magnetico B e l'intensità di campo magnetico H nel vuoto costanti universali simbolo valore unità velocità della luce nel vuoto c 3  108 m/s permeabilità del vuoto m0 4p  10-7 H/m permettività del vuoto e0 F/m

Ipotesi di Quasi-Stazionarietà I L Campo E IRROTAZIONALE

Legge di Kirchhoff sulle Tensioni dl P1 P2 Lavoro di E per portare una carica unitaria Da P1 a P2  Differenza di Potenziale V(P1) – V(P2) [V(P2)-V(P1)]+[V(P3)-V(P2)]+[V(P4)-V(P3)]+[V(P5)-V(P4)]+[V(P6)-V(P5)]+[V(P6)-V(P1)]=0 P1 P2 P3 P4 P5 P6 La somma delle differenze di potenziale calcolati lungo un qualunque percorso chiuso è pari a zero

Ipotesi di Quasi-Stazionarietà II L Circuitazione del Campo H su L pari alla corrente concatenata

Legge di Kirchhoff sulle Correnti L’integrale lungo L è pari alla corrente che attraversa qualunque superficie che ha L come bordo, perciò la corrente che attraversa S1 è uguale alla corrente che attraversa S2 Dunque: L S1 I La somma delle correnti che attraversano una qualunque superficie chiusa è pari a zero

Grandezze Descrittive Q V Intensità di Corrente: Quantità di carica che attraversa la sezione del conduttore nell’unità di tempo Differenza di Potenziale: Lavoro che il campo elettrico compie nel portare una carica unitaria da un nodo del circuito ad un altro I I A V Ampere-metro Volt-metro

Le lunghezze d’onda sono molto maggiori delle dimensioni del circuito Ipotesi della TEORIA DEI CIRCUITI Le lunghezze d’onda sono molto maggiori delle dimensioni del circuito PARAMETRI CONCENTRATI

Parametri Concentrati Hp: Le dimensioni del circuito sono trascurabili rispetto alla lunghezza d’onda delle tensioni e delle correnti l Non ci sono fenomeni di propagazione Non compaiono derivate spaziali Casi in cui l’ipotesi non è ammissibile: Microprocessori Antenne Linee di Trasmissione

ESEMPI 1) CIRCUITO AUDIO frequenza più alta ~25 kHz corrispondente l = 12 km (c/f ) SUPERIORE DI GRAN LUNGA ALLE DIMENSIONI DI UN CIRCUITO DEL GENERE 2) CIRCUITO DI UN CALCOLATORE f può essere 500 MHz corrispondente l = 0,6 m IL MODELLO A PARAMETRI CONCENTRATI PUO' NON ESSERE SUFFICIENTEMENTE ACCURATO 3) CIRCUITO A MICRO ONDE l varia tra 10 cm e 1 mm LE LEGGI DI KIRCHHOFF NON VALGONO

SISTEMA INTERNAZIONALE Definizioni: metro: la definizione deriva da quella del secondo e dalla velocità della luce nel vuoto. c = 299 792 450 m/s secondo: 9 192 631 770 periodi della radiaizone emessa da una particolare transizione di un atomo di cesio kilogrammo: massa di un provino di platino-iridio conservato al International Bereau of Weights and Measurements di Sevres Ampére: la corrente costante che, se mantenuta in due conduttori rettilinei paralleli di lunghezza infinita e di sezione circolare trascurabile, messi ad 1 metro di distanza, nel vuoto, producono fra i due conduttori una forza pari a 2 × 10-7 N/m QUANTITA' UNITA' SIMBOLO Lunghezza metro m Massa kilogrammo kg Tempo secondo s Intensità di Corrente Ampére A Costanti Universali c velocità delle onde elettromagnetiche nel vuoto  3 × 108 m/s m0 permeabilità del vuoto 4p × 10-7 H/m e0 permettività del vuoto 8,854 × 10-12 F/m

EQUAZIONI DIMENSIONALI Es: CARICA ELETTRICA q [C] INTENSITA' DI CAMPO ELETTRICO E [V/m] poiché da cui si ricava anche INDUZIONE MAGNETICA B [T]

GRANDEZZE ELETTRICHE Y E H C g Q , q G I , i J d , r W e , E Fmm f Z L GRANDEZZA SIMBOLO UNITA' DI MISURA AMMETTENZA Y Siemens S CAMPO ELETTRICO E Volt/metro V/m CAMPO MAGNETICO H Ampére/metro A/m CAPACITA' ELETTRICA C Farad F CONDUCIBILITA' g Siemens/metro S/m CARICA Q , q Coulomb CONDUTTANZA G CORRENTE I , i Ampére A DENSITA' DI CORRENTE J Ampére/metro quadro A/m2 DENSITA' VOLUMICA DI CARICA d , r Coulomb/metro cubo C/m3 ENERGIA W Joule FLUSSO MAGNETICO Weber Wb FORZA Newton N FORZA ELETTROMOTRICE e , E Volt V FORZA MAGNETOMOTRICE Fmm Ampére-spire A , As FREQUENZA f Hertz Hz IMPEDENZA Z Ohm INDUTTANZA L Henry INDUZIONE MAGNETICA B Tesla T MUTUA INDUTTANZA M PERMEABILITA' MAGNETICA m Henry/metro H/m PERMEANZA P Weber/Ampére Wb/A PERMETTIVITA' ELETTRICA e Farad/metro F/m

Coulomb/metro quadrato GRANDEZZA SIMBOLO UNITA' DI MISURA POLARIZZAZIONE ELETTRICA Pe Coulomb/metro quadrato C/m2 POLARIZZAZIONE MAGNETICA Pm Tesla T POTENZA ATTIVA P Watt W POTENZA REATTIVA Q VoltAmpére reattivi VAR POTENZA APPARENTE S Volt Ampére VA POTENZIALE ELETTRICO V , v Volt V POTENZIALE VETTORE A Weber/metro Wb/m REATTANZA X Ohm RESISTENZA R RESISTIVITA' s Ohm metro W m RIGIDITA' DIELETTRICA RD Volt/metro V/m SPOSTAMENTO ELETTRICO (DENSITA' DI FLUSSO ELETTRICO) D SUSCETTANZA B Siemens TEMPO t secondo TENSIONE

CIRCUITO ELETTRICO E' un insieme di componenti elettrici connessi tra loro mediante conduttori perfetti Circuito Elettrico di soli Bipoli

COMPONENTI terminale morsetto superficie limite E A C R L M Transistor BIPOLO R L MONOPOLO M TRIPOLO Transistor Motore Trifase Non vengono inclusi fra i componenti nello studio della Teoria dei Circuiti COLLEGAMENTO Due o più componenti si dicono collegati se hanno uno o più morsetti in comune

STRUMENTI DI MISURA v = v( t ) A v = vAB = -v’ = -vBA i i = i( t ) CORRENTE TENSIONE v v’ A B v = v( t ) v = vAB = -v’ = -vBA i i = i( t ) i = -i’ i’ UNITA’ DI MISURA: Ampére (A) STRUMENTO DI MISURA: Ampéremetro UNITA’ DI MISURA: Volt (V) STRUMENTO DI MISURA: Voltmetro inserzione Vi inserzione A B V VAB iv A i Vi piccolissima  ideale ri = 0 iv piccolissima  ideale rv = 

3 CONVENZIONI 2 i3 {i1 , i2 , … , in } Indipendente {v1 , v2 , … , vn } Completo v2 i2 in 1 i1 n v1 vn VARIABILI DESCRITTIVE 1 i i1 i2 1 2 1 2 v v1 convenzione degli utilizzatori v2 1 i i1 i2 1 2 1 2 v convenzione dei generatori v1 v2

per un conduttore di lunghezza l e sezione A: RESISTORE i v per un conduttore di lunghezza l e sezione A: COLORE CIFRA MULTIPLO TOLL.ZA NERO 100 MARRON 1 101 ROSSO 2 102 ARANCIO 3 103 GIALLO 4 104 VERDE 5 105 BLU 6 106 VIOLA 7 107 GRIGIO 8 108 BIANCO 9 - ORO 10-1 ±5% ARGENTO 10-2 ±10% NERO o null ±20% prefisso simbolo significato atto a 10-18 femto f 10-15 pico p 10-12 nano n 10-9 micro m 10-6 milli 10-3 centi c 10-2 deci d 10-1 deca da 101 etto h 102 kilo k 103 mega M 106 giga G 109 tera T 1012 exa E 1015 peta P 1018 MATERIALE r (W  m) argento 1,63  10-8 rame 1,72  10-8 oro 2,44  10-8 alluminio 2,83  10-8 tungsteno 6,52  10-8 silicio 2 300

CAPACITORE + - v i d MATERIALE er neoprene 6,46 silicone 3,20 mica 5,40 - 9,0 carta 2,99 acqua distillata 78,20 aria 1

INDUTTORE INDUTTORE i i

GENERATORI IDEALI i(t) v(t) e(t) v(t) = e(t) i(t) v(t) a(t) Generatore ideale di tensione v(t) e(t) v(t) = e(t) i(t) Generatore ideale di corrente v(t) a(t) i(t) = a(t) i(t) Corto Circuito v(t) v(t) = 0 Caso degenere del generatore di tensione o del resistore di resistenza nulla i(t) Circuito Aperto v(t) i(t) = 0 Caso degenere del generatore di corrente o del resistore di resistenza infinita o conduttanza nulla

v1 v=b v1 i1 v=R i1 v1 i=g v1 i1 i=a i1 GENERATORI PILOTATI esempio: ag 0,5 i1 v1 v=b v1 b : parametro di controllo a-dimensionale i1 v=R i1 R : parametro di controllo dimensionalmente è una resistenza I generatori dipendenti o pilotati sono componenti essenziali nei circuiti amplificatori, in cui l'ampiezza dell'uscita è maggiore di quella dell'ingresso. Inoltre servono ad isolare una porzione di circuito o a fornire una resistenza negativa v1 i=g v1 g : parametro di controllo dimensionalmente è una conduttanza i1 i=a i1 a : parametro di controllo a-dimensionale

TRASFORMATORE IDEALE i2 i1 n v2 v1 base di definizione mista: [ v1 ; i2] o [v2 ; i1] Il trasformatore ideale è trasparente alle potenze E' un componente PASSIVO non dissipativo Non è dotato di stato

MUTUA N1 N2 L1 L2 i1 i2 v1 v2 M

AMPLIFICATORE OPERAZIONALE L’Amplificatore Operazionale (Operational Amplifier - OP) è un dipositivo elettronico che si comporta come un generatore di tensione controllato in tensione CONFIGURAZIONE DEI PIN SIMBOLO CIRCUITALE 1 5 4 2 3 7 6 ING. INVERTENTE V- V+ _ + ING. NON INVERT. AZZERAMENTO OFFSET USCITA 1 2 3 4 8 7 6 5 BILANCIAMENTO ING. INVERTENTE ING. NON INVERT. V- SCOLLEGATO V+ USCITA LE ALIMENTAZIONI VENGONO SPESSO OMESSE NEGLI SCHEMI CIRCUITALI, MA L’OP DEVE SEMPRE ESSERE ALIMENTATO

MODELLO CIRCUITALE Generatore di tensione controllato in tensione v1 v2 vd A·vd Ri Ro vo A: guadagno di tensione ad anello aperto valori tipici A 105108 Ri 1061013 W Ro 10100 W Vcc 5 24 V tensione di alimentazione vo saturazione positiva Vcc vd -Vcc saturazione negativa

AMPLIFICATORE OPERAZIONALE IDEALE v1 v2 = v1 vo vd _ + i1 = 0 i2 = 0 NELLA MAGGIOR PARTE DELLE APPLICAZIONI SI CONSIDERANO OP IDEALI NELLA REGIONE LINEARE DI FUNZIONAMENTO NULLORE i0 i v0  v 

AMPLIFICATORI ADINAMICI -TABELLA RIASSUNTIVA inseguitore di tensione amplificatore invertente amplificatore non invertente vs vo RL R1 R2 R2 vs vo RL R1 vs vo RL amplificatore sommatore amplificatore differenziale R1 R2 R3 v1 vo RL Ro v2 v3 RL v2 vo R1 R2 v1

BASE DI DEFINIZIONE UN COMPONENTE SI DICE DEFINITO SU BASE TENSIONE SE, IMPONENDO LE TENSIONI, LE CORRENTI SONO NOTE UNIVOCAMENTE ATTRAVERSO LE CARATTERISTICHE O LE EQUAZIONI DEL COMPONENTE. VICEVERSA, E' DEFINITO SU BASE CORRENTE SE, IMPONENDO LE CORRENTI, SI TROVANO UNIVOCAMENTE LE TENSIONI. Esempi: i i R a R e base corrente base corrente base tensione v i DIODO entrambe le basi i v i e i a assurdi fisici DIODO TUNNEL base tensione

ESEMPI: v2 i2 2 1 v1 i1 BASE MISTA v2 i2 2 1 v1 i1 v1 i1 BASE MISTA v2 i2 2 1 v1 i1 R1 R2 BASE TENSIONE, CORRENTE E MISTA a) base tensione v2 i2 v1 i1 R1 R2 e1 e2 fissati: trovati: a) base corrente v2 i2 v1 i1 R1 R2 a1 a2 trovati: fissati:

I Principio di Kirchhoff I1+ I2+ I3+ I4+ I5+ I6+ I7=0

II Principio di Kirchhoff V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10 V1+ V2+ V3+ V4+ V5+ V6+ V7 + V8 + V9 + V10 = 0

ESEMPI: i 5 A a) 5 + i - (-3) - 2 = 0 i = -6 A 2 A -3 A v b c v = 3 V b) 15 V 10 V a d 2 V trovare i c) 4 - 3 - i1 = 0  i1 = 1 A 1 + 4 + 2 - i2 = 0  i2 = 7 A 7 - 8 - i = 0  i = -1 A 4 A 4 A i2 8 A i 3 A i1 2 A 4 + 4 - 8 - i + 2 - 3 = 0  i = -1 A

TEORIA DEI GRAFI Circuito Grafo Tensioni Correnti

Albero & Co-Albero Co-Albero: Complemento dell’ Albero nel Grafo Grafo Connesso Comprende tutti i nodi Non comprende percorsi chiusi

Equazioni Topologiche b g d e z h q i k l m n x a b g d a b c d e f g h i l m n o p q r s t u v w z a b c d e f g h i l m n o p q r s t u v w z h i e k z q x m n l l-n+1 maglie n-1 co-cicli

Esempio R1 R2 L C E vg vL vC v1 v2 ig i1 iL i2 iC a b c Albero a stella 10 incognite 5 eq Componenti 3 eq LKC 2 eq LKT 4 nodi 5 lati

Teorema di Tellegen Sk vk ik = 0 Dato un grafo: Siano: {ik} un sistema di correnti compatibile {vk} un sistema di tensioni compatibile Risulta: a b c L E R1 R2 C v1 v5 v4 v2 v3 Stesso grafo 1 2 3 4 5 Sk vk ik = 0 Circuiti differenti R L2 A L1 C i1 i4 i5 i2 i3 Caso particolare: Se si considerano tensioni e correnti dello stesso circuito otteniamo la Conservazione delle Potenze

PROPRIETA' ENERGETICHE Potenza Assorbita da un Bipolo: p(t) = v(t) · i(t) (convenzione normale) è la potenza che entra nella superficie limite del bipolo. Con la convenzione normale si parla di potenza assorbita. Unità di misura Watt [W] Energia Elettrica assorbita in un intervallo dt: dw = v(t) · i(t) · d elemento puramente dissipativo energia accumulata in bipoli di tipo L e C: elementi di capacità infinita, come i generatori ideali, I COMPONENTI ELEMENTARI SONO TALI PERCHE' INVESTONO IN UN SOLO TIPO DI ENERGIA

VERIFICA DELLA PASSIVITA' RESISTORE La funzione integranda è sempre  0 i E v R CONDENSATORE v i C per t = - il condensatore è scarico analogamente per l'INDUTTORE Sono componenti che hanno lo STATO ZERO

Reti in Regime Stazionario

COMPONENTI ELEMENTARI IN REGIME STAZIONARIO Per circuiti assolutamente stabili, in presenza di eccitazioni costanti nel tempo: Generatore indipendente di tensione Generatore indipendente di corrente v i A v i E Resistore Induttore Condensatore v i R v i L C v i

Esempio: V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 R2 I4 I7 I2 I6 I1 I5 I8 I3 R1 E1 R5 b a c d e f g h V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 R2 I4 I7 I2 I6 I1 I5 I8 I3 R1 E1 R5 R4 R6 R3 E2

…continua

RESISTORI IN SERIE V1 V2 Vn VAB Vi B A A B I I2 In-1 In I R1 I1 I2 R2 Rn Req VAB

PARALLELO DI RESISTORI B R1 I1 V1 R2 I2 V2 Ri Ii Vi Rn In Vn I

PARTITORE DI TENSIONE R1 R2 Ri Rn I V Vi R1 R2 I V1 V V2 Nel caso di due soli resistori:

PARTITORE DI CORRENTE R1 R2 Ri Rn I1 I2 I3 In I V R2 I2 I1 R1 I Nel caso di due soli resistori:

Esempi: I=2,4 mA Vx =9,6 V Oppure: Ix =3 V / (5/7 kW) = 4,1 mA Oppure:

TRASFORMAZIONE STELLA-TRIANGOLO RCA RAB RC RB B B C C RBC Nel caso di tre resistenze uguali sarà:

Esempio: C B A B A C A 1 kW Ix=? 0,25 kW 2 A 0,625 kW 4 kW 1,25 kW

TEOREMI DI THEVENIN E NORTON In una rete lineare, comunque complessa, contenente bipoli lineari, le tensioni e le correnti in ciascun lato possono essere determinate sommando i contributi dovuti ai singoli generatori presenti, agenti uno alla volta. (Passivazione dei generatori) A I V TEOREMA DI THEVENIN TEOREMA DI NORTON A I V B Aeq Geq A I V B Eeq Req

Thevenin & Norton AN ETh GN RTh A A I I RTh AN V GN V ETh B B ETh = tensione a vuoto AN = corrente in c.to c.to RTh GN RTh = resistenza circuito passivato GN = conduttanza circuito passivato A A I V B ETh RTh I AN GN V B

Esempio: Nel resistore R circola una corrente di 2 mA. Quanto vale R? 2 kW 5 kW 1,5 kW 12 V I=2 mA R = ? Nel resistore R circola una corrente di 2 mA. Quanto vale R? 2 kW 5 kW 1,5 kW 12 V Eth=? 2 kW 1,5 kW 12 V 2,5 kW Eth=? 2 kW 5 kW 1,5 kW Rth=? 2,5 kW 3,5 kW Rth=? 1,458 kW Rth 1,458 kW 5 V R = ? I=2 mA

METODO DELLE CORRENTI DI MAGLIA J1 J2 J3 Le equazioni ai nodi sono identità Rii : auto-resistenza della maglia i Rij : mutua resistenza tra la maglia i-esima e la maglia j-esima

METODO DEI POTENZIALI NODALI 2 1 3 4 R4 R3 R2 A1 R5 V2 V3 A2 V4 R1 V1 Le equazioni alle maglie sono identità n = N -1 Gii : conduttanza propria del nodo i Gij : conduttanza mutua tra i nodi i e j Noti i potenziali si può risalire a tutte le incognite

TEOREMA DI MILLMANN B E1 E2 E3 Ei En R1 R2 R3 Ri Rn A A B G1 E1G1 Gn EnGn A B

TEOREMA DEL MASSIMO TRASFERIMENTO DI POTENZA RL a b a b RTH RL ETH i THEVENIN p pmax RTH RL SI HA LA MASSIMA POTENZA TRASFERITA AL CARICO QUANDO LA RESISTENZA DEL CARICO E’ UGUALE ALLA RESISTENZA DI THEVENIN VISTA DAL CARICO: RL = RTH Dimostrazione:

Reti in Regime Sinusoidale

IN UNA RETE ASSOLUTAMENTE STABILE, IL REGIME SINUSOIDALE VIENE CONSEGUITO DA TUTTE LE VARIABILI DELLA RETE METODO SIMBOLICO sono due fasori y j e m verso positivo per le fasi (convenzionalmente) Le grandezze sono iso-frequenziali, quindi, dopo un certo tempo, l'istante iniziale perde significato ed è superfluo indicare il riferimento degli assi. L'importante è che le diverse grandezze fasoriali stiano in un determinato rapporto di fase tra loro ANTICIPO  ANGOLO POSITIVO RITARDO  ANGOLO NEGATIVO Nella figura, è in anticipo rispetto a PRINCIPI DI KIRCHHOFF CASI PARTICOLARI: a) y = p / 2 i fasori sono in quadratura b) y = p i fasori sono in opposizione di fase c) y = 0 i fasori sono in fase Dominio del Tempo Dominio della Frequenza

EQUAZIONE DEI COMPONENTI a(t) I(s) V(s) V(s) = H(s) · I(s) H(s) prende il nome di IMPEDENZA Nel caso di regime sinusoidale: Per questo caso esiste l'inversa della funzione di trasferimento: AMMETTENZA VALORE EFFICACE. In elettrotecnica si utilizzano spesso i valori efficaci delle grandezze sinusoidali, soprattutto quando si parla degli aspetti energetici. Il valore efficace è definibile per tutte le grandezze periodiche: VALORE EFFICACE = Nel caso sinusoidale:

RESISTORE p(t) t pulsazione 2w IL VALORE V·I E' IL VALORE MEDIO DI p(t) NEL PERIODO E VIENE CHIAMATO POTENZA ATTIVA

CAPACITORE p(t) C i t v pulsazione 2w La quantità Q = V·I pari all'ampiezza massima dell'oscillazione della potenza istantanea è detta POTENZA REATTIVA.

LA POTENZA ATTIVA E' NULLA INDUTTORE L v i RAPPRESENTAZIONE FASORIALE è in anticipo di p /2 rispetto a t p(t) pulsazione 2w La potenza istantanea è una sinusoide di pulsazione doppia rispetto a tensione e corrente. LA POTENZA ATTIVA E' NULLA Q = V·I POTENZA REATTIVA

MUTUA INDUTTANZA non dissipativo passivo Hp: L1 L2 M i1 i2 v1 v2 non dissipativo passivo Hp: COEFFICIENTE DI ACCOPPIAMENTO ( k  1) L1 L2 M i1 i2 v1 v2 L1 L2 M i1 i2 v1 v2 L1 L2 M i1 i2 v1 v2 L1 L2 M i1 i2 v1 v2 a) M > 0 b) M > 0 c) M < 0 d) M < 0 I regime sinusoidale: Se inizialmente si è nello stato zero, jwL1 , jwL2 e jwM sono delle impedenze (W). LA MUTUA A 4 TERMINALI HA LE STESSE EQUAZIONI DI QUELLA A 3 TERMINALI

TRASFORMATORE IDEALE Se k = 1 (accoppiamento stretto) Nel dominio della frequenza: Per L1 , L2   si può trascurare il termine mentre da cui: n:1 TRASFORMATORE IDEALE

TEOREMI DI THEVENIN E NORTON RETE ATTIVA Rete attiva costituita da componenti lineari tempo-invarianti EQUIVALENTE CIRCUITALE THEVENIN Il duale è il teorema di Norton EQUIVALENTE CIRCUITALE NORTON

PARTITORI PARTITORE DI TENSIONE: PARTITORE DI CORRENTE: n = 2 n = 2

POTENZE IN REGIME SINUSOIDALE TRIANGOLO DELLE POTENZE VI·sinj Potenza Attiva istantanea Potenza Reattiva istantanea valore medio valore massimo

CAPACITORE j = p/2 anticipo CASI PARTICOLARI RESISTORE j = 0 valore medio: P = VI Q = 0 t p(t) CAPACITORE j = p/2 anticipo t p(t) P = 0 Q = -VI INDUTTORE j = p/2 ritardo t p(t) P = 0 Q = VI

TEOREMA DI BOUCHEROT Dal teorema di Tellegen: In regime sinusoidale: Applichiamo Tellegen agli insiemi delle Affinché sia verificata deve essere:

RIFASARE SIGNIFICA IMPORRE: Qg = 0 CIOE': Qc + Qz = 0 RIFASAMENTO Per Boucherot: RIFASARE SIGNIFICA IMPORRE: Qg = 0 CIOE': Qc + Qz = 0 LA CAPACITÀ DIPENDE SOLO DAL CARICO E DALLA PULSAZIONE IN FASE CON (GENERALMENTE cos j'  0,9 )

METODI ABBREVIATI DI ANALISI METODO DELLE CORRENTI CICLICHE Discende dalle equazioni di Maxwell  Solenoidalità delle Correnti Si introducono delle correnti fittizie che siano di per sé solenoidali (base vettoriale su cui si proiettano le correnti reali ) Es: M = l – (n - 1) Impedenza propria della maglia i Impedenza mutua tra le maglie i e j della maglia i Correnti cicliche Nelle maglie

METODO DEI POTENZIALI NODALI SI BASA SULLA PROPRIETA’ DI IRROTAZIONALITA’ DELLE TENSIONI 1 2 3 Legge di Kirchhoff delle tensioni Qualsiasi tensione di lato è esprimibile come somma algebrica dei potenziali di nodo. LE COSTITUISCONO UNA BASE PER LE TENSIONI

ADATTAMENTO ENERGETICO B Rete Attiva A B Per il T. di Thevenin Quali sono le condizioni nelle quali assorbirà la max potenza attiva?

Analisi dei Transitori

Causa del transitorio: Obiettivo: Descrivere il comportamento di tensioni e correnti tra due diversi stati stazionari 1 2 3 4 5 6 7 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 tempo (s) Volt -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 volt Causa del transitorio: I componenti dotati di memoria (induttori e condensatori) impiegano un certo tempo per uniformarsi al funzionamento a regime

STATO INIZIALE NON NULLO v v L v’ i’ I0 v L v0 Si introducono delle variabili scaricate

Circuiti lineari → Sovrapposizione degli effetti circuito circuito circuito Qualunque segnale periodico può essere espresso come somma di sinusoidi (Serie di Fourier) La risposta ad un segnale periodico si può calcolare come somma delle risposte alle singole componenti

Trasformata di Fourier La funzione complessa che otteniamo prende il nome di Trasformata di Fourier ampiezza fase La sua espressione è:

La funzione: è il rapporto tra la variabile di interesse e l’ingresso. Come si vede, tale rapporto non dipende dall’ingresso, e rappresenta quindi una caratteristica del circuito. Essa prende il nome di Risposta in Frequenza e viene descritta mediante il diagramma di modulo e di fase in funzione della pulsazione (Diagrammi di Bode) modulo I diagrammi di Bode ci dicono come si comporta il circuito alle diverse frequenza. Le frequenze per cui si ha modulo alto sono le frequenze che “passano”. Le frequenze per cui si ha modulo basso sono le frequenze che vengono “filtrate”, ossia, un ingresso con tali frequenze non produce una modifica della variabile di uscita. fase

Le cisoidi seguono un andamento oscillatorio smorzato. L’integrale che definisce la trasformata di Fourier, non si può calcolare per qualunque funzione. In alternativa, anziché considerare la funzione come la somma di sinusoidi, si può ottenere la stessa somma con le cisoidi 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 Le cisoidi seguono un andamento oscillatorio smorzato. Le cisoidi che permettono di ricostruire una data funzione hanno lo stesso inviluppo e frequenze multiple della fondamentale. Le sinusoidi sono particolari cisoidi, con smorzamento nullo. La cisoide si ottiene moltiplicando un esponenziale per una sinusoide: oppure:

Quanto detto finora sulla trasformata di Fourier vale anche per questa nuova trasformata, ove si sostituisca la variabile immaginaria pura jw, con la variabile complessa s=a+jw. La nuova trasformata prende il nome di Trasformata di Laplace, e si definisce come: Come si può notare, l’integrazione non parte più da -. Questo perché la funzione esponenziale che compare nella funzione integranda ha modulo diverso da 1. In genere l’integrale converge se a è <0, in modo che l’esponenziale sia decrescente. Ma in questo modo, la stessa funzione diverge per t → -. Questo è il motivo per cui si può calcolare la trasformata di Laplace solo per funzioni che sono nulle per t<0. In questo modo l’integrale si può calcolare solo per t0.

Funzione di Trasferimento 2 3 1 \ Nel circuito si sostituisce la variabile s in luogo di jw nei componenti dinamici. Funzione di Trasferimento Le Trasformate e le Anti-Trasformate si calcolano mediante le funzioni notevoli

Trasformate Notevoli Funzione del tempo Trasformata Per calcolare l’Anti-Trasformata dobbiamo scomporre la funzione di s in una somma di funzioni di cui conosciamo la trasformata

Sistemi Trifase

per m=3 Sistemi Trifase Sistema Diretto Sequenza dei ritardi Rappresentazione fasoriale I TRE FASORI SI SUSSEGUONO SEGUENDO IL VERSO ORARIO Sistema inverso Antiorario sequenza degli anticipi

Utilità dei sistemi trifase Impiego: Produzione, trasporto, distribuzione, utilizzazione (i sistemi monofase sono impiegati in applicazioni specifiche come impianti di piccola potenza, per uso domestico, trazione, elettrochimici, etc.) Utilità: A parità di tensione, potenza trasportata e perdite ammesse, col trifase si utilizza un volume di rame inferiore del 25% Pd P cos Il volume di rame richiesto nei due casi e’: Pd PT cos

Carichi Equilibrati

SQUILIBRIO DOVUTO A CARICHI MONOFASE CARICHI SQUILIBRATI La presenza di carichi non trifase puo’ introdurre uno squilibrio nelle correnti. Es. Utilizzatori monofase come quelli domestici I guasti possono introdurre squilibrio nelle correnti Fra fase e fase Guasti: Fra fase e neutro (Terra) Fra fase-fase e neutro (Terra) Il caso dei guasti è il più importante perché coinvolge grandi potenze Lo squilibrio dovuto ai carichi monofase, almeno nelle grandi reti, può essere compensato SQUILIBRIO DOVUTO A CARICHI MONOFASE Tra centro stella del carico e centro stella del generatore viene persa la equipotenzialità. Si verifica uno spostamento del centro stella

METODO DELLO SPOSTAMENTO DEL CENTRO STELLA 1 2 3 Teorema di Millmann da cui: Se le tensioni sono simmetriche,il diagramma fasoriale e’: E3 E2 E1 o Vo’o o’ E’1 E’3 E’2 U12 U31 U23 Il centro stella del carico e’ spostato rispetto al centro stella del generatore

POTENZE NEI SISTEMI TRIFASE NEUTRO ACCESSIBILE Potenza istantanea A C B A i v t p + = ) ( B C N In regime sinusoidale 2 sin cos Q P S jQ I V C B A + = & j

( ) ( ) P ' = V I cos V I P " = V I cos V I Inserzione Aron 1 W’ 2 3 12 1 12 1 ( ) P " = V I cos V I 32 3 32 3

RIFASAMENTO DEI CARICHI TRIFASE Carico ( ) ' tan j P Q c - = Batteria di condensatori

) ' tan (tan 3 U P C X E Q v j - = U P X Q 3 1 ) ' tan (tan = - v j Collegamento a stella 2 ) ' tan (tan 3 U P C X E Q Y CY v j - = Carico U CY Collegamento a triangolo Y C U P X Q 3 1 ) ' tan (tan 2 = - D v j Carico U C

ELETTROMAGNETISMO MODELLO IDEALE: QUANTITA' DI BASE: SORGENTI E CAMPI REGOLE DI OPERAZIONE: CALCOLO VETTORIALE RELAZIONI FONDAMENTALI: EQUAZIONI DI MAXWELL

RELAZIONI MISTE FRA GRANDEZZE SCALARI E VETTORIALI CAMPO MAGNETICO STAZIONARIO P r I Legge di Biot-Savart TEOREMA DELLA CIRCUITAZIONE (Ampére-spire) Applicando il Teorema di Stokes Legge di Ampére in forma locale

FLUSSO DI INDUZIONE APPLICANDO L'INTEGRALE AD UNA SUPERFICIE CHIUSA: B E' SOLENOIDALE Legge di Gauss APPLICANDO IL TEOREMA DELLA DIVERGENZA: Diverse superfici che hanno lo stesso contorno, hanno lo stesso flusso concatenato  Si parla di flusso concatenato con una linea chiusa REGOLA DI MAXWELL Il verso positivo dell'asse della bobina è quello in cui avanza una vite destrogira che ruota nel verso positivo di percorrenza del filo

IPOTESI SUI MEZZI MATERIALI CONTINUI - OMOGENEI - ISOTROPI - LINEARI Caratterizzati dalle seguenti grandezze scalari: g conduttività [ S / m ] e permettività [ F / m ] m permeabilità [ H / m ] EQUAZIONI COSTITUTIVE DEL MEZZO: D = e E B = m H COSTANTI UNIVERSALI: Velocità della luce nel vuoto c  3·108 m / s Permeabilità del vuoto m0 = 4p · 10-7 H / m Permettività del vuoto e0 = 1/(36p) · 10-9 F / m

m r è funzione del campo magnetico e quindi dipende dal punto di lavoro B = f (H) NON LINEARE B tan-1m0 Br SATURAZIONE -Hmax -HC HC Hmax H -Br HC: forza coercitiva Br: induzione residua

Analogia con Legge di Ohm (L. Ampére) Analogia con la Legge di Ohm R m = Riluttanza Gm = 1/R m = Permeanza

ANALOGIA CIRCUITI MAGNETICI F.M.M. (f ) PERMEANZA G m RILUTTANZA R m FLUSSO F Um = R m F SF = 0 S Um = SR m F CIRCUITI ELETTRICI F.E.M. (E) CONDUTTANZA G RESISTENZA R CORRENTE I U = RI SI = 0 SV = S RI

CIRCUITI MUTUAMENTE ACCOPPIATI L1 L2 i1 i2 v1 v2 M F Flusso Principale Fd1 Flusso Disperso Primario Fd2 Flusso Disperso Secondario F1 Flusso Concatenato con una Spira Primaria F2 Flusso Concatenato con una Spira Secondaria N1 N2

ma: Gm permeanza del circuito magnetico Gd1 permeanza costante (percorso in aria) Gd2 permeanza costante (percorso in aria) poniamo: Induttanza propria del circuito 1 Induttanza propria del circuito 2 Mutua induttanza continua…

Se siamo in condizioni dinamiche: Si possono definire le induttanze di dispersione dei due circuiti. Dalle

CIRCUITI EQUIVALENTI Ponendo: induttanza di dispersione primaria induttanza di dispersione secondaria induttanza di magnetizzazione

ì æ ö N = + ç ÷ ï Φ L I L I + I ç ÷ ï è N ø í æ ö N N N N N N N N ï Φ 2 I ç ÷ C 1 d 1 1 m 1 2 ï è N ø 1 í æ ö N N N N N N N N ï 1 Φ = 1 × 1 × 2 L I + 1 N 2 1 × 2 G ç I + 1 I ÷ ç ÷ ï C 2 d 2 2 2 m 2 1 N N N N N N N N î è ø 2 2 2 1 2 2 1 2 ì æ I ö Φ = + ç ÷ ï L I L I + 2 ç ÷ ï C 1 d 1 1 m 1 n N è ø = í n 1 rapporto spire I æ I ö N ï n Φ = n 2 L 2 + L ç I + 2 ÷ 2 ï C 2 d 2 m 1 î n è n ø DOPPIO BIPOLO EQUIVALENTE 1 d L 2 d L n n I 2 1 I 2 d L n grandezze secondarie riferite al primario n I 2 1 + n I 2 1 c F m L 2 c n F × 2 c n F ×

V × I = & Z n I I V V : ; Z n I V & = Impedenza Corrente Tensione : ; TRASFORMAZIONE DELLE IMPEDENZE 1 I ' 2 1 Z n I V & = × n:1 2 I 2 V 1 V 2 Z & Un’impedenza applicata ai morsetti secondari di un trasformatore ideale puo’ essere sostituita da un’impedenza ai morsetti primari senza che il funzionamento complessivo venga alterato, e viceversa. 2 ' Z n & = RIASSUMENDO: per portare una grandezza secondaria al primario: 2 ' : ; Z n I V & = Impedenza Corrente Tensione per portare una grandezza primaria al secondario: 1 2 " : ; Z n I V & = Impedenza Corrente Tensione

( ) F L secondario disperso flusso : primario principale magnetico Ricordando il significato delle varie induttanze F ( ) secondario disperso flusso : primario principale magnetico circuito del permeanza 2 1 I N d m G = F + 1 d F 2 d F n:1 1 d L 2 m

Trasformatore Reale ¥ ® m Ferro Ideale Pfe=0 Hp: Rame Ideale Pcu=0 accoppiamento perfetto Rame Ideale Pcu=0 Il circuito equivalente del trasformatore reale si ottiene rimuovendo le ipotesi di ferro ideale e di rame ideale

B X R ' I - I ' X ' R I - V V E - E - V G CIRCUITO EQUIVALENTE I I I 1 d X 1 R 2 ' I - 1 I 2 ' d X 2 ' R 2 I - I f I m I 2 V 1 V 1 E - ' 2 E - ' 2 V G B R1: resistenza equivalente dell’avvolgimento primario R’2=n2R2 con R2 resistenza dell’avvolgimento secondario Xd1=Ld1 con Ld1 induttanza di dispersione primaria X’d2=n2 Xd2 ; Xd2=Ld2 con Ld2 induttanza di dispersione secondaria G: conduttanza trasversale (mette in conto le perdite nel ferro) B=1/Xm; Xm=j Lm con Lm induttanza di magnetizzazione I0: corrente a vuoto Im: corrente magnetizzante E’2=nE2

Ammettenza a vuoto primaria PROVA A VUOTO Trascurando le perdite di eccitazione R1I02 rispetto a quelle nel ferro GE12 (rapporto di poche unità per mille) Trascurando la potenza reattiva richiesta per l’eccitazione del flusso disperso rispetto a quelle necessarie a sostenere il flusso principale Il circuito equivalente del trasformatore nel funzionamento a vuoto e’ il seguente: I m jB G Y + = & I Ammettenza a vuoto primaria f I m I 1 E V - = G B 20 V W A T V V

T P I V V = f ( I ) º curva normale di magnetizza zione V º B I º f . W A V1 V2 T wattmetro amperometro voltmetro P I n V 1 V = f ( I ) º curva normale di magnetizza zione 1 V º B I º f . m . m . I 1 P P = parabola I P f ( V ) 1 P º B 2 Þ V 2 fe M 1 2 1 G Y B V P I m n - = Þ & 1 V n V 1 In corrispondenza alla tensione nominale, le letture degli strumenti forniscono i dati sufficienti a ricavare i parametri trasversali del circuito equivalente del trasformatore: G e B Spesso non e’ necessario effettuare la prova a vuoto in quanto i dati della prova vengono riportati nella TARGA del trasformatore

PROVA IN CORTO CIRCUITO W A V T n I 1 n cc I V 1 Þ 1 V cc P cc P ) ( 1 I f V = e’ circa una retta passante per l’origine 1 V piccolo) ( ' cc X R Z @ & dipende dalle riluttanze dei circuiti magnetici percorsi dai flussi dispersi costanti perche’ prevalentemente in aria 1 I n I 1 ) ( 1 I f P cc = 2 I P cc cu º = parabola: In corrispondenza della corrente nominale: 2 ' 1 ; cc n R Z X I P V - = Þ & I dati vengono riportati nella targa: cc P V ; 1

FUNZIONAMENTO A CARICO 1 I 1 d X 1 R 2 ' d X 2 ' R 2 ' I - 2 I - n:1 I f I m I 2 V 1 V 1 E - ' 2 E - ' 2 V G B 1 I jX d V R E - ' 2 f m F Note: 2 ; I V ï î í ì - = + ' 2 1 ) ( I jX R E V jB G n d f m

MACCHINE ELETTRICHE ROTANTI

Generatori e Motori Macchine Elettromeccaniche F f.e.m. I forze meccaniche moto relativo motore generatore Pel M Pmecc Pmecc G Pel Pp Pp Pp = Prame + Pferro + Pmeccaniche

Organi di presa corrente statore rotore traferro Elementi essenziali: Circuito magnetico Avvolgimenti Organi di presa corrente macchina rettificata N S passo polare Bmax Generatore: Si trascina il rotore L’indotto è sede di una fem Motore: I due circuiti sono percorsi da corrente Il campo di rotore insegue quello di statore Il rotore è trascinato

Macchine in Corrente Continua - 1 Avvolgimento rotorico Morsetti Rotore S Contatti striscianti (spazzole) N Collettore (collega gli avvolgimenti con l’esterno) Funzionamento da motore: Si alimenta il rotore con una tensione continua attraverso i morsetti. L’avvolgimento di rotore è attraversato da una corrente alternata, perché il collettore inverte la polarità ogni mezzo giro Il campo magnetico del rotore è alternato, ed insegue il campo magnetico stazionario dello statore, trascinando il rotore. Funzionamento da generatore: Trascinando il rotore, il suo avvolgimento si concatena con un flusso variabile, quindi è sede di una f.e.m. indotta. Ogni mezzo giro la polarità dei morsetti si inverte, dando luogo,in uscita, ad una tensione unidirezionale f.e.m. rotore f.e.m. ai morsetti

Macchine in Corrente Continua - 2 Anello di Pacinotti N Lamella conduttrice Collettore a lamelle S Aumentando il numero di commutazioni per giro, la f.e.m. ai morsetti diventa sempre più continua

Macchine sincrone - Generatore b c passo polare Opzione 1: il rotore è alimentato in c.c. e trascinato da un motore primo. L’avvolgimento o gli avvolgimenti di statore sono sede di f.e.m. indotte sinusoidali. Opzione 2: lo statore è alimentato in c.c. ed il rotore è trascinato. L’avvolgimento di rotore diventa il circuito indotto, da cui si preleva la potenza attraverso i contatti striscianti. rotore con 1 avvolgimento rotore con 3 avvolgimenti Se l’indotto ha un solo avvolgimento, la f.e.m. indotta è monofase Se l’indotto ha tre avvolgimenti, la f.e.m. è trifase

Macchine sincrone - Motore a b c a I 3 avvolgimenti statorici sono alimentati con 3 tensioni sfasate tra loro di 120° I 3 campi sinusoidali si combinano, dando luogo ad un campo magnetico rotante Il rotore è alimentato con una corrente continua. Il campo da essa generato tenterà di allinearsi con il campo rotante di statore, trascinando il rotore. - +

Macchine asincrone - Motore a b c a b c Lo statore è alimentato come avviene nel motore sincrono, dando luogo ad un campo magnetico rotante Nel rotore l’avvolgimento è chiuso in corto circuito Il campo di rotore induce una f.e.m. nelle spire del rotore, con conseguente circolazione di corrente. Il campo di rotore che ne deriva tende ad allinearsi con il campo di statore, trascinando il rotore ad una velocità minore di quella del campo di statore (scorrimento) Se il rotore gira alla velocità del campo di statore (sincronismo), il flusso concatenato con le spire di rotore è costante, la corrente indotta si annulla, e quindi anche la coppia La velocità di rotazione è determinata dall’incontro della coppia motrice e del carico Coppia Spesso l’avvolgimento di rotore è realizzato con barre cortocircuitate agli estremi, a formare la tipica gabbia di scoiattolo n ns