Appunti di analisi matematica: Integrale Definito Il concetto d’integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrale Indefinito Problema inverso del calcolo della derivata: nota la derivata di una funzione calcolare la funzione stessa. Applicato ad esempio alle equazioni differenziali Calcolo delle aree di fig. delimitate da curve Calcolo di volumi Calcolo del lavoro di una forza Calcolo dello spazio percorso ….. Integrale Definito

Integrale Definito - Calcolo delle Aree Area del Trapezoide Vogliamo calcolare l’area della figura mistilinea determinata dal diagramma di una funzione y = f(x) definita e continua nell’intervallo [a, b] x y C B A a D b

mi = al minimo della funzione in ognuno degli intervalli Possiamo determinare l’area approssimandola con dei rettangoli inscritti Dividendo in n parti l’intervallo [a, b], avremo n rettangoli di base: h = (b – a)/n e altezza mi = al minimo della funzione in ognuno degli intervalli mi × h è l’area dello i-esimo rettangolo inscritto x y C B A b a D Quindi: s =  (mi × h) È l’area del plurirettangolo inscritto mi h

Analogamente possiamo determinare l’area approssimandola con dei rettangoli circoscritti Per determinare l’area S del plurirettangolo circoscritto: Dividendo in n parti l’intervallo [a, b], avremo n rettangoli di base h = (b – a)/n e altezza Mi = al massimo della funzione in ognuno degli intervalli Mi × h è l’area dello i-esimo rettangolo circoscritto x y C B A b a D Quindi S =  (Mi × h) È l’area del plurirettangolo circoscritto

s =  areaRett.inscritti S =  areaRett.circoscritti L’area A del trapezoide sarà sempre compresa tra s e S  A  s =  areaRett.inscritti S =  areaRett.circoscritti x y C B A b a D

Aumentando il numero dei rettangoli l’approssimazione di S sarà sempre più precisa. Considerando un numero di rettangolini via via crescente avremo due successioni di aree: plurirettangoli inscritti s1, s2, … sn, … plurirettangoli circoscritti S1, S2, …Sn,… che convergono all’area del trapezoide ABCD Teorema. Se y = f(x) è continua e positiva in [a, b], allora le successioni delle aree s1, s2, … sn … e S1, S2, …Sn,… convergono allo stesso limite S uguale all’area del trapezoide ABCD

ARettcirco. = Mih ARettinscr. = mih Possiamo quindi giungere al concetto d’integrale definito Integrale Definito Data la funzione y=f(x) definita e continua in [a, b], Dividiamo l’intervallo [a, b] in n parti Indichiamo con mi = min f(x) e con Mi = max f(x) nell’intervallino i-esimo di ampiezza h (*) ARettcirco. = Mih ARettinscr. = mih sn =AreaPluriRettinscr. =  mih Sn =AreaPluriRettcirco. =  Mih B x y C A b a D mi Mi i (*) mi ed Mi esistono sicuramente per il teorema di Weierstrass h

Allora, indicando con f(xi ) il valore della funzione in un punto qualsiasi xi dell’intervallo i-esimo: B x y C A b a D mi Mi xi f(xi )   Si ha:  

Poiché per quanto visto   Moltiplicando per h avremo che: Poiché per quanto visto B x y C A b a D mi Mi xi f(xi) Per il teorema del confronto avremo che anche :

Allora, possiamo dare la seguente definizione: Data la funzione y=f(x) continua in [a, b], si dice Integrale definito di f(x) relativo all’intervallo [a, b] il limite e si indica con  

Proprietà dell’integrale L’integrale è un operatore lineare:

Integrale Definito - Proprietà Teorema della Media Se y = f(x) è una funzione continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b] allora esiste almeno un punto c(a, b) tale che: x y C B A b a D f(c) Cioè esiste sempre un rettangolo di base AB e altezza uguale a f(c) avente la stessa area del rettangoloide. c

Dividendo tutto per (b-a)

Valore compreso tra il minimo e il massimo assoluti della funzione Teorema dei valori intermedi

Teorema della media integrale: interpretazione geometrica Da un punto di vista geometrico, possiamo affermare che esiste sempre un rettangolo di base pari all'ampiezza dell'intervallo [a;b] e altezza uguale a f(x0) avente la stessa area del rettangoloide relativo alla funzione . Importante: Il concetto di media integrale è una generalizzazione dell'idea di media aritmetica.

Funzione Primitiva Il calcolo dell’integrale come limite delle somme indicate, ancorchè possibile può essere (e nella maggior parte dei casi lo è) estremamente complesso e per nulla conveniente, occorre allora trovare un altro sistema per calcolarlo.

Al variare di x l’integrale Per calcolare quest’area ci serviamo di una particolare funzione detta funzione Integrale: Sia y = f(x) funzione continua nell’intervallo [a, b], consideriamo un punto x variabile (a, b) Al variare di x l’integrale è un’area compresa tra a e x e quindi variabile al variare di x, cioè è una funzione di x che indicheremo con F(x) e chiameremo funzione integrale b x y C B A a D f(x)

Teorema di Torricelli- Barrow In particolare Se x = a se x = b La funzione integrale è caratterizzata dal seguente teorema fondamentale che ci fornirà il metodo per il calcolo dell’area: Teorema di Torricelli- Barrow Se y = f(x) è continua in [a, b] allora la funzione integrale è derivabile e risulta: F’(x) = f(x); cioè F(x) è una primitiva di f(x), cioè della funzione integrale calcolata nell’estremo superiore.

Dim Consideriamo l’intervallino [x, x+h]: avremo y C D A B x a x x + h b L’incremento di F(x) (area del rettangoloide di base x, x+h) è:

semplificando Per il teorema della media esiste c nell’intervallo [x , x+h] tale che: Dividendo i termini per h: e, passando al limite per h  0,

Perché è proprio ? Non dimentichiamo che x < c < x+h per cui se h 0 c x Cioè la derivata di F(x) = f(x)

G(x) = F(x) + c  c R è una primitiva di f(x) Ricordiamo che una funzione ammette infinite primitive che differiscono per una costante reale e costituiscono una famiglia di infinite curve ottenibili per traslazione secondo l’asse y. Se F(x) è una primitiva di f(x) allora anche G(x) = F(x) + c  c R è una primitiva di f(x) e quindi se F(x) e G(x) sono primitive di f(x) allora: G(x) - F(x) = c

Integrale Definito - Proprietà Calcolo dell’Integrale Definito Formula di Newton-Leibniz Finalmente possiamo calcolare l’integrale definito Considerando la funzione integrale avremo: e per x = a Da cui c =  G(a) e per x = b

Integrale Definito - Proprietà Teorema fondamentale del calcolo integrale L’integrale definito di una funzione continua y=f(x), calcolato nell’intervallo [a, b], è uguale alla differenza tra i valori che una qualunque primitiva di f(x) assume agli estremi superiore e inferiore dell’intervallo d’integrazione.