Assi e linee di inviluppo Primo convegno di Origami, dinamiche educative e didattica Bellaria, 6 Aprile 2013 Assi e linee di inviluppo Come ottenere le coniche piegando la carta Stefania Serre

Linee di inviluppo: Si dice linea di inviluppo di una famiglia di rette una curva che risulti tangente a ciascuna retta della famiglia in almeno un punto

Linee di inviluppo

Linee di inviluppo

Linee di inviluppo

Linee di inviluppo

Linee di inviluppo

La parabola

La parabola

La parabola

La parabola

La parabola Perché? La piega ottenuta è l’asse del segmento che ha per estremi i due punti!!

La parabola Perché? La parabola è la linea di inviluppo della famiglia di pieghe se per ciascuna di esse: 1) esiste un punto della piega che appartiene alla parabola 2) in tale punto la piega è tangente alla parabola

La parabola Perché? La parabola è la linea di inviluppo della famiglia di pieghe se per ciascuna di esse: 1) esiste un punto della piega che appartiene alla parabola 2) in tale punto la piega è tangente alla parabola Fuoco direttrice

La parabola Perché? La parabola è la linea di inviluppo della famiglia di pieghe se per ciascuna di esse: 1) esiste un punto della piega che appartiene alla parabola 2) in tale punto la piega è tangente alla parabola F P Q

La parabola Perché? F P P’ Q’ Q La parabola è la linea di inviluppo della famiglia di pieghe se per ciascuna di esse: 1) esiste un punto della piega che appartiene alla parabola 2) in tale punto la piega è tangente alla parabola Se considero il punto P ottenuto alzando da Q la perpendicolare al bordo inferiore del foglio, P appartiene alla parabola perché banalmente è equidist da F e Q. La piega effettuata è tangente in P alla parabola avente fuoco F e direttrice il bordo perché se così non fosse l’asse dovrebbe essere parallelo all’asse di simmetria (cioè perpendicolare alla direttrice, il che è impossibile) oppure avrebbe un altro punto di itersez P’ con la parabola, da cui FP’=P’Q per def di asse, e FP’=P’Q’ per def di parabola, per cui P’Q=P’Q’. Ma questo è possibile solo se Q’ , punto della direttrice, coincide con Q, cioè P’ coincide con P F P P’ Q’ Q

La parabola è la linea di inviluppo di tale famiglia di pieghe!

L’ellisse

L’ellisse

L’ellisse

L’ellisse Ellisse avente asse maggiore = raggio L’elisse è la linea di inviluppo della famiglia di pieghe se per ciascuna di esse: 1) esiste un punto della piega che appartiene all’ellisse 2) in tale punto la piega è tangente all’ellisse Ellisse avente asse maggiore = raggio

L’ellisse F1 F2 P H r Q L’elisse è la linea di inviluppo della famiglia di pieghe se per ciascuna di esse: 1) esiste un punto della piega che appartiene all’ellisse 2) in tale punto la piega è tangente all’ellisse F1 F2 Si congiunga Q con F2, intercettando il punto P sulla piega. QF2 è un raggio, quindi ha lunghezza r. Si unisca F1 con P… P H r Q

L’ellisse F1 F2 P H r Q L’elisse è la linea di inviluppo della famiglia di pieghe se per ciascuna di esse: 1) esiste un punto della piega che appartiene all’ellisse 2) in tale punto la piega è tangente all’ellisse F1 F2 F1P e congruente a QP, quindi F1P+PF2=r, cioè P è punto dell’ellisse. La piega è tangente all’ellisse in P perché la costruzione geometrica realizzata per individuare il punto P corrisponde a individuare il percorso più breve per andare da F1 a F2 passando per la piega stessa, e tale percorso risulta lungo r. Se la piega non fosse tangente all’ellisse in P, dovrebbe allora esserci qualche suo punto che risulta interno all’ellisse (la piega sarebbe secante), ma per i punti interni all’ellisse la somma delle distanze da F1 e F2 è minore di r, il che contraddice la costruzione di percorso minimo: la piega è dunque tangente all’ellisse in P P H r Q

della famiglia di pieghe! L’ellisse L’elisse è la linea di inviluppo della famiglia di pieghe!

L’iperbole

L’iperbole

L’iperbole

L’iperbole

L’iperbole Iperbole avente asse trasverso= raggio L’iperbole è la linea di inviluppo della famiglia di pieghe se per ciascuna di esse: 1) esiste un punto della piega che appartiene all’iperbole 2) in tale punto la piega è tangente all’iperbole Iperbole avente asse trasverso= raggio

L’iperbole P F1 F2 H Q L’iperbole è la linea di inviluppo della famiglia di pieghe se per ciascuna di esse: 1) esiste un punto della piega che appartiene all’iperbole 2) in tale punto la piega è tangente all’iperbole P F1 F2 Nelle iperboli la tangente in un punto P dell’iperbole è bisettrice dell’angolo F1PF2, pertanto la piega, che gode di tale proprietà essendo asse di F1Q, non può che essere la tangente all’iperbole in P (la tg è unica) Oppure per il punto P si ha: PF1-PF2=PQ-PF2=QF2=r per un punto P’ della piega diverso da P si ha: P’F1-P’F2=P’Q-P’F2>QF2’=r per differenza di lati di un triangolo. Allora per ogni punto diverso da P la differenza delle distanze è maggiore di r, dunque gli altri punti della piega si trovano esternamente all’iperbole (i punti come F2 e Q sono invece ‘interni’ all’iperbole) H Q

Ecco infine tutte le coniche ‘tra le pieghe’ … circonferenza compresa!