Scomposizione dei polinomi Prof.ssa A.Comis

Definizione Scomporre un polinomio significa scriverlo come prodotto di altri polinomi di grado inferiore.

Metodi di scomposizione Raccoglimento totale a fattore comune Raccoglimento parziale a fattore comune Prodotti notevoli Trinomio particolare Abbassamento di grado mediante la regola di Ruffini.

Raccoglimento totale a fattore comune Quando tutti i termini di un polinomio hanno un fattore comune,possiamo applicare la proprietà di raccoglimento. Questo significa che mettiamo in evidenza il M.C.D. fra tutti i termini del polinomio In questo modo eseguiamo una scomposizione del polinomio perché lo scriviamo come prodotto di due fattori.

Esempi +ax+ay+az = a(x+y+z) 3bx2+5ax2-8b2x2 = x2(3b+5a-8b2) 75ax+25ay-100axy = 25a(3x+y-4xy) 2x(x-a)-(x-a)+3y(x-a) = (x-a)(2x-1+3y)

Raccoglimento parziale a fattore comune Spesso non tutti i termini del polinomio hanno un fattore comune da poter evidenziare. Se i termini si possono raggruppare in modo da avere, in ogni gruppo, un fattore comune si può effettuare un raccoglimento parziale. E’ importante sottolineare che i fattori ottenuti dentro le parentesi DEVONO essere uguali.

Esempi +2a+2b+ax+bx = 2(a+b)+x(a+b) La scomposizione non è terminata perché c’è ancora una somma, però adesso è possibile effettuare un raccoglimento totale e quindi: (a+b)(2+x)

Altri esempi a2-a-ab+b = a(a-1)-b(a-1) = (a-1)(a-b) oppure : a(a-b)-(a-b) = (a-b)(a-1) 3x2-6ax+x-2a = 3x(x-2a)+1(x-2a) = = (x-2a)(3x+1) oppure : x(3x+1)-2a(3x+1) = (3x+1)(x-2a)

Considerazioni Se si vuole scomporre un polinomio, si deve innanzitutto verificare se è possibile un raccoglimento totale, cioè se TUTTI gli addendi hanno qualche fattore comune. Se ciò non è possibile, si deve verificare la possibilità di un raccoglimento parziale per gruppi di monomi di uguale numerosità (a due a due, a tre a tre e così via).

Altre considerazioni La scelta dei gruppi da raccogliere non ha regole precise. E’ però fondamentale che consenta un successivo raccoglimento. A volte un raccoglimento parziale non fa ottenere addendi con un fattore comune, pur essendo stato svolto con passaggi algebrici corretti. Se ciò accade, è opportuno rifare il raccoglimento in modo diverso.

Prodotti notevoli Le regole dei prodotti notevoli possono essere lette “al contrario” ed essere applicate nella scomposizione di un polinomio. Naturalmente è essenziale ricordarle bene per poterle riconoscere!

Differenza di due quadrati Ricordiamo che: a2-b2 = (a-b)(a+b) e quindi, per esempio, il polinomio x2-4y2 si può considerare come (x)2-(2y)2 ed applicando la formula precedente si scompone così: (x-2y)(x+2y)

Esempi 25x6-9a4 = (5x3-3a2)(5x3+3a2) 4x2-a2b2 = (2x-ab)(2x+ab) 9a2-16b2 = (3a-4b)(3a+4b) 16a4-b4 = (4a2-b2)(4a2+b2) = il primo fattore rappresenta un’altra differenza di quadrati e quindi: = (2a-b)(2a+b)(4a2+b2)

Quadrato di binomio Ricordiamo che: (a-b)2 = a2-2ab+b2 e (a+b)2 = a2+2ab+b2 Se leggiamo “al contrario” le precedenti formule, possiamo notare che i trinomi sono formati da due quadrati e dal doppio prodotto delle loro basi.

Esempi 4x2-4x+1 = (2x)2-2(2x)(1)+(1)2 = (2x-1)2 e quindi: 25a4b2+20a2bc3+4c6 = (5a2b+2c3)2 16x8-24x4y3+9y6 =(4x4-3y3)2 a6-6a3b+9b2 = (a3-3b)2

Quadrato di trinomio Ricordando che (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc e tenendo presente i casi precedenti,risulta evidente la scomposizione dei seguenti polinomi: x2+y2+4+2xy+4x+4y = (x+y+2)2 4x2+9y2+1+12xy-4x-6y = (2x+3y-1)2

Cubo di binomio Ricordando che (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 e che (a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3 come nel quadrato di binomio, se leggiamo “al contrario” le precedenti formule, possiamo notare che i polinomi hanno 4 termini tra cui due sono cubi e gli altri due sono i tripli prodotti delle basi secondo la regola.

Esempi x3+6x2y+12xy2+8y3 = = (x)3+3(x)2(2y)+3(x)(2y)2+(2y)3 = = (x+2y)3 e quindi: a6-9a4b+27a2b2-27b3 = (a2-3b)3 8b3+12b2+6b+1 = (2b+1)3 27x6-54x4y3+36x2y6-8y9 = (3x2-2y3)3

Somma e differenza di cubi A questo punto risulta abbastanza semplice scomporre un polinomio applicando gli ultimi due prodotti notevoli studiati. Vediamo direttamente qualche esempio: 8a3-b3 = (2a-b)(4a2+2ab+b2) a6-27 = (a2-3)(a4+3a2+9) 27x3+8y3 = (3x+2y)(9x2-6xy+4y2)

Trinomio particolare Se un trinomio di 2°grado è di tipo x2+ax+b Cioè se: Il coefficiente di grado massimo è 1; Non consente un raccoglimento; Non è un quadrato di binomio; Allora probabilmente è un trinomio particolare.Vediamo come riconoscerlo.

Come riconoscere un trinomio Il coefficiente del termine di 1°grado può essere espresso come somma di due numeri x0 e x1 ; Il termine noto è uguale al prodotto degli stessi numeri x0 e x1. Il trinomio particolare, quindi, si scompone cercando proprio i suddetti numeri e scrivendo (x+x0)(x+x1)

Esempi Per scomporre il trinomio a2+5a+6 dobbiamo cercare due numeri che abbiano per somma 5 e per prodotto 6; è facile verificare che i numeri richiesti sono 2 e 3 e quindi il suddetto trinomio si scompone in (a+2)(a+3)

Altri esempi a2-7a+12 = (a-3)(a-4) x2+6x+8 = (x+2)(x+4) Dai precedenti esempi risulta evidente che, se il termine noto è positivo i numeri sono concordi, se è negativo sono discordi.