{ } Multipli di un numero M4 ESEMPIO 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, … DEFINIZIONE. I multipli di un numero sono costituiti dall’insieme dei prodotti ottenuti moltiplicando quel numero per la successione dei numeri naturali. ESEMPIO I multipli del numero 4 costituiscono l’insieme { } M4 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, … Essendo la successione dei numeri naturali infinita, ne consegue che anche i multipli di un numero sono infiniti. I multipli di 2 costituiscono la successione dei numeri pari, tutti gli altri numeri costituiscono l’insieme dei numeri dispari. La divisibilità

Divisori di un numero DEFINIZIONE. Se un numero diviso per un altro numero dà resto zero (r = 0), diremo che il secondo è un divisore del primo e che il primo è divisibile per il secondo. ESEMPIO 18 3 6 resto 3 è divisore di 18 e 18 è divisibile per 3 18 4 4 2 resto 4 non è divisore di 18 e 18 non è divisibile per 4 I divisori di un numero costituiscono un insieme finito, poiché il divisore più grande è sempre uguale al numero stesso. La divisibilità

28 90 I criteri di divisibilità ESEMPIO ESEMPIO Divisibilità per 2 CRITERIO. Un numero è divisibile per 2 se la cifra delle unità è pari. ESEMPIO 28 è divisibile per 2 perché la sua ultima cifra 8 è pari. Divisibilità per 5 CRITERIO. Un numero è divisibile per 5 se termina con zero o con cinque. ESEMPIO 90 è divisibile per 5 perché termina con 0. La divisibilità

18 15 209 I criteri di divisibilità ESEMPIO ESEMPIO Divisibilità per 3 e per 9 CRITERIO. Un numero è divisibile per 3 (o per 9) se la somma delle sue cifre è un multiplo di 3 (o di 9). ESEMPIO 18 è divisibile per 3 (e per 9) perché la somma delle sue cifre, 1 + 8 = 9, è un multiplo di 3 (e di 9). 15 è divisibile per 3 (ma non per 9) perché la somma delle sue cifre, 1 + 5 = 6, è un multiplo di 3 (e non di 9). Divisibilità per 11 CRITERIO. Un numero è divisibile per 11 se la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e quella di posto pari (o viceversa) è 0 o un multiplo di 11. ESEMPIO 209 è divisibile per 11 perché (2 + 9) – 0 = 11 La divisibilità

700 I criteri di divisibilità ESEMPIO Divisibilità per 10, 100, 1000 CRITERIO. Un numero è divisibile per 10, 100, 1000, … se termina rispettivamente con uno, due, tre, … zeri. ESEMPIO 700 è divisibile:  per 100 perché termina con due zeri;  per 10 perché l’ultima cifra è uno zero. La divisibilità

128 475 I criteri di divisibilità ESEMPIO Divisibilità per 4 e 25 CRITERIO. Un numero è divisibile per 4 o per 25 se le ultime due cifre formano un numero multiplo di 4 o di 25, oppure sono due zeri. ESEMPIO 128 è divisibile per 4 perché le ultime due cifre (28) sono divisibili per 4, infatti 28 : 4 = 7 475 è divisibile per 25 perché le ultime due cifre (75) sono divisibili per 25, infatti 75 : 25 = 3 La divisibilità

5 11 23 12 Numeri primi e numeri composti ESEMPIO DEFINIZIONE. Un numero naturale si dice primo se è divisibile solo per 1 e per se stesso. ESEMPIO 5 È un numero primo perché è divisibile per 1 e 5. 11 È un numero primo perché è divisibile per 1 e 11. 23 È un numero primo perché è divisibile per 1 e 23. 12 Non è un numero primo perché è divisibile per altri numeri (2, 3, 4, 6) oltre all’ 1 e a se stesso. La divisibilità

132 2 66 2 33 3 11 11 1 132 3 11 La scomposizione in fattori primi DEFINIZIONE. L’operazione che ci permette di scrivere un numero composto come prodotto di fattori primi si dice scomposizione in fattori primi o fattorizzazione. ESEMPIO 132 2 66 2 Divisori primi 33 3 Quoti 11 11 1 2 132 3 11 REGOLA. Per scomporre un numero in fattori primi si eseguono le divisioni successive tra il numero dato e i suoi divisori primi (in ordine crescente) fino ad ottenere come quoto uno. I divisori primi che compaiono più di una volta si scrivono sotto forma di potenza. La divisibilità

Criterio generale di divisibilità CRITERIO. Due numeri sono divisibili tra loro se ciascun fattore del numero divisore è presente nella scomposizione del numero dividendo ed ha esponente minore o uguale a quello del fattore corrispondente. ESEMPIO 2160 2 5 90 2 5 216 2 9 3 108 2 3 3 54 2 1 90 = 2  32  5 27 3 9 3 Poiché tutti i fattori del divisore sono presenti fra i fattori del dividendo ed hanno esponente minore, possiamo affermare che 2160 è divisibile per 90. 3 3 2160 = 24  33  5 1 REGOLA. Il quoziente di due numeri divisibili fra loro si ottiene moltiplicando tutti i fattori del dividendo aventi per esponente la differenza degli esponenti con cui compaiono nei due termini della divisione. La divisibilità

{ } { } { } 12 16 Il Massimo Comune Divisore (M.C.D.) D12 D16 D12, 16 DEFINIZIONE. Il M.C.D. di due o più numeri è il maggiore tra i divisori comuni ai numeri dati. ESEMPIO 12 16 { } { } D12 D16 1, 2, 3, 4, 6, 12 1, 2, 4, 8,16 { } D12, 16 1, 2, 4 Il numero 4 è il maggiore dei divisori comuni tra i due numeri e viene chiamato Massimo Comune Divisore (M.C.D.). M.C.D. (12, 16) = 4 CRITERIO. Se due o più numeri sono tali che il maggiore di essi è divisore di ciascuno degli altri, quest’ultimo numero è il M.C.D. dei numeri dati. La divisibilità

{ } { } 6 25 Il Massimo Comune Divisore (M.C.D.) D12 D16 DEFINIZIONE. Due o più numeri si dicono primi tra loro se hanno 1 come M.C.D. ESEMPIO 6 25 { } { } D12 D16 1, 2, 3, 6 1, 5, 25 M.C.D. (6, 25) = 1 6 e 25 sono primi tra loro. La divisibilità

Il calcolo del Massimo Comune Divisore (M. C. D Il calcolo del Massimo Comune Divisore (M.C.D.) attraverso la scomposizione in fattori primi REGOLA. Per calcolare il M.C.D. di due o più numeri si scompongono i numeri dati in fattori primi, poi si moltiplicano tra loro tutti i fattori comuni, presi ciascuno una sola volta e con l’esponente minore. ESEMPIO 1760 2 5 420 2 5 200 22 52 176 2 42 2 2 2 88 2 21 3 1 44 2 7 7 200 = 23  52 22 2 1 11 11 420 = 22  3  5  7 1 1760 = 25  5  11 I fattori comuni con l’esponente minore delle tre scomposizioni sono 22 e 5. M.C.D. (1760, 420, 200) = 22 5 = 20 La divisibilità

{ } { } { } 2 3 Il minimo comune multiplo (m.c.m.) M2 M3 M2,3 DEFINIZIONE. Il m.c.m. di due o più numeri è il minore tra i multipli comuni ai numeri stessi. ESEMPIO 2 3 { } { } M2 M3 2, 4, 6, 4, 8, 10, 12 … 3, 6, 9, 12,15, 18, 21 … { } M2,3 6, 12, 18, 24 … m.c.m. (2, 3) = 6 Il numero 6 è il minore dei multipli in comune tra i due numeri, pertanto CRITERIO. Se due o più numeri sono tali che il maggiore di essi è multiplo di ciascuno degli altri, quest’ultimo numero è il m.c.m. dei numeri dati. CRITERIO. Se due o più numeri sono primi tra loro, il m.c.m. è dato dal prodotto dei due numeri. La divisibilità

Il calcolo del minimo comune multiplo (m. c. m Il calcolo del minimo comune multiplo (m.c.m.) attraverso la scomposizione in fattori primi REGOLA. Per calcolare il m.c.m. di due o più numeri si scompongono i numeri dati in fattori primi, poi si moltiplicano tra loro tutti i fattori comuni e non comuni, presi ciascuno una sola volta e con l’esponente maggiore. ESEMPIO 210 2 5 525 5 735 5 21 3 105 5 147 3 7 7 21 3 49 7 1 7 7 7 7 1 1 210 = 2  3  5  7 525 = 3  52  7 735 = 3  5  72 I fattori comuni con l’esponente maggiore sono 3, 52 e 72, il fattore non comune è 2. m.c.m. (210, 525, 735) = 2  3  52  72 = 7350 La divisibilità