Taratura Statica

- interpolazione di modello con metodi di regressione Vedremo: - Come si effettua la taratura statica (mediante campioni primari, per confronto) - interpolazione di modello con metodi di regressione - validazione del modello mediante analisi dei residui - stima delle incertezze Nella prima lezione si è evidenziata la necessità di fare riferimento ad un opportuno modello del sistema fisico per eseguire qualsiasi misura. Anche per le misure dimensionali quindi è necessario definire almeno un modello geometrico del corpo da misurare ed un modello geometrico del sistema di misura. Se per esempio si deve misurare il diametro di un tubo rigido con un calibro, è necessario definire, con la relativa incertezza, un modello di tubo (cilindro) ed un modello delle superfici di contatto dei becchi del calibro (piani tra loro paralleli). A questo punto per misura dimensionale (diametro) si può intendere la misura della distanza tra due piani (becchi del calibro) tangenti la superficie di un corpo. D

Uscita = y0 misurando Come si descrive l’operazione di misura? La misura in condizioni statiche si ottiene mediante inversione della caratteristica statica dello strumento: uscita Uscita = y0 misurando Modello (statico) dello strumento y0 misurando Sono conosciuti: - caratteristica statica - uscita Si ricava: - stima del misurando Come si descrive l’operazione di misura?

Uscita = y0 Misurando = m0 Cosa è la taratura statica? La taratura in condizioni statiche si ottiene mediante interpolazione della caratteristica statica dello strumento: uscita Uscita = y0 Misurando = m0 Modello (statico) dello strumento y0 m0 misurando Sono conosciuti: - ingresso - uscita Si ricava: - caratteristica statica Cosa è la taratura statica?

Cosa si ottiene dalla taratura statica Dunque, nelle condizioni di misura in cui si può supporre che praticamente ingresso ed uscita non varino nel tempo, l’operazione di taratura consente di determinare: la caratteristica statica ingresso-uscita mediante: modellazione raccolta dei dati di taratura regressione del modello validazione del modello mediante analisi dei residui l’incertezza associata all’operazione di misura: dall’incertezza dei vari parametri all’incertezza sulla stima del misurando (mediante combinazione) all’incertezza della curva di taratura Cosa si ottiene dalla taratura statica

Il modello dello strumento può essere di diversa natura. Tipicamente una relazione matematica, ma può anche essere descritto da una procedura, un modello numerico etc Nella procedura di modellazione occorre esplicitare la relazione statica tra ingresso ed uscita Sarebbe buona norma esplicitare la relazione statica tra ingressi di disturbo ed uscita Si definisce incertezza di modello tutto ciò che è presente nella realtà ma non viene descritto dal modello in nostro possesso 1. modellazione

Dinamometro estensimetrico a mensola 1. modellazione - esempio

Forza Tensione F DV0 Dinamometro 1. modellazione - esempio DV0 Estensimetro F L=lunghezza H= altezza B=larghezza DV0 Forza F Dinamometro Tensione DV0 Parametri del modello: GF = 2 (gauge factor) Vi = 10 (alimentazione ponte wheatstone) d = 0.1 (distanza forza – estensimetro) G = 500 (guadagno amplificatore) E = 50000 (modulo Young) 1. modellazione - esempio

Nell’esempio appena visto l’incertezza di modello è costituita ad esempio da: - non linearità ed isteresi del materiale - resistenze di contatto ed effetto di carico elettrico sul ponte di Wheatstone - effetto della temperatura (se non modellato e non misurata, come nel caso in esame) - … 1. modellazione

Uscita = y0 misurando 2. raccolta dati di taratura uscita misurando Nella raccolta dei dati per la taratura tutti gli ingressi (interferenti, modificanti, desiderati) sono fissati a valori costanti tranne uno L’ingresso sotto osservazione viene fatto variare su di un certo insieme discreto di valori costanti e le corrispondenti uscite registrate 2. raccolta dati di taratura

Nella realtà risulta spesso il caso in cui esiste un numero molto elevato di ingressi di disturbo che hanno un debole effetto sulla misura e che risultano difficili da controllare Vengono quindi controllati gli ingressi che hanno un effetto importante mentre gli altri vengono tenuti incontrollati. Tale condizione viene definita controllo statistico sul processo di misurazione/taratura Tale condizione mette il sistema in una condizione analoga alla ipotesi di validità del Teorema del Limite Centrale 2. raccolta dati di taratura

Teorema del Limite Centrale La somma di n variabili casuali indipendenti ed identicamente distribuite segue approssimativamente una distribuzione normale. In molti casi questa approssimazione è sufficiente per un n molto piccolo, n < 10, mentre in altri casi richiede un n grande (n>100). Si può pensare all’errore di un esperimento come qualcosa che nasce da numerose fonti indipendenti in modo additivo. Di conseguenza la distribuzione normale diventa un modello plausibile dell’errore sperimentale globale. 2. raccolta dati di taratura

Nella fase di raccolta dati di taratura si possono presentare due casi: 1. sono disponibili campioni fondamentali della grandezza sotto misura 2. è disponibile uno strumento di riferimento In entrambi i casi è buona norma avere a disposizione dati di taratura con un’accuratezza migliore di circa un ordine di grandezza rispetto a quella desiderata 2. raccolta dati di taratura

Taratura mediante campioni Strumento di misura Uscita Campione di laboratorio Interpretazione misure, curva di taratura Taratura mediante campioni 2. raccolta dati di taratura

Ingresso generico Strumento di misura Strumento di riferimento Uscita Strumento di riferimento Taratura per confronto Interpretazione misure, curva di taratura 2. raccolta dati di taratura

Non sempre si parte da una situazione del genere: uscita Uscita = y0 misurando y0 misurando Idealmente: modello teorico  punti di taratura raccolti sperimentalmente 3. regressione del modello

Uscita = y0 misurando Si può infatti avere la seguente situazione: Ovvero il modello teorico  punti di taratura raccolti sperimentalmente … ed in generale i parametri del modello (tutti od alcuni di essi) possono essere incogniti, dunque occorre determinarli 3. regressione del modello

ANALISI DI REGRESSIONE L’analisi di regressione consente di determinare i parametri di un modello in modo tale che “al meglio” interpreti i dati sperimentali mediante un legame algebrico ingresso-uscita. Analisi di regressione Fondamenti 3. regressione del modello

Tipi di modelli 3. regressione del modello Modelli lineari, ad esempio: Analisi di regressione Tipi di modelli Modelli non lineari, ad esempio: 3. regressione del modello

Scopo Determinare i parametri ci, i=1,...m, in base alla ripetizione delle misure delle grandezze xi, i=1,...N, e delle corrispondenti uscite yi ed alla scelta del tipo di modello, minimizzando un certo indice di prestazione. Analisi di regressione Scopo 3. regressione del modello

Metodo dei minimi quadrati Esempio: la media Analizziamo il caso in cui y sia funzione di una sola variabile x, se si ha un insieme di dati sperimentali x1, x2, … ,xN che hanno una certa dispersione a causa di variazioni casuali, si voglia determinare il valore x’ che rende minimo il quadrato degli scarti da esso

Nel metodo dei minimi quadrati l’indice di prestazione è costituito dalla somma dei quadrati degli scarti (anche detti residui): Essendo: metodo dei minimi quadrati L’insieme dei parametri si determina: 3. regressione del modello

Caso lineare - Calcolo retta ai minimi quadrati: Si noti che i residui risultano essere lineari in funzione dei parametri da determinare Dunque anche il fitting con un polinomio qualsiasi risulta risolvibile in maniera analoga y Il metodo dei minimi quadrati Esempio: retta ai minimi quadrati ei parametri (a,b) N Dati sperimentali x 3. regressione del modello

Posizione del problema (La soluzione ha un solo minimo) Il metodo dei minimi quadrati Segue (retta ai minimi quadrati) Posizione del problema 3. regressione del modello

Soluzione Dove: 3. regressione del modello Il metodo dei minimi quadrati Segue (retta ai minimi quadrati) soluzione 3. regressione del modello

3. regressione del modello – Espressione incertezza Una volta effettuata la regressione lineare si ottengono i parametri con le loro incertezze, vediamo come si esprime l’incertezza sulla curva di taratura (bande di tolleranza): uscita Se la relazione fra x e y non è lineare, in certi casi è possibile trasformare tale relazione ottenendo un legame lineare All’interno di tale banda dovrebbero essere compresi circa il 95% dei dati sperimentali b b+2b b-2b misurando 3. regressione del modello – Espressione incertezza

3. regressione del modello – Espressione incertezza Calcolata la banda di tolleranza è possibile ricavare per ogni valore del misurando e per ogni valore dell’uscita la relativa incertezza ovvero il relativo intervallo di confidenza (nel caso trattato ai ±2s ovvero al 95%) uscita Incertezza in uscita Se la relazione fra x e y non è lineare, in certi casi è possibile trasformare tale relazione ottenendo un legame lineare Incertezza sul misurando misurando 3. regressione del modello – Espressione incertezza

Legame lineare Cosa accade se la relazione è non lineare: Linearizzazione mediante trasformazione Ponendo: Se la relazione fra x e y non è lineare, in certi casi è possibile trasformare tale relazione ottenendo un legame lineare Legame lineare 3. regressione del modello

La sensibilità statica Sa è definita come la pendenza della curva di taratura: Sa = dgu / dgi essendo gi la grandezza in ingresso e gu la grandezza in uscita. Se la curva di taratura è una retta, la sensibilità assoluta è costante e si ha: Sa = gu / gi (= a)

Il caso in cui esiste un numero molto elevato di ingressi di disturbo che hanno un debole effetto sulla misura e che risultano difficili od impossibili da controllare coincide con l’ipotesi del teorema del limite centrale che ipotizza una densità di probabilità di tali effetti combinati di natura gaussiana. La verifica di gaussianità può quindi essere un valido metodo per la validazione sia del modello adottato che dell’operazione di taratura in quanto se abbiamo compensato tutti gli effetti sistematici più significativi dovrebbero rimanere solo quelli di debole effetto e verosimilmente non correlati tra loro 4. validazione del modello mediante analisi dei residui

4. validazione del modello mediante analisi dei residui Uscita modello dati sperimentali L’andamento dei residui è piuttosto casuale e se venisse calcolato l’istogramma avrebbe una caratteristica vicina al modello gaussiano NOTA: l’istogramma dei residui rappresenta la PDF dell’errore e quindi la stima di incertezza associata con l’uscita dello strumento misurando Residui = modello - dati Istogramma dei residui misurando frequenza 4. validazione del modello mediante analisi dei residui

4. validazione del modello mediante analisi dei residui Uscita modello dati sperimentali … ma se avessimo scelto un modello lineare? L’andamento dei residui presenterebbe un andamento deterministico sovrapposto ad uno casuale e se venisse calcolato l’istogramma non avrebbe una caratteristica vicina al modello gaussiano misurando Residui = modello – dati (andamento quasi parabolico) Istogramma dei residui misurando frequenza 4. validazione del modello mediante analisi dei residui

3. regressione del modello - Esempio close all % dati ideali di modello x = 0:1:20; y = 0.2*x.^2 + 1; % aggiungiamo l'affetto di tanti ingressi di disturbo sotto l'ipotesi di % controllo statistico ovvero di validità del limite centrale: yreale = y + normrnd(0, 1, 1, length(x)); figure, plot(x, y, x, yreale) % determiniamo i parametri di modello retta: pl = polyfit(x, yreale, 1) yretta = pl(1)*x + pl(2); figure subplot(2,1,1), plot(x, yreale, 'ob', x, yretta, 'r'), title('Dati sperimentali e regressione lineare') grid on subplot(2,1,2), plot(x, yreale - yretta, 'b'), title('Residui'), grid on Se la relazione fra x e y non è lineare, in certi casi è possibile trasformare tale relazione ottenendo un legame lineare 3. regressione del modello - Esempio

3. regressione del modello - Esempio Se la relazione fra x e y non è lineare, in certi casi è possibile trasformare tale relazione ottenendo un legame lineare 3. regressione del modello - Esempio

3. regressione del modello - Esempio % determiniamo i parametri di modello parabola: pl = polyfit(x, yreale, 2) yparabola = pl(1)*x.^2 + pl(2)*x + pl(3); figure subplot(2,1,1), plot(x, yreale, 'ob', x, yparabola, 'r'), title('Dati sperimentali e regressione quadratica') grid on subplot(2,1,2), plot(x, yreale - yparabola, 'b'), title('Residui'), grid on % figure, hist(yreale - yparabola), title('Istogramma residui modello quadratico') % determiniamo i parametri di modello cubica: pl = polyfit(x, yreale, 3) yparabola = pl(1)*x.^3 + pl(2)*x.^2 + pl(3)*x + pl(4); subplot(2,1,1), plot(x, yreale, 'ob', x, yparabola, 'r'), title('Dati sperimentali e regressione cubica') Se la relazione fra x e y non è lineare, in certi casi è possibile trasformare tale relazione ottenendo un legame lineare 3. regressione del modello - Esempio

3. regressione del modello - Esempio Se la relazione fra x e y non è lineare, in certi casi è possibile trasformare tale relazione ottenendo un legame lineare 3. regressione del modello - Esempio

3. regressione del modello - Esempio Se la relazione fra x e y non è lineare, in certi casi è possibile trasformare tale relazione ottenendo un legame lineare 3. regressione del modello - Esempio

3. regressione del modello – Esempio: overfitting % determiniamo i parametri di modello quattordicesino ordine: pl = polyfit(x, yreale, 14) yparabola = pl(1)*x.^14 + pl(2)*x.^13 + pl(3)*x.^12 + pl(4)*x.^11 +.... pl(5)*x.^10 + pl(6)*x.^9 + pl(7)*x.^8 + pl(8)*x.^7 + pl(9)*x.^6 +... pl(10)*x.^5 + pl(11)*x.^4 + pl(12)*x.^3 + pl(13)*x.^2 + pl(14)*x + pl(15); figure subplot(2,1,1), plot(x, yreale, 'ob', x, yparabola, 'r') title('Dati sperimentali e regressione quattordicesino ordine'), grid on subplot(2,1,2), plot(x, yreale - yparabola, 'b'), title('Residui'), grid on Se la relazione fra x e y non è lineare, in certi casi è possibile trasformare tale relazione ottenendo un legame lineare 3. regressione del modello – Esempio: overfitting

3. regressione del modello – Esempio: overfitting Se la relazione fra x e y non è lineare, in certi casi è possibile trasformare tale relazione ottenendo un legame lineare 3. regressione del modello – Esempio: overfitting

3. regressione del modello – Esempio: overfitting A parte l’andamento oscillante che può non essere giustificato (dipende dal fenomeno fisico connesso con il sistema), sembrerebbe che un modello di polinomio di ordine superiore sia capace di rappresentare meglio l’andamento ingresso uscita visto che i residui si sono ridotti … … andiamo a verificare cosa esprime il modello al di fuori dei valori campionati, ovvero andiamo a campionare il dominio x con passo più fine Se la relazione fra x e y non è lineare, in certi casi è possibile trasformare tale relazione ottenendo un legame lineare 3. regressione del modello – Esempio: overfitting

3. regressione del modello – Esempio: overfitting figure, plot(x, yreale, 'ob'), hold on x = 0:0.02:20; yparabola = pl(1)*x.^14 + pl(2)*x.^13 + pl(3)*x.^12 + pl(4)*x.^11 +.... pl(5)*x.^10 + pl(6)*x.^9 + pl(7)*x.^8 + pl(8)*x.^7 + pl(9)*x.^6 +... pl(10)*x.^5 + pl(11)*x.^4 + pl(12)*x.^3 + pl(13)*x.^2 + pl(14)*x + pl(15); plot(x, yparabola, 'r'), grid on title('Dati sperimentali e regressione quattordicesino ordine') Se la relazione fra x e y non è lineare, in certi casi è possibile trasformare tale relazione ottenendo un legame lineare 3. regressione del modello – Esempio: overfitting

3. regressione del modello – Esempio: overfitting In alcuni tratti il modello del 14° ordine estrapola l’andamento in maniera assolutamente non giustificata!!! Se la relazione fra x e y non è lineare, in certi casi è possibile trasformare tale relazione ottenendo un legame lineare 3. regressione del modello – Esempio: overfitting

3. regressione del modello – Esempio: overfitting Se la relazione fra x e y non è lineare, in certi casi è possibile trasformare tale relazione ottenendo un legame lineare Ripetendo le acquisizioni ed il fitting il risultato è anche poco ripetibile! 3. regressione del modello – Esempio: overfitting

3. regressione del modello – validazione Per poter verificare la bontà sia del processo di acquisizione che del modello usato è possibile effettuare una collezione dei dati due volte. Una per la regressione ed una per la verifica MATLAB chi2gof Test  x Fitting con modello Verifica test 2 pi yf + Calcolo Dev std Dati per la regressione Confronto deviazioni standard - Se la relazione fra x e y non è lineare, in certi casi è possibile trasformare tale relazione ottenendo un legame lineare x Previsione con modello yp + - yv + Dati per la validazione Calcolo Dev std - 3. regressione del modello – validazione

3. regressione del modello – validazione Nel caso in esame il confronto dei residui tra set di regressione rispetto al set di validazione porta a concludere: Residui fitting poco gaussiani (2 tende ad essere inferiore del valore basso dell’intervallo ammesso) Dev std molto diverse Se la relazione fra x e y non è lineare, in certi casi è possibile trasformare tale relazione ottenendo un legame lineare 3. regressione del modello – validazione

Grafico di probabilità normale MATLAB: normplot

Distribuzione normale

Distribuzione asimmetrica

Distribuzione bimodale

3. regressione del modello – caso non lineare Analizziamo il seguente caso di regressione non lineare: Si potrebbe procedere analiticamente imponendo l’annullamento delle derivate Il metodo dei minimi quadrati Segue (retta ai minimi quadrati) Posizione del problema 3. regressione del modello – caso non lineare

Oppure risolvere numericamente il problema close all clear all % dati ideali di modello x = 0:0.2:5; y = 10./(1 + 0.5*x); % aggiungiamo l'affetto di tanti ingressi di disturbo sotto l'ipotesi di % controllo statistico ovvero di validità del limite centrale: yreale = y + normrnd(0, 1, 1, length(x)); figure, plot(x, y, x, yreale) Se la relazione fra x e y non è lineare, in certi casi è possibile trasformare tale relazione ottenendo un legame lineare 3. regressione del modello – caso non lineare

3. regressione del modello – caso non lineare % determiniamo i parametri mediante minimizzazione del funzionale: a = 1:1:15; b = 0:0.1:1; Funzionale = []; min = 10e6; for i = 1:length(a) for j = 1:length(b) Funzionale(i,j) = sum((yreale - a(i) ./ (1+b(j)*x)).^2); if Funzionale(i,j) < min min = Funzionale(i,j); amin = a(i); bmin = b(j); end Se la relazione fra x e y non è lineare, in certi casi è possibile trasformare tale relazione ottenendo un legame lineare 3. regressione del modello – caso non lineare

3. regressione del modello – caso non lineare yfitting = amin ./ (1 + bmin * x); figure, figure, plot(x, y, 'c' , x, yreale, 'ob', x, yfitting, 'r') legend('modello di partenza vero', 'dati sperimentali', ... 'modello di regressione'), grid on figure, surf(b, a, Funzionale) Se la relazione fra x e y non è lineare, in certi casi è possibile trasformare tale relazione ottenendo un legame lineare 3. regressione del modello – caso non lineare

Risultato della soluzione numerica: Se la relazione fra x e y non è lineare, in certi casi è possibile trasformare tale relazione ottenendo un legame lineare amin = 9 bmin = 0.4 min = 20.56 3. regressione del modello – caso non lineare