Logica 17-18 Lezioni 13-15

Lezione 14 6/11/17

ESAME INTERMEDIO Martedì 14 novembre ore 14-15 Le domande del primo esame scritto vertono sulla logica proposizionale e sono di due tipi: (1) traduzione di semplici enunciati in italiano nel linguaggio della logica proposizionale; (2) utilizzazione del metodo delle tavole di verità o degli alberi di refutazione per valutare enunciati o argomentazioni. Gli esercizi di traduzione saranno ripresi dagli esercizi per casa o da esempi fatti in classe

AVVISO Convegno sui paradossi logici: Martedì 14 Novembre, ore 17-19,30, AULA B INTRODUCE Francesco ORILIA (Università di Macerata) INTERVENGONO Riccardo BRUNI (Università di Firenze) Circolarità e paradossi Andrea VETTORE (Università di Macerata) Verità, Falsità, Non Verità, Contraddizione

Introduzione del condizionale Questa è una regola "ipotetica" Impariamola studiando insieme l'esercizio 4.12 p. 101

Esercizio risolto 4.15 Soluzione Dimostrare: (P & Q) → R |– P → (Q → R) Soluzione Ipotizziamo l’antecedente ‘P’ della conclusione alla riga 2. Per derivare il conseguente, cioè ‘Q → R’, ipotizziamo l’antecedente ‘Q’ di questo condizionale alla riga 3. Dato che questa è una nuova ipotesi, è richiesta una nuova linea verticale. Abbiamo ora assunto due ipotesi. Deriviamo ‘R’ da ‘Q’ alla riga 5. Ciò ci permette di scaricare l’ipotesi ‘Q’ e inferire ‘Q → R’ per →I alla riga 6. Abbiamo ora mostrato che ‘Q → R’ segue dalla nostra ipotesi originaria ‘P’. Quest’ipotesi rimane in vigore fino a che non la scarichiamo e inferiamo la conclusione voluta mediante un’altra applicazione di →I alla riga 7.

Introduzione della negazione (dimostrazione per assurdo) guardare esempi pp. 105-106: 4.18, 4.19, 4.20 Refusi nell'es. 4.19: salta il 5 nella numerazione delle righe e la linea verticale dovrebbe partire dalla riga 2.

Esempio 4.21 p. 106 Questo esempio, oltre a mostrare l'uso della regola di intro della negazione, illustra una strategia: se abbiamo a disposizione una disgiunzione, tipicamente è utile cercare di dimostrare che entrambi i disgiunti implicano la conclusione desiderata. In questo caso, cerchiamo di ottenere questa conclusione con la regola di intro della neg.

Esercizio 4.21: strategia P  Q |– (P & Q) dimostriamo per assurdo e quindi ipotizziamo; (1) P  Q Per ottenere una contraddizione cerchiamo di dimostrare l'opposto della nostra premessa, ossia P & Q Dobbiamo quindi dimostrare una congiunzione. Per farlo, dobbiamo dimostrare entrambi i congiunti: P, Q Ma come? Per assurdo, ossia prima ipotizzando P , poi Q In entrambi i casi , grazie alla regola I ottengo una contraddizione

Esercizio risolto 4.23 Dimostrare: (P & Q) |– P  Q Soluzione

Lezione 15 7/11/17

Esercizio risolto 4.23 Dimostrare: (P & Q) |– P  Q Riguardiamo con attenzione questo esempio Abbiamo detto che, in mancanza di una strategia migliore, ragioniamo per assurdo e quindi ipotizziamo (P  Q) e proviamo a dimostrare una contraddizione. Quando ragioniamo per assurdo, spesso cerchiamo di contraddire una delle premesse. In questo caso cerchiamo di contraddire la nostra unica premessa (P & Q). Ossia miriamo ad ottenere (P &Q). In questo modo avremo la contraddizione (P &Q) & (P & Q). Il che ci permette di inferire la conclusione desiderata, ossia P  Q (perché negandola abbiamo ottenuto la contraddizione) Quindi abbiamo questo obiettivo: dimostrare (P &Q ). Come? Dobbiamo dimostrare prima un congiunto e poi l’altro. Come? Per assurdo

Esercizio risolto 4.23 Dimostrare: (P & Q) |– P  Q Soluzione

Strategie dimostrative (1) Dimostrare per assurdo in mancanza di altre strategie. Se la formula da dimostrare è atomica, o comunque non è una negazione, ipotizzare la negazione della conclusione, tipicamente al fine di ottenere la sua doppia negazione tramite ∼I; quindi applicare ∼E. (2) Dimostrare per assurdo in mancanza di in mancanza di altre strategie. Se la formula da dimostrare è una negazione: assumere per ipotesi la conclusione senza il segno di negazione per ottenere una contraddizione; quindi applicare ∼I. (3) Per dimostrare una congiunzione: dimostrare ciascuno dei congiunti separatamente e poi congiungerli mediante &I.

Strategie dimostrative (ii) (4) Per dimostrare una disgiunzione: provare a derivare uno dei disgiunti per applicare vI. Se questa strategia fallisce, ragionare per assurdo, comportandosi come nel caso delle fbf atomiche; cioè assumere la negazione della conclusione e poi applicare ∼I e ∼E. (5) Per dimostrare una condizionale: ipotizzare l’antecedente e derivare il conseguente, poi applicare →I. (6) Per dimostrare una bicondizionale: usare →I due volte per dimostrare i condizionali necessari a ottenere la conclusione per ↔I.

Strategie dimostrative (iii) Aggiungerei: se tra le premesse è disponibile una disgiunzione P v Q e bisogna dimostrare C, provare a dimostrare sia P → C che Q → C e poi applicare vE

Sommario delle 10 regole di base Guardare insieme la tabella riassuntiva 4.2 a p. 118

Esempio per sostituzione E’ una nozione che ci serve per potere aggiungere «regole derivate» Un esempio per sostituzione di una fbf o di una forma argomentativa è il risultato della sostituzione di zero o più lettere enunciative con fbf qualsiasi, anche complesse, purché ogni occorrenza della stessa lettera venga sostituita dalla stessa fbf Diciamo zero o più’ per permettere a ogni forma di valere come esempio per sostituzione di se stessa. Esempio ...

P → Q, ∼Q |– ∼P Sostituzioni: P = (P ∨ N) Q = ∼S (P ∨ N) → ∼S, ∼∼S |– ∼(P ∨ N)

Regole derivate Se è valida una certa forma argomentativa φ1, ..., φn |– ψ, sarà valido qualsiasi esempio per sostituzione φ1*, ..., φn* |– ψ* di quella forma Motivo: potrei ripetere gli stessi passi dimostrativi che mi hanno condotto a ψ da φ1, …, φn, questa volta per ottenere ψ* da φ1*, ..., φn* Quindi la dimostrazione di una forma argomentativa genera una corrispondente regola DERIVATA

Esempio: abbiamo dimostrato (es. 4.18) che questa forma è valida: P → Q, ∼Q |– ∼P Allo stesso modo potremmo dimostrare la validità di qualsiasi esempio per sostituzione di tale forma. Quindi posso assumere questa regola derivata: Da una fbf della forma φ → ψ e ∼ψ, (è lecito) inferire ∼φ.

regole derivate notevoli Alcune regole derivate sono particolarmente utili e intuitive. Gli è stato quindi assegnato un nome ed è utile conoscerle e imparare a usarle per abbreviare le dimostrazioni. Quella che abbiamo appena visto viene chiamata Modus tollens (MT): MT Modus tollens: Da una fbf della forma φ → ψ e ∼ψ, (è lecito) inferire ∼φ. v. tabella 4.3 p. 118

Lezione 16 Mercoledì 8 Novembre Ripasso in vista dell’esame intermedio a cura del dott. Jansen Favazzo