Corso di Elettrotecnica (Allievi aerospaziali) Reti Elettriche Parte II Revisione aggiornata al 2 maggio 2012 (www.elettrotecnica.unina.it)

Circuiti in regime lentamente variabile

Bipoli elementari lineari

Bipoli resistenza e induttanza In regime stazionario equivale ad un corto circuito ideale

Bipoli capacità e generatori ideali di tensione e di corrente

Flusso di autoinduzuine La corrente i crea B(t) e il flusso di autoinduzione γ concatenato con la spira orientata γ. Se γ è immersa in un mezzo lineare: γ=f(i)=Li L è il coefficiente di autoinduzione [Henry].Se il verso di γ è concorde con il verso di i, per i>0 γ>0 e per i<0 γ<0 → L= γ/i>0

Esempi di realizzazione del bipolo induttanza Nella spira attraversata da i(t) insorge la f.e.m. e(t): in cui φγ è il flusso d’autoinduzione Li. LKT fornisce: v+e=Ri Trascurando R:

Esempi di realizzazione del bipolo induttanza

Esempio di realizzazione del bipolo capacità Dato il condensatore piano C la LKT fornisce: v-vC=Ri≈0 C v=vC v(t) q=cvC

Realizzazione di generatori di tensione sinusoidale γ

Richiami sulle funzioni periodiche Si dice periodica una funzione del tempo y=f(t) che assume valori che si ripetono a "intervalli" regolari T. Si ha: Si dice periodo il valore minimo di T (se esiste) che soddisfa tale relazione.

Richiami sulle funzioni periodiche La frequenza è il numero di cicli in un secondo: f=1/T [Hertz] La pulsazione è la quantità: ω=2πf=2π/T [Rad/sec] Si dice valore medio di f(t) nel periodo T la quantità: indipendente da t0. Se Fm=0, f(t) si dice alternata o alternativa. Si dice valore efficace di f: (valore quadratico medio)

Funzioni periodiche: significato fisico del valore efficace Regime periodico Regime stazionario p=vi=Ri2 P=VI=RI2 Energia assorbita nell’intervallo T I 2 regimi sono equivalenti se WP=WS

Circuiti in regime lentamente variabile Analisi dei circuiti in regime sinusoidale

Grandezze sinusoidali AM ampiezza α fase Valore efficace: Se f=50 Hz, T=20 ms, ω=100π rad/s

Richiami sui numeri complessi Rappresentazione geometrica nel piano complesso Rappresentazione algebrica z=x+jy dove j è l’unità immaginaria definita da j2=-1. x è la parte reale di z y la parte immaginaria z è indicato anche come (x ,y). P è l’immagine di z. Gli assi x (asse reale) e y (asse immaginario) contengono le immagini di tutti i numeri reali e puramente immaginari. z è l’affissa complessa di P

Richiami sui numeri complessi Complesso coniugato di z=x+jy: z*=x-jy Modulo di z: Argomento di z (anomalia del vettore OP) ρ e θ sono le coordinate polari di z che si può indicare anche come z=[ρ, θ] Rappresentazione vettoriale di z sul piano complesso

Richiami sui numeri complessi Rappresentazione trigonometrica di z=x+jy: z=ρ(cosθ+jsin θ) Per la formula di Eulero ejθ=cosθ+jsinθ si ha la formulazione esponenziale complessa di z: z=[ρ, θ]= ρ ejθ

Operazioni sui numeri complessi SOMMA

Prodotto di numeri complessi Rappresentazione algebrica Rappresentazione polare

Divisione di numeri complessi Rappresentazione algebrica Rappresentazione polare

I vettori rotanti La grandezza sinusoid. è compiutamente identificata da A, α e ω, come la grandezza: Si ha quindi una corrispondenza biunivoca tra le a(t) e le . Si ha:

I fasori Fissata ω, è compiutamente identificata da A e α, come il fasore definito da: Si ha quindi una corrispondenza biunivoca tra le a(t) nel dominio del tempo ed i fasori nel campo complesso. α

Le operazioni sulle grandezze sinusoidali: la somma Date dove: O

Applicazione dei fasori nello studio delle reti in regime sinusoidale (Esercizio 1) Date i1(t), i2(t) e i3(t) calcolare i(t).

Relazioni di fase tra grandezze sinusoidali b(t) è sfasata in ritardo rispetto ad a(t) dell’angolo φ

Relazioni di fase tra grandezze sinusoidali b(t) è sfasata in anticipo rispetto a a(t) dell’angolo │φ│

Relazioni di fase tra grandezze sinusoidali a(t) e b(t) sono in fase

Prodotto di una grandezza sinusoidale per una costante Date: ed una costante reale k>0, α

Prodotto di un fasore per un numero complesso

Prodotto di un fasore per l’unità immaginaria j j fattore di rotazione di /2

Derivata temporale di una grandezza sinusoidale Data α

Prodotto di grandezze sinusoidali

Bipolo resistenza in regime sinusoidale Dominio dei fasori Dominio del tempo impedenza

Bipolo induttanza in regime sinusoidale Dominio dei fasori Dominio del tempo impedenza Reattanza

Bipolo capacità in regime sinusoidale Dominio dei fasori Dominio del tempo Impedenza Reattanza

Bipolo R-L in regime sinusoidale Dominio del tempo LKT Dominio dei fasori

Bipolo R-L in regime sinusoidale φ=arctg(ωL/R) Dominio del tempo i(t) costituisce un integrale particolare dell’equazione differenziale

Bipolo R-L in regime transitorio (v(t) sinusoidale) L’integrale generale dell’equazione differenziale: è dove ip(t) è un integrale particolare e λ è la radice dell’equaz. caratteristica dell’equaz. omogenea associata R+λL=0 (T=L/R costante di tempo) (trascurabile per t>5T)

Bipolo R-L in regime transitorio (v(t) sinusoidale) Se ad es. R=10 Ω, X=ωL=10 Ω, per f=50 Hz ω=100π rad/s, L=0,1/π Henry, T=L/R=0,01/π=3,18 ms; dopo circa 16 ms il termine transitorio ke-t/T è trascurabile.

Bipolo R-C in regime sinusoidale Dominio del tempo LKT Dominio dei fasori

Bipolo R-C in regime sinusoidale Dominio del tempo

Bipoli R-L e R-C in regime stazionario v(t)=V (costante) v(t)=V (costante) i=V/R

Bipoli R,L,C in regime sinusoidale R=A B>0 B<0 R=A R=A

Ammettenza di un bipolo

Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidale

Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidale LKT LKT LKC LKC

Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidale Millmann Millmann

Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidale Bipolo di Thévenin in regime stazionario Bipolo di Thévenin in regime sinusoidale

Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidale Bipolo di Norton in regime stazionario Bipolo di Norton in regime sinusoidale

Impedenze in serie

Impedenze in parallelo

Bipolo R-L-C e risonanza Impedenza L’impedenza del bipolo è: il bipolo è in risonanza se: ω0 pulsazione di risonanza.

Bipolo R-L-C e risonanza Corrente Valore efficace della corrente Se Il valore massimo di I si ha per ω=ω0 ed è pari a V/R

Bipolo R-L-C e risonanza. Fase Lo sfasamento φ: φ<0 per ω<ω0 il bipolo è equivalente a un bipolo R-C φ=0 per ω=ω0 il bipolo è equivalente al bipolo R φ >0 per ω>ω0 il bipolo è equivalente ad un bipolo R-L

Bipolo R-L-C e risonanza Fattore di merito Per ω=ω0 si ha: ω=ω0 Q fattore di merito

Bipolo R-L-C e risonanza Selettività La potenza massima assorbita dal bipolo si ha in ω=ω0: Pmax=RI2 In A e B la potenza P=Pmax/2. Δω è la larghezza di banda. Quanto più stretta è la banda tanto più selettivo è il bipolo. Al diminuire di R cresce Q=ω0L/R e Δω diminuisce.

Bipolo R-L-C e risonanza Influenza di R

Un esempio numerico (Esercizio 2) A f=10 Hz, R=7,32 Ω, R’=20 Ω, L=1/π Henry, C=1/(400π) Farad Calcolare i(t), i’(t), i”(t) B V ω=2πf=20π rad/s, XL=ωL=20 Ω, XC=20 Ω. Ω Ω A A A

Potenza nei circuiti in regime sinusoidale

Definizioni Se la tensione e la corrente di un bipolo sono: Adottando per il bipolo la convenzione dell’utilizzatore per le potenze assorbite e quella del generatore per quelle erogate, si possono definire le seguenti grandezze: p(t)=v(t)i(t) potenza istantanea [W] P=VIcosφ potenza attiva [W] Q=VIsinφ potenza reattiva (grandezza convenzionale) [VAr]

Definizioni Papp=VI Potenza apparente (grandezza convenzionale) [VA] Potenza complessa (grandezza convenzionale) La potenza istantanea, le potenze attiva, reattiva e complessa soddisfano il principio di conservazione delle potenze. Alle potenze non è applicabile la sovrapposizione degli effetti.

La potenza apparente Nel caso di reti di distribuzione dell’energia elettrica la potenza apparente può essere correlata ai costi di investimento sostenuti per la realizzazione delle reti stesse. Infatti: Papp=VI La V è correlata ai costo relativi al sistema di isolamento. La I è correlata alla quantità di rame impiegata.

La potenza istantanea Potenza attiva P Potenza fluttuante La potenza attiva P è pari al valore medio della potenza Istantanea p(t)

La potenza istantanea P=VIcosφ

Potenza attiva ed energia p fluttuante Se un utilizzatore U assorbe una potenza attiva P=VIcosφ costante nell’intervallo di tempo 0-t1>>T, l’energia assorbita è: L’energia assorbita da U può essere associata alla resa economica per l’impianto che alimenta U. Pertanto la potenza attiva P può essere correlata a tale resa economica.

Espressioni della potenza attiva La potenza attiva P può essere espressa in funzione dei vettori ed rappresentativi della tensione e della corrente come: oppure: Ia componente attiva della corrente

Potenza attiva e potenza apparente La potenza attiva P è legata alla potenza apparente Papp dalla relazione: P=(Papp)cosφ Correlata alla resa economica Correlata ai costi di investimento Il cosφ è detto fattore di potenza

Potenza reattiva La potenza reattiva Q=VIsinφ costituisce una grandezza convenzionale priva in generale di uno specifico significato fisico. Essa costituisce un indicatore di insoddisfacente resa economica e qualità del processo di utilizzazione dell’energia elettrica ed è utile nell’analisi delle reti elettriche poiché soddisfa il principio di conservazione. Essendo: a parità di potenza apparente, quanto maggiore è la Q, minore è la P e quindi la resa economica dell’impianto. Essendo inoltre: a parità di P, quanto maggiore è Q, maggiore è I e quindi maggiori sono le perdite per effetto Joule e le cadute di tensione sulla linea elettrica che alimenta l’utilizzatore U

Potenza reattiva P1=P2 Q1<Q2 I1<I2 φ1<φ2

Potenza complessa

Principio di conservazione delle potenze complesse Ipotesi: La stessa convenzione dei segni su tutti gli l lati della rete. Siano P1,.. Pi,…Pn gli n nodi della rete Tesi Somma parziale relativa al nodo Pi Generico bipolo costituente il k-esimo lato della rete

Principio di conservazione delle potenze complesse Dal principio di conservazione delle potenze complesse: essendo: si deducono i principi di conservazione delle potenze attive e reattive:

Misura della potenza L’amperometro ed il voltmetro misurano il valore efficace (valore quadratico medio) di v ed i. Il wattmetro la potenza attiva P (valore medio della potenza istantanea v(t)i(t)). i(t) V(t)

Potenze nel bipolo resistenza α=0

Potenze nel bipolo induttanza α=0

Potenze nel bipolo induttanza α=0

Potenze nel bipolo capacità α=0

Potenze nel bipolo capacità α=0

Potenze nel bipolo R-L α=0 φ>0

Potenze nel bipolo R-L α=0

Passività dei bipoli in regime lentamente variabile bipolo si dice invece passivo se, applicando la convenzione dell’utilizzatore, risulta per ogni t: Si ha quindi che l’energia che un bipolo passivo può erogare in un determinato intervallo di tempo non è mai maggiore di quella precedentemente assorbita. Sono passivi i bipoli R, L, C e tutti quelli risultanti dalla loro connessione.

Potenze nel bipolo R-C α=0

Una formulazione del principio di conservazione delle potenze potenze complesse erogate

Rifasamento Quanto minore è il cosφ di un impianto peggiore è la sua resa economica per l’ente distributore dell’energia elettrica e a parità di P maggiore è la corrente assorbita. Per impianti con P>15 kW non è consentito il funzionamento con cosφ medio (cosφm) minore di 0,7. Per 0,7< cosφm<0,9 occorre pagare una penale commisurata all’energia reattiva assorbita (WQ). dove τ è l’intervallo di fatturazione

Rifasamento DIME U utilizzatore ohmico- induttivo C capacità di φ*: φ desiderato DIME DIMENSIONAMENTO DI C

Caratterizzazione dei bipoli passivi Oltre che con l’equazione caratteristica: i bipoli passivi si possono caratterizzare mediante: In particolare possono essere forniti i dati nominali. (anticipo) (ritardo)

Caratterizzazione dei bipoli passivi Da ciascuna di queste caratterizzazione si può dedurre l’operatore impedenza. Ad es. dalla prima si ha:

Utilizzazione del principio di conservazione delle potenze Esempi numerici Esercizio 3 + R=10 Ω, ωL=19,6 Ω. Dati di targa utilizzatore U Vn=220 V, Pn=1,76 kW, cosφu=0,8 (rit.) Calcolare indicazione amperometro A (valore efficace della corrente i) Applicazione conservazione potenze P’=RI’2, Q’=ωLI’2. I’=220/z’. Ω. I’=10 A, P’=1 kW, Q’=1,96 kVAr. P”=Pn=1,76 kW, Q”=P”tgφu, tgφu=0,75, Q”=1,32 kVAr

Ptot=P’+P”=2,76 kW, Qtot=Q’+Q”=3,28 kVAr, kVA, cosφ=Ptot/Papp=0,643, φ=49,9° I=Papp/V=19,48 A (Indicaz. amperometro)

Applicazione dei fasori V; A A A A A

Es.4 B Rl Ll B’ R=10 Ω, ωL=19,6 Ω. Rl=0,5 Ω ωLl=1 Ω Dati di targa utilizzatore U Vn=220 V, Pn=1,76 kW, cosφu=0,8 (rit.) Calcolare il valore efficace V della tensione a monte v(t) affinché a valle ai capi dell’utilizzatore U sia applicata la sua tensione nominale Vn Applicazione conservazione potenze Dall’esercizio 3 si ricavano i seguenti dati relativi alla sezione A,A’: I=19,48 A, PA=2,76 kW, QA= 3,28 kVAr. I dati corrispondenti nella sez. B,B’

PB=RlI2 + PA=2,95 kW QB=ωLlI2 + QA =3,66 kVAr V=PappB/I=241,2 V ΔV=V-Vn=21,2 V (8,7 %) Applicazione dei fasori Dall’esercizio 3 nella sezione A-A’: A V Nella sezione B-B’: V V

Eserc. 5 R=10 Ω, ωL=19,6 Ω. f=50 Hz Dati di targa utilizzatore U Vn=220 V, Pn=1,76 kW, cosφu=0,8 (rit.) Calcolare C in maniera tale da rifasare totalmente l’impianto (cosφ=1) Dall’esercizio 3 si ricavano i seguenti dati relativi alla sezione A,A’: IA=19,48 A, PA=2,76 kW, QA= 3,28 kVAr, cosφA=0,643 . μF kVAr PB=PA=VIB IB=12,54 A ω =2πf=100π rad/sec

Esercizio 6 Nella stessa rete dell’esempio 3) calcolare C in maniera tale che il cosφ nella sezione B-B’ sia pari a 0,9. PA=2,76 kW, QA= 3,28 kVAr, cosφA=0,643 φA=49,9° cosφ*=0,9 φ*=25,8° kVAr μF PB=PA=VIBcosφ* IB=13,94 A

Reti con generatori a frequenza diversa Non è direttamente applicabile il metodo dei fasori. Se la rete è lineare si può applicare la sovrapposizione degli effetti nel dominio del tempo, considerando separatamente agenti i generatori a eguale frequenza. Per ciascun gruppo di generatori isofrequenziali si può applicare il metodo dei fasori. Un esempio numerico (esercizio 7) V V e3=200 V (costante) R=ωL= 1/(ωC)= 20 Ω Calcolare i1(t), i2(t), i3(t). ik(t)=i’k(t) + i’’k(t) + i’’’k(t) (k=1, 2, 3)

Calcolo delle i’k(t) (componenti a pulsazione ω) Ω Ω Ω Ω A V A A A A A

Calcolo delle i’’k(t) (componenti a pulsazione 2ω) Ω Ω Ω V A A A A A A

Calcolo delle i’’’k(t) (componenti stazionarie) Correnti risultanti A A A

Circuiti in regime sinusoidale Reti trifasi

Sistemi simmetrici trifasi di grandezze sinusoidali costituiscono un sistema simmetrico diretto di grandezze sinusoidali.

Sistemi simmetrici trifasi di grandezze sinusoidali costituiscono un sistema simmetrico inverso di grandezze sinusoidali.

Generazione di una f.e.m. sinusoidale ω α ω

Generazione di un sistema simmetrico di f.e.m. sinusoidali ω

Genesi di una rete trifase

Genesi di una rete trifase

Genesi di una rete trifase

Reti trifasi - Carico a stella - Denominazioni z: impedenza di fase e1, e2, e3 tensioni stellate di alimentazione e’1, e’2, e’3 tensioni stellate sul carico o di fase i1, i2, i3 correnti di linea o di fase v12, v23, v31 tensioni di linea o concatenate

equilibrato- Carico a stella Sistema trifase simmetrico ed equilibrato- Carico a stella α=0 v12, v23, v31, costituiscono una terna simmet. diretta Nelle reti di distribuzione E=220 V, V=380 V.

Stelle equilibrate- Circuito monofase equivalente Circuito monofase equivalente

9 lati, 3 nodi Circuito monofase equivalente

Un esempio (Esercizio 8) f=10 Hz, R=7,32 Ω, R’=20 Ω, L=1/π Henry, C=1/(400π) Farad Circuito monofase equivalente; circuito già precedentemente analizzato

Le correnti relative alle fasi 2 e 3 si deducono sfasando tali correnti di 120° e 240° in ritardo.

Sistema trifase simmetrico ed equilibrato- Carico a triangolo i1, i2, i3 e j12, j23, j31, sono 2 terne simmetriche Carico equilibrato

Confronto tra sistemi equilibrati con carico a stella e a triangolo Carico a triangolo ilinea=ifase vlinea ≠vfase(e) ilinea≠ifase(j) vlinea =vfase

Potenza nei sistemi trifasi simmetrici ed equilibrati Per il principio di conservazione delle potenze le potenze attiva e reattiva assorbite dal carico trifase sono pari alla somma di quelle erogate dai 3 generatori: φ è lo sfasamento tra e1 e i1

Esercizio 9 R=30 Ω; ωL=58,8 Ω. Dati di targa dell’utilizzatore equilibrato trifase UT: Vn=380 V (V concatenata); Pn=5,28 kW; cosφU=0,8 (ritardo). Calcolare tutte le correnti, le P e Q complessivamente assorbite dai due carichi ed il cosφ risultante.

Trasformando a stella il triangolo di R,L e sostituendo UT con una stella equivalente: Dati del bipolo U (utilizzatore monofase): Vu=220 V, Pu=1,76 kW, cosφu=0,8 (ritardo)

Circuito monofase equivalente Questa rete è già stata analizzata nell’esercizio 3 A A A Le correnti di linea relative alle fasi 2 e 3 si deducono sfasando tali correnti di 120° e 240° in ritardo. Le correnti J nei lati del triangolo R-L sono date da A A A Le Pe Q sono pari a quelle già calcolate nell’esercizio 3 moltiplicate per 3: P=8,26 kW, Q=9,84 kVAr, cosφ=0,643.

Esercizio 10 I dati sono quelli dell’esercizio 9. f=50 Hz. Dimensionare l’utilizzatore capacitivo UC in maniera tale che il cosφ a monte sia pari a 0,9.

P e Q a valle di UC sono già stati calcolati nell’esercizio 9. P=8,28 kW, Q= 9,84 kVAr, cosφ=0,643 φ=49,9° cosφ*=0,9 φ*=25,8° kVAr Se UC è costituito da una stella di condensatori di capacità Cy: μF Se UC è costituito da un triangolo di condensatori di capacità CΔ: μF

Esercizio 11 e1’ , e2’ , e3’ costituiscono una terna simmetrica di tensioni sinusoidali di pulsazione ω R=30 Ω; ωL=58,8 Ω; R’=5 Ω; ωL’=5 Ω. UT (carico ohmico-induttivo) assorbe la potenza P=5,28 kW con cosφ=0,8 essendo alimentato dalla tensione: Calcolare v2’3’(t) e v1a(t).

Circuito monofase equivalente I dati di U e la corrente i1 sono già calcolati nell’esercizio 9 V V V V V

Esercizio 12 R=30 Ω; ωL=58,8 Ω R’=5 Ω; ωL’=5 Ω Dati di targa dell’utilizzatore equilibrato trifase UT: Vn=380 V (V concatenata); Pn=5,28 kW; cosφU=0,8 (ritardo). e1’ , e2’ , e3’ costituiscono una terna simmetrica di tensioni sinusoidali di pulsazione ω. Calcolare il loro valore efficace E affinché al carico trifase UT sia applicata la tensione nominale (concatenata) Vn

P, Q, Papp e I nella sezione A sono date da: PA=PN+3R J2 QA=PNtgφu+3ωL J2 A PA=8,26 kW, QA=9,84 kVAr, PappA= 12,85 kVA, IA=19,49 A . PB=PA+3R’ IA2 QB=QA+3ωL’ IA2 PB=13,95 kW QB=15,53 kVAr PappB=20,88 kVA V

Rete trifase a tre fili: stella squilibrata Tensione di spostamento del centro stella Le terne delle tensioni stellate e’k e delle correnti ik non sono simmetriche.

Sistema trifase a quattro fili: stella squilibrata 1, 2, 3 conduttori di fase N conduttore di neutro

Sistema trifase: triangolo squilibrato

Un esempio di rete di distribuzione in BT

Misura della potenza in una rete trifase simmetrica ed equilibrata

Inserzione Aron

Misura della potenza in una rete trifase a 3 fili non equilibrata

Reti in regime lentamente variabile Funzionamento transitorio

Bipolo R-L in regime transitorio LKT

Bipolo R-L in regime transitorio (v(t) sinusoidale) L’integrale generale dell’equazione differenziale: è dove ip(t) è un integrale particolare e λ è la radice dell’equaz. caratteristica dell’equaz. omogenea associata R+λL=0 (T=L/R costante di tempo) Per il calcolo di k occorre imporre la condizione iniziale per t=0+ .

transitorio (v(t) sinusoidale) Bipolo R-L in regime transitorio (v(t) sinusoidale) La corrente i nell’induttanza è una variabile di stato, per cui i(0+)=i(0-). Se I0=[i(t)]t=0- imponendo i(0+)=i(0-)=I0 si ha: Se il circuito è inizialmente a riposo I0=0

Bipolo R-L in regime transitorio (v(t) sinusoidale) α<0

Risposta del bipolo R-L ad un gradino di tensione L’integrale generale dell’equazione è: T=L/R Imponendo i(0+)=i(0-)=0:

transitorio (v(t) sinusoidale) Bipolo R-C in regime transitorio (v(t) sinusoidale) L’integrale generale dell’equazione differenziale è: dove vcp(t) è un integrale particolare e λ è la radice dell’equaz. caratteristica dell’equaz. omogenea associata RCλ+1=0 (T=RC costante di tempo)

transitorio (v(t) sinusoidale) Bipolo R-C in regime transitorio (v(t) sinusoidale) Per il calcolo di k occorre imporre la condizione iniziale per t=0+ . La tensione vC è una variabile di stato, per cui vC(0+)=vC (0-). Se V0=[vC(t)]t=0- imponendo vC(0+)=vC (0-)=V0 si ha: La i è data da: Se la capacità è inizialmente scarica V0=0.

Bipolo R-C in regime transitorio (v(t) sinusoidale) α>0

Risposta del bipolo R-C ad un gradino di tensione L’integrale generale dell’equazione è: T=RC T=RC Imponendo vc(0+)=vc(0-)=0 si ha k=-V.

Bipolo R-L-C in regime transitorio dove vct è l’integrale L’integrale generale è generale dell’eq. omogenea associata (componente transitoria) e vcp è un integrale particolare dell’eq. differenziale completa. Integrale particolare dell’eq. completa Se v=V (costante) per t>0, vcp(t)=V. La corrente corrispondente è ip=0. Se v(t) è sinusoidale i fasori di v, i e vC sono dati da:

dove L’integrale particolare vcp(t) in tale caso è dato da: e la corrispondente corrente:

Equazione caratteristica dell’equazione omogenea associata dove è la pulsazione di risonanza del bipolo R-L-C Le radici di tale eq. sono: dove essendo dove Q è il fattore di merito del bipolo R-L-C. Se Q<1/2 le radici λ1 e λ2 sono reali e distinte e date da:

Se Q>1/2 le radici sono complesse e coniugate, date da: dove Se le radici λ dell’eq. caratteristica sono distinte (reali oppure complesse coniugate, Q<1/2 oppure Q>1/2) due soluzioni linearmente indipendenti dell’eq. omogenea associata sono : e il suo integrale generale è Se Q=1/2 le radici sono reali e coincidenti e date da: due soluzioni linearmente indipendenti dell’eq. omogenea associata sono :

Integrale generale dell’equazione omogenea associata Se Q<1/2 l’integrale generale dell’equazione omogenea associata e la corrispondente corrente: Q<1/2

Se Q>1/2: e la corrispondente corrente: Q>1/2

Se Q=1/2: e la corrispondente corrente: Q=1/2

Soluzioni dell’eq. differenziale completa e condizioni iniziali Per risolvere l’eq. differenziale completa occorre calcolare le costanti d’integrazione k1 e k2 imponendo le condizioni iniziali per t=0+alla vC ed alla sua derivata. La tensione sulla capacità vC e la corrente nell’induttanza i=C dvC/dt sono variabili di stato, per cui vC(0+)=vC (0-) e i(0+)=i (0-). Se V0=[vC(t)]t=0- e I0=[i(t)]t=0- il calcolo di k1 e k2 si effettua imponendo nell’integrale generale dell’equazione completa vC(0+)=V0 e i(0+)=I0. Se Q<1/2

Q<1/2 Risposta al gradino di ampiezza V (V0=0, I0=0, vCp(0)=V, ip(0)=0) Se Q=1/2

Risposta al gradino di ampiezza V [V0=0, I0=0, vCp(0)=V, ip(0)=0] Se Q>1/2

Risposta al gradino di ampiezza V [V0=0, I0=0, vCp(0)=V, ip(0)=0] Q>1/2 Inserzione di v(t) sinusoidale in un circuito inizialmente a riposo (V0=0, I0=0) dove