LA RETTA

Concetto primitivo La retta o linea retta è uno dei tre enti geometrici fondamentali della geometria euclidea. Viene definita da Euclide nei suoi Elementi come un concetto primitivo. Un filo di cotone o di spago ben teso tra due punti è un modello materiale che ci può aiutare a capire cosa sia la retta, un ente geometrico immateriale senza spessore e con una sola dimensione. La retta è inoltre illimitata in entrambe le direzioni, cioè è infinita. Viene generalmente contrassegnata con una lettera minuscola dell'alfabeto latino.

Definizioni Una retta può giacere (cioè essere contenuta) nel piano o nello spazio tridimensionale. Due rette nel piano possono essere: incidenti se si intersecano in uno e un solo punto; parallele se non si intersecano in uno e solo punto. Due rette nello spazio possono essere: complanari se esiste un piano che le contiene entrambe. In questo caso, sono incidenti se si intersecano e parallele altrimenti; sghembe se non sono contenute in un piano comune.

Proprietà La retta è in relazione con gli altri enti geometrici fondamentali, quali il punto, il piano e gli angoli, nel modo seguente: Per un punto si possono tracciare un infinito numero di rette. Per due punti passa una sola retta. Due rette incidenti in un punto generano angoli opposti uguali. Nello spazio, per una retta passano infiniti piani. Le prime 3 proprietà sono valide sia nel piano che nello spazio.

Retta nel piano cartesiano Una retta nel piano cartesiano è descritta da un'equazione lineare ax + by + c = 0 dove i coefficienti a, b , c sono dei numeri reali fissati, con a e b non contemporaneamente nulli. E’ possibile descrivere la stessa retta in forma esplicita, rispettivamente in una delle due forme seguenti: y = mx + q oppure x = my + q dove m si chiama coefficiente angolare e quantifica la pendenza della retta.

FORMA ESPLICITA 2 y = mx + q oppure x = my + q y = mx. La retta può anche essere descritta in forma esplicita come y = mx + q oppure x = my + q dove m si chiama coefficiente angolare e rappresenta la pendenza della retta. Nel caso specifico dell'equazione y = mx + q, il coefficiente m è la tangente (trigonometrica) dell'angolo che la retta forma con l'asse delle ascisse; il coefficiente q si chiama intercetta (od ordinata )all'origine e rappresenta l’ordinata del punto di passaggio della retta per l'asse delle ordinate, ovvero l'entità della traslazione della retta dall'origine. Se esso non è presente in una equazione, ovvero è nullo, vuol dire che la retta passa per l'origine. In tal caso la forma esplicita si riduce a: y = mx. Lo stesso discorso si applica, invertendo ascisse ed ordinate, all'equazione x = my + q. Si tenga presente che, a differenza della forma implicita, ciascuna delle due forme esplicite non descrive tutte le rette possibili: ad esempio le rette parallele all'asse y, come la retta x = 3, non sono descrivibili nella forma y = mx + q, in quanto non si possono ottenere per alcun valore del coefficiente angolare m; per lo stesso motivo le rette parallele all'asse x, come la retta y = − 1, non sono descrivibili nella forma x = my + q.

FORMA PARAMETRICA Una retta r in un piano risulta individuata quando sono descritti un suo punto P(x0 , y0) e la direzione, individuata da un vettore v(l,m). Con queste informazioni si possono immediatamente scrivere le equazioni parametriche della retta: dove k è un parametro reale. La retta è quindi descritta come l'insieme di punti ottenuti al variare di k nell'insieme dei numeri reali. Il punto (x0,y0) è ottenuto per il valore k = 0.

Retta passante per 2 punti La retta passante per due punti distinti P = (x1 ,y1) e Q = (x2,y2) del piano è descritta in forma cartesiana implicita dalla seguente equazione: che può essere riscritta nel modo seguente: Se , la retta non è verticale e può essere descritta in forma esplicita: Analogamente, se la retta non è orizzontale e può essere descritta eplicitando la variabile x. Se la retta non è né verticale né orizzontale, può anche essere descritta dall'equazine seguente:

Distanza punto-retta In matematica, e più precisamente in geometria analitica, la distanza di un punto P da una retta r è definita come la minima distanza fra P ed un punto Q di r. Se il punto e la retta sono contenuti nel piano cartesiano, la retta è descritta da un'equazione ax + by + c = 0, e la sua distanza dal punto P(x0,y0) è data dalla formula

Perpendicolarità La perpendicolarità è un concetto geometrico che indica la presenza di angolo retto tra due entità geometriche. Queste possono essere ad esempio due rette in un piano, oppure una retta ed un piano o due piani incidenti nello spazio.

Perpendicolarità nel piano cartesiano Una retta nel piano cartesiano può essere descritta in vari modi, e per ciascuno di questi esistono delle condizioni per determinare se due rette sono perpendicolari. Ad esempio, due rette descritte nella forma y = mx + q y = m'x + q’ sono perpendicolari se e solo se: m * m’ = -1

Parallelismo tra due rette Due rette r ed s sono parallele quando hanno almeno due proiezioni complanari parallele. Ovvero proiettando tali rette su due piani distinti α e β, le proiezioni di r ed s risulteranno parallele sia su α che su β. Due rette(non parallele all'asse delle y) sono fra loro parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare ovvero se m = m’

Coefficiente angolare In geometria analitica il coefficiente angolare di una retta nel piano cartesiano è il valore del parametro m nell'equazione della retta . Il parametro q rappresenta invece l'intercetta con l'asse delle ordinate, ovvero la retta interseca l'asse y nel punto (0,q). Il coefficiente angolare rappresenta inoltre la tangente dell'angolo α che la retta forma con l'asse delle x, ovvero Considerando la retta come funzione nella variabile x (f(x) = mx + q), il coefficiente angolare esprime la derivata della retta (che è costante, poiché la funzione è un polinomio di primo grado). Il coefficiente angolare di una retta passante per l'origine del sistema di assi coordinati è dato semplicemente dal rapporto tra l'ordinata e l'ascissa di uno qualsiasi dei suoi punti. Per una retta generica, invece, date le coordinate cartesiane di due punti e ad essa appartenenti, si può calcolare il coefficiente angolare mediante la relazione