Geometria descrittiva dinamica Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge LE OPERAZIONI GEOMETRICHE INTERSEZIONE TRA RETTA E PIANO ESERCITAZIONI GRAFICHE Il disegno è stato eseguito nell’a. s. 1991/1992 da Mariani Pasquale della classe 4°A dell’ Istituto Statale d’Arte « G. Mazara» di Sulmona per la materia :“Geometria descrittiva” Insegnante: Prof. Elio Fragassi Il materiale può essere riprodotto citando la fonte Autore Prof. Arch. Elio Fragassi

Geometria descrittiva dinamica Intersezione tra retta e piano (1) Esercitazione grafica n° 1 Ricercare l’intersezione della retta r generica con un piano generico a Dati r(Ðp1+; Ðp2+); a(Ðp1+; Ðp2+) Passo 1 Definire, anzitutto, un piano b contenente la retta assegnata r b(Ðp1+; Ðp2+) Ì r(Ðp1+; Ðp2+) - (Esercizio 01) Passo 2 Determinare la retta x quale risultato dell’intersezione tra i piani a e b b(Ðp1+; Ðp2+) Ç a(Ðp1+; Ðp2+) ® x (Ðp1+;Ðp2+) Passo 3 Definire il punto P come intersezione della retta data r con la retta x trovata r(Ðp1+; Ðp2+) Ç x (Ðp1+; Ðp2+) ® P(P’; P’’) Dati Risoluzione A questo punto è necessario dimostrare che si ottiene lo stesso risultato (stesso punto P) anche utilizzando, per il primo passo dell’algoritmo grafico, piani completamente diversi con l’unica condizione che devono contenere la retta r data. Passo 1 b(^p1+; Ðp2+) Ì r(Ðp1+; Ðp2+) - (Esercizio 01-1) Infatti l’esercizio 01-1 risolve il medesimo problema mediante un piano b proiettante prima proiezione che, intersecando il piano dato a determina una retta generica x nel primo diedro che, intersecandosi con la retta r data determina il punto P con gli stessi valori dell’esercizio 01

Geometria descrittiva dinamica Intersezione tra retta e piano (2) Esercitazione grafica n° 2 Ricercare l’intersezione della retta r generica con un piano generico a Dati r(Ðp1+; Ðp2+); a(Ðp1+; Ðp2+) Passo 1 Definire anzitutto un piano b contenente la retta assegnata r b(Ðp1+; Ðp2+) Ì r(Ðp1+; Ðp2+) – (Esercizio 02) Passo 2 Determinare la retta x quale risultato dell’intersezione tra i piani a e b b(Ðp1+; Ðp2+) Ç a(Ðp1+; Ðp2+) ® x (Ðp1+;Ðp2+) Passo 3 Definire il punto P d’intersezione della retta data r con la retta x trovata r(Ðp1+; Ðp2+) Ç x (Ðp1+; Ðp2+) ® P(P’; P’’) Dati Risoluzione A questo punto è necessario dimostrare che si ottiene lo stesso risultato (stesso punto P) anche utilizzando, per il primo passo dell’algoritmo grafico, piani completamente diversi con l’unica condizione che devono contenere la retta r data. Passo 1 b(Ðp1+; Ðp2+; //lt) Ì r(Ðp1+; Ðp2+) - (Esercizio 02-1) Infatti l’esercizio 02-1 risolve il medesimo problema mediante un piano b generico parallelo alla lt che, intersecando il piano dato a determina una retta generica x nel primo diedro che, intersecandosi con la retta r data determina il punto P con gli stessi valori di aggetto e quota dell’esercizio 02.

Geometria descrittiva dinamica Intersezione tra retta e piano (3) Esercitazione grafica n° 3 Ricercare l’intersezione di r generica nel IV diedro con a generico nel I diedro Dati r(Ðp1+; Ðp2-); a(Ðp1+; Ðp2+) Passo 1 Definire anzitutto un piano b contenente la retta assegnata r b(Ðp1+; Ðp2+) Ì r(Ðp1+; Ðp2-) – (Esercizio 03) Passo 2 Determinare la retta x quale risultato dell’intersezione tra i piani a e b b(Ðp1+; Ðp2+) Ç a(Ðp1+; Ðp2+) ® x (Ðp1+;Ðp2+) Passo 3 Definire il punto P come intersezione della retta data r con la retta x trovata r(Ðp1+; Ðp2-) Ç x (Ðp1+; Ðp2+) ® P(P’; P’’) Dati Risoluzione A questo punto è necessario dimostrare che si ottiene lo stesso risultato (stesso punto P) anche utilizzando, per il primo passo dell’algoritmo grafico, piani completamente diversi con l’unica condizione che devono contenere la retta r data. Passo 1 b(^p1+; Ðp2+) Ì r(Ðp1+; Ðp2-) - (Esercizio 03-1) Infatti l’esercizio 03-1 risolve il medesimo problema mediante un piano b proiettante in prima proiezione che, intersecando il piano dato a determina una retta generica x nel primo diedro che, intersecandosi con la retta r data determina il punto P con gli stessi valori di aggetto e quota dell’esercizio 03

Geometria descrittiva dinamica Intersezione tra retta e piano (4) Esercitazione grafica n° 4 Ricercare l’intersezione di r orizzontale con a generico collocati nel I diedro Dati r(//p1+; Ðp2+); a(Ðp1+; Ðp2+) Passo 1 Definire anzitutto un piano b contenente la retta assegnata r b(//p1+; ^p2+) Ì r(//p1+; Ðp2+) – (Esercizio 04) Passo 2 Determinare la retta x quale risultato dell’intersezione tra i piani a e b b(//p1+; ^p2+) Ç a(Ðp1+; Ðp2+) ® x (//p1+;Ðp2+) Passo 3 Definire il punto P come intersezione della retta data r con la retta x trovata r(//p1+; Ðp2+) Ç x (//p1+; Ðp2+) ® P(P’; P’’) Dati Risoluzione A questo punto è necessario dimostrare che si ottiene lo stesso risultato (stesso punto P) anche utilizzando, per il primo passo dell’algoritmo grafico, piani completamente diversi con l’unica condizione che devono contenere la retta r data. Passo 1 b(Ðp1+; Ðp2+) Ì r(//p1+; Ðp2+) - (Esercizio 04.1) Infatti l’esercizio 04-1 risolve il medesimo problema mediante un piano b generico nel I diedro che, intersecando il piano dato a determina una retta generica x nel primo diedro che, intersecandosi con la retta r data definisce il punto P con gli stessi valori di aggetto e quota dell’esercizio 04

Geometria descrittiva dinamica Intersezione tra retta e piano (5) Esercitazione grafica n° 5 Intersezione di r generica nel I diedro con a generico // lt nel II diedro Dati r(Ðp1+; Ðp2+); a(Ðp1-; Ðp2+; //lt) Passo 1 Definire anzitutto un piano b contenente la retta assegnata r b*(Ðp1+; Ðp2+) Ì r(Ðp1+; Ðp2+) – (Esercizio 05) (*b con tracce allineate) Passo 2 Determinare la retta x quale risultato dell’intersezione tra i piani a e b b(Ðp1+; Ðp2+) Ç a(Ðp1-; Ðp2+; //lt) ® x (Ðp1-;Ðp2+) Passo 3 Definire il punto P come intersezione della retta data r con la retta x trovata r(Ðp1+; Ðp2+) Ç x (Ðp1-; Ðp2+) ® P(P’; P’’) Dati Risoluzione A questo punto è necessario dimostrare che si ottiene lo stesso risultato (stesso punto P) anche utilizzando, per il primo passo dell’algoritmo grafico, piani completamente diversi con l’unica condizione che devono contenere la retta r data. Passo 1 b(Ðp1+; ^p2+) Ì r(Ðp1+; Ðp2+) - (Esercizio 05.1) Infatti l’esercizio 05-1 risolve il medesimo problema mediante un piano b proiettante in seconda proiezione che, intersecando il piano dato a determina una retta generica x nel secondo diedro che, intersecandosi con la retta r data determina il punto P con gli stessi valori di aggetto e quota dell’esercizio 05

Geometria descrittiva dinamica Intersezione tra retta e piano (6) Esercitazione grafica n° 6 Intersezione di r frontale nel IV diedro con a proiettante nel II diedro Dati r(Ðp1+; //p2-); a(^p1-; Ðp2+) Passo 1 Definire anzitutto un piano b contenente la retta assegnata r b(Ðp1-; Ðp2-) Ì r(Ðp1+; //p2-) – (Esercizio 06) Passo 2 Determinare la retta x quale risultato dell’intersezione tra i piani a e b b(Ðp1-; Ðp2-) Ç a(^p1-; Ðp2+) ® x (Ðp1-;Ðp2-) Passo 3 Definire il punto P come intersezione della retta data r con la retta x trovata r(Ðp1+; //p2-) Ç x (Ðp1-; Ðp2-) ® P(P’; -P’’) Dati Risoluzione A questo punto è necessario dimostrare che si ottiene lo stesso risultato (stesso punto P) anche utilizzando, per il primo passo dell’algoritmo grafico, piani completamente diversi con l’unica condizione che devono contenere la retta r data. Passo 1 b(Ðp1-; Ðp2-) Ì r(Ðp1+; //p2-) - (Esercizio 06.1) Infatti l’esercizio 06-1 risolve il medesimo problema mediante un piano b generico nel III diedro che, intersecando il piano dato a determina una retta generica x nel terzo diedro che, intersecandosi con la retta r data determina il punto P con gli stessi valori di aggetto e quota dell’esercizio 06

Geometria descrittiva dinamica Intersezione tra retta e piano (7) Esercitazione grafica n° 7 Ricercare l’intersezione di r proiettante con a generico //lt nel IV diedro Dati r(^p1+; //p2+); a(Ðp1+; Ðp2-; //lt) Passo 1 Definire anzitutto un piano b contenente la retta assegnata r b(^p1+; Ðp2+) Ì r(^p1+; //p2+) – (Esercizio 07) Passo 2 Determinare la retta x quale risultato dell’intersezione tra i piani a e b b(^p1+; Ðp2+) Ç a(Ðp1+; Ðp2-; //lt) ® x (Ðp1+; Ðp2-) Passo 3 Definire il punto P come intersezione della retta data r con la retta x trovata r(^p1+; //p2+) Ç x (Ðp1+; Ðp2-) ® P(P’; -P’’) Dati Risoluzione A questo punto è necessario dimostrare che si ottiene lo stesso risultato (stesso punto P) anche utilizzando, per il primo passo dell’algoritmo grafico, piani completamente diversi con l’unica condizione che devono contenere la retta r data. Passo 1 b(^p1+; Ðp2-) Ì r(^p1+; //p2+) - (Esercizio 07.1) Infatti l’esercizio 07-1 risolve il medesimo problema mediante un piano b proiettante in prima proiezione nel IV diedro che, intersecando il piano dato a determina la retta generica x nel quarto diedro che, intersecandosi con la retta r data determina il punto P con gli stessi valori di aggetto e quota dell’esercizio 07

Geometria descrittiva dinamica Intersezione tra retta e piano (8) Esercitazione grafica n° 8 Intersezione di r frontale nel IV diedro con a orizzontale nel I diedro Dati r(Ðp1+; //p2-); a(//p1+; ^p2+) Passo 1 Definire anzitutto un piano b contenente la retta assegnata r b(Ðp1+; Ðp2+) Ì r(Ðp1+; //p2-) – (Esercizio 08) Passo 2 Determinare la retta x quale risultato dell’intersezione tra i piani a e b b(Ðp1+; Ðp2+) Ç a(//p1+; ^p2+) ® x (//p1+;Ðp2+) Passo 3 Definire il punto P come intersezione della retta data r con la retta x trovata r(Ðp1+; //p2-) Ç x (//p1+; Ðp2+) ® P(P’; P’’) Dati Risoluzione A questo punto è necessario dimostrare che si ottiene lo stesso risultato (stesso punto P) anche utilizzando, per il primo passo dell’algoritmo grafico, piani completamente diversi con l’unica condizione che devono contenere la retta r data. Passo 1 b(Ðp1+; Ðp2+) Ì r(Ðp1+; //p2-) - (Esercizio 08-1) Infatti l’esercizio 08-1 risolve il medesimo problema mediante un piano b generico, con tracce allineate, che intersecando il piano dato a determina una retta orizzontale x nel primo diedro che, intersecandosi con la retta r data determina il punto P con gli stessi valori di aggetto e quota dell’esercizio 08

Per maggiore completezza ed approfondimento degli argomenti si può consultare il seguente sito http://www.webalice.it/eliofragassi