Circuiti elettrici Intro ai principi di base dei circuiti Circuiti passivi, leggi dei circuiti Problemi

Circuiti elettrici - Componenti reali INTRODUZIONE ALLE MISURE - LEGGI FONDAMENTALI Circuiti elettrici - Componenti reali Le grandezze fondamentali dell’elettricità sono: la carica elettrica, la corrente elettrica e il voltaggio. La corrente (I) è definita come la quantità di carica elettrica (q) che fluisce in un punto di un circuito in un determinato tempo: La corrente elettrica si misura in ampere (A) pari a coulomb al secondo. Il voltaggio (E) è l’energia potenziale, dovuta al campo elettrico, per unità di carica. Viene misurato in volt (V) pari a joule diviso per coulomb. Il voltaggio viene anche chiamato potenziale elettrico.

Legge di Ohm La corrente elettrica (I) che scorre in un conduttore è direttamente proporzionale alla differenza di potenziale elettrico (E) applicata alle sue estremità A e B: Questa relazione è la legge di Ohm. La grandezza R, che è il rapporto fra la corrente ed il voltaggio, è chiamata resistenza del conduttore. L’inverso della resistenza è chiamato conduttanza (G): In un grafico corrente/voltaggio la legge di Ohm è rappresentata da una retta passante per l’origine ed avente pendenza 1/R

Resistori Resistori La resistenza o resistore è un elemento circuitale costituito da un materiale che può essere attraversato da cariche elettriche. Il suo valore R dipende dal materiale e dalle dimensioni. La resistenza è legata alla resistività del materiale (ρ) dalla relazione: ove A rappresenta la sezione trasversa e l la lunghezza del conduttore. La resistenza si misura in ohm (Ω). In fisiologia si usa frequentemente il concetto di conduttanza (G) che è l’inverso della resistenza. L’unità di misura della conduttanza è il siemens (S). Resistività di vari materiali: Conduttori: Rame, ferro, alluminio  = 10- 8 ·m Semiconduttori: Germanio, silicio, boro  = da 10- 3 a 10 2 ·m Isolanti: Vetro, plastica, polistirolo  = 10+15 ·m Assoplasma r = 5·103 W·m   La formula che compare nella diapositiva può essere commentata in termini di caratteristiche di un assone

Collegamento di resistenze Resistenze in serie Resistenze in parallelo Qui c’è un chiaro collegamento alla teoria del cavo in cui un assone è visto come una serie di circuiti costituiti da resistenze in serie e in parallelo

Qual’è la resistenza combinata del gruppo di resistenze in alto a destra? 9 k 3 k 2 k 6 k 3 k 3 k 3 k

Nel caso del circuito a: I1+I2=IT Leggi di Kirchoff Prima legge o legge della corrente: la somma di tutte le correnti entranti in un qualsiasi punto di un circuito elettrico deve essere uguale a zero (non vi può essere accumulo di carica). Nel caso del circuito a: I1+I2=IT Seconda legge o legge del voltaggio: la somma di tutti i potenziali elettrici lungo un circuito chiuso deve essere uguale a zero. Nel caso del circuito b: DV1=I·R1 DV2=I·R2 DV1+DV2=EB

ANALISI CIRCUITALE: LEGGE DI KIRCHOFF PER LA CORRENTE Indipendentemente dai componenti collegati, la somma di tutte le correnti che entrano ed escono da un nodo è zero. 1. Corrente entrante nel nodo : +i 2. Corrente che lascia il nodo : -i Quindi in A, Quindi in B,

ANALISI CIRCUITALE: LEGGE DI KIRCHOFF PER IL VOLTAGGIO Verso di I all’interno del generatore Verso di I all’interno del circuito Quindi nel circuito, + - dovuto alla (2) - + dovuto alla (1) In un circuito chiuso, la somma di tutte le cadute di potenziale è zero. 1. La corrente viaggia dal potenziale più alto al più basso. 2. Una corrente positiva fluisce dal + al – all’interno di un generatore di voltaggio (batteria). dovuto alla (2) dovuto alla (1)

Esempio: risoluzione di un circuito applicando le leggi di Kirchoff

A B Primo passo: Identificare le maglie e i nodi del circuito Sono state identificate tre maglie e due nodi (A e B) Secondo passo: definire il verso della corrente all’interno delle maglie e della batteria Ricordare: 1.In un circuito la corrente viaggia dal potenziale più alto al più basso. 2. Una corrente positiva fluisce dal polo + al polo – all’interno di una batteria. Verso di I all’interno del generatore Verso di I all’interno della maglia

Terzo passo: scrivere le equazioni Legge di K per la corrente: la somma di tutte le correnti che entrano ed escono da un nodo è zero. Inoltre, per convenzione la corrente che entra in un nodo è positiva e quella che esce da un nodo è negativa. I1-I2-I3=0 ovvero I3=I1-I2

Terzo passo: scrivere le equazioni (cont.) Legge di K per il potenziale: In un circuito chiuso (maglia), la somma di tutte le cadute di potenziale è zero Maglia 1: -V+R1I1+R3I3=0 Maglia 2: -V+R1I1+R2I2=0 Maglia 3: -R2I2+R3I3=0 In realtà questa equazione è dipendente dalle altre due e quindi non la utilizziamo

I3=I1-I2 -V+R1I1+R3I3=0 -V+R1I1+R2I2=0 Il sistema di 3 equazioni in 3 incognite (V, R1, R2 e R3 sono noti) può essere risolto con un metodo qualsiasi. In tal modo è possibile ricavare le tre correnti: I1 = 2.5 mA; I2 = 1.5 mA; I3 = 1 mA; e, applicando la legge di ohm, è possibile ricavare le cadute di potenziale a cavallo dei tre resistori R1, R2 e R3: V1 = 3 V; V2 = 1.5 V; V3 = 1.5 V

ESERCIZIO: risoluzione alternativa dell’esercizio precedente. Risolvere il circuito, calcolando la tensione e la corrente per ogni bipolo. V0 = 4.5 V; R1 = 1.2 k; R2 = 1 k; R3 = 1.5 k. Questo circuito è già stato risolto scrivendo un sistema di 3 equazioni, ma l’uso intelligente dei concetti di serie e parallelo aiuta a semplificare i calcoli!

ESERCIZIO cont. Sostituisco le due resistenze R2 e R3 con una resistenza data dal parallelo delle due: Il simbolo // indica il parallelo di due resistenze.

ESERCIZIO cont. Sostituisco le due resistenze R1 e R23 con una resistenza data dalla serie delle due: R123 = R1 +R23 = 1.2 k+0.6 k = 1.8 k A questo punto, il calcolo della corrente I è immediato:

ESERCIZIO cont. La corrente I è anche la corrente nella resistenza R1, quindi si può calcolare la tensione V1: V1 = R1I = 1.2 k· 2.5 mA = 3 V A questo punto si calcola la tensione ai capi del parallelo di resistenze R23 usando la KVL: V2 = V3 = V0 −V1 = 1.5 V. Infine si trovano le correnti in R2, in R3 e nel generatore applicando la legge di ohm (I2=R2∙V2 e I3=R3∙V3).

Divisore di tensione (voltage divider) La tensione di uscita sarà sempre inferiore o al massimo uguale (se R1=0) a quella di ingresso 2 1 R V I in + = 2 IR V out = 2 1 R V in out + = quindi: Questo fatto ci tornerà utile quando si parlerà di strumentazione da utilizzare per misure elettrofisiologiche

3 k 6 k 8 k 2 k 3 k 1.6 k 2 k R=R1+R2=2+6=8 1 R = + = + = R1 R2 2 8 5 16 R=1.6 R=R1+R2=3+1.6=4.6

cont. 4.6 k 3 k 1.8 k R=R1+R2=2+6=8 1 R = + = + = R1 R2 2 8 5 16 R=1.6 R=R1+R2=3+1.6=4.6 1 R = + = + = R1 R2 4.6 3 76 138 R=1.8

Le regole di Kirchoff La corrente totale che fluisce in un punto deve essere uguale alla corrente che fluisce da quel punto [conservazione della carica] La variazione totale di potenziale in un loop deve essere uguale a zero I2 I3 V1 V2 + – I1 V3 I3=I2+I1 V1 + V2 + V3 = 0

Utilizzo delle regole di Kirchoff Disegna un (circuito) diagramma e segna ogni cosa nota o incognita! Per ciascuna serie di componenti, assegna una direzione alla corrente I (non preoccuparti se scegli la direzione sbagliata, il risultato sarà corretto ma di segno opposto) Tuttavia dopo aver scelto una direzione devi essere coerente! Scrivi la conservazione della carica per ciascun vertice (nodo) Scrivi un’equazione per ciascun loop In una sorgente di fem (batteria), andando da – a + dà un V positivo, da+ a – è un V negativo Risolvi tutte le equazioni

Esercizio Qual’è il valore della resistenza equivalente ai due resistori in serie? 3k W 6kW Esercizio Calcolare la corrente nel seguente circuito. Qual’è la resistenza equivalente dei due resistori in parallelo? Calcolare il voltaggio a cavallo di ciascun resistore. 110 V 11k W 11k W

Esercizio Usare le leggi di Kirchoff per la corrente e per il voltaggio per calcolare la corrente attraverso ciascuno dei resistori e il voltaggio a cavallo di essi. 9 V 6k W 3k W 3 V 2k W 4k W i1 i2 + i3 + 1° legge di Kirchoff (dei nodi) ï î í ì = + - ) ( 2 4 3 1 i R V* ï î í ì = mA K i 75 . 1 4 / 7 125 8 9 625 5 2 3 2° legge di Kirchoff (delle maglie) ï î í ì = + - ) ( 2 4 3 1 i R V * Una corrente positiva fluisce dal + al – all’interno di un generatore di voltaggio (batteria).

I1 I3 I2 Esercizio + – 9 V 5  A 3  1.5 V + – +1.5 - 3I2 = 0 In un nodo la somma delle correnti è zero In A: I1 = I2 + I3 A 3  In un circuito chiuso la somma delle cadute di potenziale è zero: 1.5 V + – +1.5 - 3I2 = 0 -9 + 5I1+ 3I2 = 0 I2 = 1.5/3 = 0.5 A Nota: Imponendo verso orario anziché antiorario alla corrente nella maglia in basso il risultato non cambia: I1=I2+I3 -9+5I1+3I2=0 1.5-3I2=0 Risolvendo si ottengono gli stessi valori per I1, I2 e I3 I1 = (9 – 3I2)/5 = 1.5 A I3 = I1 – I2 = 1.5 – 0.5 = 1 A

Un circuito stupido Esercizio + – 9 V 5  9 V + – Quale corrente fluisce attraverso il resistore? I= 0 A

Questo ci consente di calcolare I1(=I2) Esercizio E1=12 V R1=R2=100 W R3=1000 W R4=2200 W R1 + – R3 R4 E1 I3 I4 R2 1) In un nodo la somma di tutte le correnti che entrano ed escono da un nodo è zero: I1-I3-I4=0; I2-I3-I4=0 Inoltre I1=I2 I2 Nella maglia di destra si ha: I4*R4-I3*R3=0 I3+I4=0.013 Quindi, risolvendo rispetto a I4 si ha: I4=0.0042 E I3=0.013-0.0042=0.0092 2) In un circuito chiuso la somma di tutte le cadute di potenziale è zero: E1-R1I1-R3I3-R2I2=0 RISPOSTE: I1 = I2 = 0,013 A I3 = 0,0092 A I4= 0,0042 A Conviene ridurre il circuito ad un’unica maglia, calcolando la resistenza equivalente Req=R3+R4 Questo ci consente di calcolare I1(=I2)

Esercizio R2 I1 I2 DATI: R1=5W R2=10W R3=15W R4=5W E1=90V E2=100V Calcolare le correnti del circuito R1 + – R4 R3 E1 + – I4 E2 Applichiamo le leggi di Kirchhoff -E1+R1I1+R4I4=0 E2+R3I2+R2I2-R4I4=0 I1-I2-I4=0 RISPOSTA: I2= -2A I4=10A I1=8A

Condensatore Il condensatore nel circuito costituisce una discontinuità nel flusso delle cariche. E’ costituito da due conduttori (piastre) separati da un isolante. Quando una differenza di potenziale viene applicata ai capi di un condensatore si accumula carica sulle piastre separate dall’isolante. La capacità elettrica C di un condensatore è: dove q è la carica depositata sulle piastre quando la differenza di potenziale è EA – EB. Collegamento con la membrana: il bilayer lipidico si comporta come un condensatore

Capacità specifica di membrana: Cm≅1µF/cm2 Dal momento che: e: La corrente elettrica in un condensatore (IC) sarà: La corrente quindi può attraversare il condensatore solo quando la differenza di potenziale ai suoi capi varia nel tempo. Il flusso di cariche non attraversa il dielettrico. Le cariche si accumulano su una piastra ed abbandonano l’altra. La capacità C del condensatore dipende dalla caratteristiche e dalle dimensioni del materiale dielettrico presente fra le piastre: ε = costante dielettrica del materiale isolante A = area delle piastre d = distanza fra le piastre La capacità si misura in Farad (F). Normalmente si utilizzano i suoi sottomultipli (mF - µF – nF – pF) Esempio: C=1microF/cm2=q/ΔV Se ΔV=1mV,  q=1·10-6F/cm2·1·10-3V=1·10-9 Coulomb/cm2 questa è la quantità di carica che si deposita su un cm2 di membrana sottoposta ad una differenza di potenziale di 1 mV. Capacità specifica di membrana: Cm≅1µF/cm2

Collegamento di condensatori Condensatori in serie Condensatori in parallelo

Esercizio 24 8 12 12 12 12 Ciascuno dei condensatori qui sopra ha una capacità di 12 pF. Qual’è la capacità combinata dell’intero sistema?

Scarica del condensatore Quando si chiude l'interruttore S1:

All’istante iniziale la corrente capacitiva Ic è massima All’inizio, quando il circuito è aperto, il condensatore è completamente scarico Chiudendo il circuito il condensatore incomincia a caricarsi (polarizzarsi) All’istante iniziale la corrente capacitiva Ic è massima Man mano che il condensatore si carica Ic diminuisce Quando il condensatore è completamente carico, Ic=0 Ic=C(dV/dt) Intuitivamente: Aumentando il tempo t il rapporto dV/dt diventa sempre più piccolo  Ic diminuisce sempre di più Riaprendo il circuito avviene il processo in senso inverso e il condensatore incomincia a scaricarsi

Comportamento dei Condensatori • Carica – Inizialmente, il condensatore si comporta come un filo conduttore. – Dopo lungo tempo, il condensatore si comporta come un interruttore aperto. • Scarica – Inizialmente, il condensatore si comporta come una batteria. un interruttore aperto

ESERCIZIO V=12 V R1=1KW R2=5KW C=0.75 mF NOTA: nel circuito R1 e R2 sono in PARALLELO finché I3≠0  Req=R1+R2//=1/(1/R1+1/R2)=0.833 KW A t=0 il circuito viene chiuso. Determinre: 1) Le correnti I1, I2 e I3 2) Tensione a capo di C per t→ +∞ A t=0: I1=I3=V/R1=12 mA; I2=0 A t=+∞ il condensatore è completamente carico (I3=0 e quindi è come se il condensatore non ci fosse→R1 e R2 sono in serie), I1=I2=V/(R1+R2)=2 mA; I3=0 La costante di tempo del circuito quando esso viene chiuso (taucarica) è il prodotto della capacità C per la resistenza equivalente (Req, somma di R1 e R2 in parallelo). VC(+∞)=i∙Req VC(t)=VC(+∞)∙(1-exp(-t/carica) La costante di tempo del circuito quando esso viene aperto (tauscarica) è il prodotto della capacità C per la resistenza R2. Questo circuito è un semplice modello delle proprietà di membrana di un neurone dove: C=capacità di membrana; R2=resistenza di membrana a riposo; V ed R1=sorgenti esterne applicate alla membrana. Vedremo più avanti che questo circuito, e quindi anche la membrana plasmatica si comporta da filtro passa basso. Durante la chiusura del circuito C si carica (R1 e R2 sono in parallelo): tc=Req∙C=0.62 ms Durante l’apertura del circuito C si scarica su R2: ta=R2∙C=3.75 ms

( ) R·C=t C=t/R=10 s/3 kW=3.3 mF Esercizio n.4 Che valore di capacità dovrebbe avere il condensatore per ottenere una costante di tempo di 10 secondi? Quanto tempo impiegherà il condensatore per caricarsi ‘completamente’? Che corrente fluirà attraverso il circuito quando il condensatore sarà carico? 3k W 3 V C ( ) e V t / f 1 - = R·C=t C=t/R=10 s/3 kW=3.3 mF . V 99 (>99%) 2 @ ¥ s t ln e / 57 0033 10 3 99 = × -

Quattro circuiti hanno la forma mostrata nel diagramma Quattro circuiti hanno la forma mostrata nel diagramma. Il condensatore è inizialmente scarico e l’interruttore S è aperto. I valori della fem, resistanza R, e la capacità C per ciascuno dei circuiti sono: circuito 1:   18 V, R = 3MW  , C = 1 µF circuito 2:   18 V, R = 6MW  , C = 9 µF circuito 3:   12 V, R = 1MW  , C = 7 µF circuito 4:   10 V, R = 5MW  , C = 7 µF Quale circuito ha la corrente più ampia subito dopo la chiusura dell’interruttore? Quale circuito impiega il tempo più lungo per caricare il condensatore a ½ della sua carica finale? Quale circuito impiega il minor tempo per caricare il condensatore a ½ della sua carica finale?

I=E/R t=R•C Vf/2=Vf•(1-e-t/t) E(V) R(MW) C(mF) I(mA) t(s) t½(s) 1 18 3 6 2 9 54 37 12 7 5 4 10 35 24

Quando alla rete RC si applica un’onda quadra in uscita si ottengono dei segnali aventi l’andamento sotto indicato a seconda della costante di tempo del circuito Vedremo più avanti che tale circuito si comporta da filtro del segnale in ingresso (filtro passa bassi)

Tubo a raggi catodici

FINE