Algebra di Boole e Funzioni Binarie Lezione Prima

Sommario Variabili Binarie Negazione Somma Logica Prodotto Logico Relazioni- proprietà Funzioni Minterm Teoremi Maxterm Forme Canoniche Mappe di Karnaugh Fine lezione

Variabili Binarie Variabile binaria: grandezza matematica che può assumere due soli valori: 0 o 1. Sulle variabili binarie definiamo tre operatori: negazione, somma e prodotto. La negazione di una variabile binaria x si indica con x° (“non x” o “x negato”)

Negazione Possiamo rappresentare il valore di x° tramite tabella di verità: x x° 1

Somma logica La somma di n variabili binarie x1, x2, x3, --- xn vale 0 solo se tutte le xi (1≤i≤n) valgono contemporaneamente 0, vale 1 in ogni altro caso. x1 x2 x1 + x2 1 esempio di somma logica di due variabili x1 e x2 mediante tabella di verità

Prodotto logico Il prodotto di n variabili binarie x1, x2, x3, --- xn vale 1 solo se tutte le xi (1≤i≤n) sono contemporaneamente 1, vale 0 in ogni altro caso x1 x2 x1 . x2 1 esempio di prodotto logico di due variabili x1 e x2 mediante tabella di verità

Relazioni e proprietà Le relazioni e proprietà degli operatori somma e prodotto logico sono riportate nella tabella Somma Prodotto x + 1 = 1 x · 0 = 0 x + 0 = x x · 1 = x x1 + x2 = x2 + x1 x1 · x2 = x2· x1 x1 + x2 + x3 = (x1 + x2) + x3 x1 · x2· x3= (x1 · x2) · x3 x1· x2+ x1· x3= x1· (x2 + x3) (x1 + x2) · (x1 + x3) = x1+ x2 · x3

Relazioni e proprietà Per la negazione valgono le seguenti relazioni e proprietà: Negazione 0°° = 0 1°° = 1 x°° = x x + x ° = 1 x · x° = 0 x°°  x due volte negato

Funzioni Con n variabili binarie (x1, x2, … xn) si possono formare 2n configurazioni diverse. Se prendiamo, ad esempio, 2 variabili: x1, x2 dato che ognuna di loro può valere 0 od 1, si possono creano le seguenti quattro (22) configurazioni diverse: 00, 01, 10, 11. Così con 3 variabili binarie si potranno formare al massimo 23=8 configurazioni diverse che sono: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111.

Funzioni Diremo che una variabile y è funzione di n variabili indipendenti x1, x2, … xn e si scrive: y = F (x1, x2, … xn) quando esiste un criterio che fa corrispondere in modo univoco ad ognuna delle 2n configurazioni di x un determinato valore y (ovviamente 0 o 1).

Funzioni Tutte le diverse funzioni di n variabili (x1,x2,…xn) che si possono costruire sono pari a (22)n Ad esempio tutte le diverse funzioni che si possono formare con 3 variabili sono pari a (22)3= 28 = 256

Funzioni Una funzione può essere rappresentata sotto forma di tabella di verità, scrivendo accanto ad ognuna delle 2n diverse configurazioni di x1, x2, … xn il valore assunto dalla y. Ad esempio la seguente tabella rappresenta la tabella di verità di una delle 256 funzioni possibili di tre variabili binarie

Ciascuno di questi prodotti si chiama minterm Se consideriamo 3 variabili, la scrittura x1x2x3 = 011 indica tra le 23=8 configurazioni possibili, quella in cui x1 vale 0, x2 vale 1 e x3 vale 1. Questa configurazione si scrive semplicemente con il prodotto x°1x2x3 Se in una configurazione una variabile compare con 1 si assume il valore diretto se invece compare con uno 0 si assume il valore negato. Consideriamo la funzione di 3 variabili rappresentata sotto forma di tabella di verità in fig.1 e le 3 configurazioni in cui la stessa vale 1 Avremo che la funzione vale 1 per le seguenti configurazioni: x°1x2x°3 x°1x2x3 x1x°2x3 Ciascuno di questi prodotti si chiama minterm

Minterm La funzione conoscendo la sua tabella di verità, potrà essere espressa sotto forma di somme di prodotti dei termini minimi. Nel caso della funzione in esempio scriveremo y = x°1x2x°3 + x°1x2x3 + x1x°2x3 Se una funzione è direttamente espressa sotto forma di somme di minterm sarà possibile costruire la sua tabella di verità, mettendo 1 nelle configurazioni relative ai minterm, e 0 negli altri casi.

F(x,y,z) = xy°z + xyz° + x°yz Minterm Ad esempio data la funzione di 3 variabili F(x,y,z) = xy°z + xyz° + x°yz la sua tabella di verità sarà: x y z F(x,y,z) 1 x°yz xy°z xyz°

Teoremi TEOREMI Diretto Duale Idempotenza x + x + x + --- x = x Assorbimento x + xy = x x · (x +y) = x x + x°y = x + y x · (x° + y) = x · y xy +yz + x°z = xy + x°z (x +y)·(y+z)·(x°+z) = (x+y) · (x°+z) De Morgan (x+y)° = x° · y° (x · y)° = x° + y°

Maxtem Il teorema di De Morgan applicato alla funzione della fig.1 ci consente di scrivere la funzione in questo modo: y = (x1+x2+x3)· (x1+x2+x°3)· (x1+x°2+x°3)· .(x°1+x°2+x3)· (x°1+x°2+x°3) ossia sotto forma di prodotto di somme. Ciascuna delle somme chiama maxterm (termine massimo).

Maxtem L’espressione della y come prodotto di maxterm si può ottenere dalla tabella di verità della funzione; ci sono tanti maxterm quanto sono i valori 0 della funzione; ogni maxterm è la somma di tutte le variabili dirette o negate a seconda che la configurazione contenga 1 o 0.

Forma Canonica Entrambe le espressioni della funzione sotto forma di: somme di prodotti (minterm) prodotti di somme (maxterm) si chiamano forme canoniche di una funzione binaria.

Mappe di KARNAUGH 1 x° x x 1 y x°y° xy° x°y xy Le mappe di Karnaugh sono delle tabelle che permettono in modo immediato la rappresentazione e la semplificazione di funzioni booleane fino 6 variabili. 1 x° x Mappa di K. per funzione ad 1 variabile x Mappa di K. per funzione a 2 variabili x,y con all’interno rappresentati i relativi minterm x 1 y x°y° xy° x°y xy

Mappe di KARNAUGH xy 00 01 11 10 z x°y°z° x°yz° xyz° xy°z° 1 x°y°z La mappa di K. per una funzione a 3 variabili x,y,z è un rettangolo diviso in 8 celle come nell’esempio. Al solito dentro le celle sono stati scritti i relativi minterm. xy 00 01 11 10 z x°y°z° x°yz° xyz° xy°z° 1 x°y°z x°yz xyz xy°z Le coordinate della tabella vanno sistemate in modo che nel passaggio da una cella all’altra ci sia un sola variazione. Infatti le coordinate per la xy saranno 00 01 11 10.

Mappe di KARNAUGH Una mappa di K. per 4 variabili x,y,v,z è un rettangolo diviso in 16 celle. All’interno indichiamo al solito i relativi minterm. xy 00 01 11 10 vz x°y°v°z° x°yv°z° xyv°z° xy°v°z° x°y°v°z x°yv°z xyv°z xy°v°z x°y°vz x°yvz xyvz xy°vz x°y°vz° x°yvz° xyvz° xy°vz° Si omette di parlare delle mappe di K. a 5 e 6 variabili

Mappe di KARNAUGH Le Mappe di K. costituiscono un altro metodo per rappresentare una funzione booleana; basta scrivere 1 in quelle caselle che hanno le coordinate della tabella di verità in cui la funzione vale 1. xy 00 01 11 10 z 1 x y z F(x,y,z) 1 Rappresentazione con Mappa di K. della funzione a lato.

Prossima Lezione: Semplificazioni di funzioni binarie Arrivederci!