Rette e segmenti

Rette complanari Due rette che giacciono sullo stesso piano si dicono complanari.

Rette complanari Se si incontrano in un punto si dicono incidenti Se non si incontrano mai si dicono parallele Rette complanari Se formano 4 angoli retti sono perpendicolari Se ogni punto di una è anche punto dell’altra sono coincidenti

Due rette appartenenti ad un piano a si dicono incidenti se si incontrano in un punto.

a b ┴ ┴ Questo simbolo si legge perpendicolare Se due rette incidenti a e b si incontrano formando quattro angoli congruenti nel punto D di dicono perpendicolari. ┴ a b Questo simbolo si legge perpendicolare ┴

Data una retta r sul piano alfa esistono infinite rette perpendicolari ad essa.

Dai postulati di Euclide sappiamo che per un punto passano infinite rette. Ma data la retta r, una sola retta passante per P sarà perpendicolare ad r, infatti, solo la retta f taglia r formando 4 angoli congruenti retti. Dunque dal punto P si può tracciare una ed una sola retta perpendicolare ad r.

Consideriamo una retta r e una sua perpendicolare Consideriamo una retta r e una sua perpendicolare. Le due rette si incontreranno nel punto P. Tale punto prende il nome di piede della perpendicolare. s P r Si dice piede della perpendicolare il punto in cui la retta e la perpendicolare si incontrano.

Se due rette r ed s appartengono ad uno stesso piano a e non hanno alcun punto in comune si dicono rette parallele. r s Due rette si dicono parallele se sono complanari e non hanno alcun punto in comune. a

Data una retta r e un punto P esterno ad essa esiste una ed una sola retta parallela ad r passante per P. P s r

Due rette sono coincidenti se condividono gli stessi punti del piano. Consideriamo la retta r appartenente al piano a. Se disegniamo su questa un’altra retta s le due rette toccheranno esattamente gli stessi punti del piano, infatti i punti dell’una saranno anche punti dell’altra. s Due rette sono coincidenti se condividono gli stessi punti del piano.

P Consideriamo una retta r e un punto P esterno ad essa appartenenti entrambi al piano a. Conduciamo la perpendicolare ad r passante per il punto P. Tale retta incontra la retta R nel punto O. Il punto O è la proiezione di P su r. s r O a La proiezione di un punto su una retta è il punto in cui la sua perpendicolare passante per il punto taglia la retta.

Proiezione di un segmento su una retta Consideriamo una retta r e una segmento AB appartenenti entrambi al piano a. Per proiettare un segmento sulla retta basta proiettare i suoi estremi sulla retta r. Troviamo i punti A’ e B’ Il segmento A’B’ sarà la proiezione di AB su r. A B A’ B’ r a Per proiettare un segmento su una retta basta trovare le proiezioni dei suoi due punti estremi e prendere in considerazione il segmento risultante.

Tale perpendicolare è l’asse del segmento. Asse di un segmento Consideriamo il segmento AB e sia M il suo punto medio. Tracciamo la perpendicolare ad AB passante per M. Tale perpendicolare è l’asse del segmento. AM = BM

Rette sghembe s Consideriamo un piano a, una retta complanare ad esso ed una retta s incidente che incontra il piano nel punto P. a r P Le rette che non hanno punti in comune e che non sono parallele si dicono sghembe. Due rette che non hanno punti in comune e che appartengono a piani diversi si dicono sghembe.

Fascio di rette Esistono due tipi di fasci di rette Il fascio di rette proprio Il fascio di rette improprio

Fascio proprio di rette Consideriamo un punto P in un piano a. Per il punto P del piano passano infinite rette. P a Definiamo fascio proprio di rette l’insieme delle rette passanti per il punto P.

Fascio improprio di rette Consideriamo una retta r appartenente al piano a. Esistono infinite rette parallele ad r. Si dice fascio improprio di rette l’insieme delle infinite rette parallele fra loro.

Distanza tra due punti A B Dati due punti A e B, possiamo unirli con linee di diversa lunghezza. Tracciamo la linea più corta possibile. A B La distanza fra due punti è la lunghezza del segmento che li unisce, cioè il segmento AB.

Distanza di un punto da una retta Consideriamo una retta r e un punto P esterno ad essa nel piano a. Dal punto tracciamo i segmenti che arrivano sulla retta r. Tracciamo la perpendicolare ad r passante per il punto P. Tale retta s incontra la retta r nel punto O. La distanza di P da r è data dalla lunghezza del segmento PO. P s r O a La distanza di un punto da una retta è il segmento perpendicolare che unisce il punto alla retta.

Distanza fra due rette parallele Date due rette parallele r ed s appartenenti al piano a tracciamo la perpendicolare alla retta r ed s. Tale retta taglierà le due rette parallele nei punti A e B. Si dice distanza fra le due rette s ed r la lunghezza del segmento AB perché è perpendicolare ad entrambe le rette. t s A r B a La distanza tra due rette parallele è la lunghezza del segmento perpendicolare alle rette avente come estremi due punti appartenenti alle rette stesse. La parte di piano compresa fra le rette si dice STRISCIA.

Rette parallele tagliate da una trasversale Consideriamo due rette r ed s tagliate da una trasversale t e appartenenti al piano a. Si formano 8 angoli numerati da 1 a 8. Gli angoli 3, 6, e 4, 5 si dicono alterni interni. Gli angoli 1, 8, e 2, 7 si dicono alterni esterni. Gli angoli 3, 5 e 4, 6 sono coniugati interni. Gli angoli 1, 7 e 2, 8 sono coniugati esterni. Gli angoli 1 e 5 e 2 e 6, 3 e 7 e 4 e 8, sono corrispondenti. t s 1 2 3 4 5 r 6 7 8 a Le coppie di angoli coniugati sono supplementari.

Le coppie di angoli alterni interni e alterni esterni sono congruenti Le coppie di angoli alterni interni e alterni esterni sono congruenti. Le coppie coniugate interne ed esterne sono supplementari (180°). Le coppie di angoli corrispondenti sono congruenti. t s 1 2 3 4 5 r 6 7 8 a

t Se le rette non sono parallele sono congruenti solo le coppie degli angoli opposti. s 1 2 3 4 r 6 5 7 8 a

Segmenti

Data una retta r fissiamo su di essa due punti A e B Data una retta r fissiamo su di essa due punti A e B. Questi individuano un parte di retta detta segmento. Si dice segmento la parte di retta compresa tra due punti detti estremi del segmento.

Segmenti consecutivi a Due segmenti AB e C D si dicono consecutivi se hanno un estremo in comune. Segmenti consecutivi A B C D a

I segmenti AB e C D sono adiacenti. Segmenti adiacenti I segmenti consecutivi che giacciono sulla stessa retta si dicono adiacenti. r B A D C I segmenti AB e C D sono adiacenti.

Confronto di segmenti

Segmento maggiore di un altro Consideriamo i segmenti AB e C D. Sovrapponiamo i due segmenti facendoli coincidere gli estremi iniziali A e C. A B C D Se l’estremo D del secondo segmento cade all’interno del primo, allora il segmento AB sarà maggiore del segmento C D. AB > C D

Segmento minore di un altro Consideriamo i segmenti AB e C D. Sovrapponiamo i due segmenti facendoli coincidere gli estremi iniziali A e C. A B C D Se l’estremo D del secondo segmento cade all’esterno del primo, allora il segmento AB sarà minore del segmento C D. AB > C D

Segmenti congruenti AB = C D Consideriamo i segmenti AB e C D. Sovrapponiamo i due segmenti facendoli coincidere gli estremi iniziali A e C. A B C D Se l’estremo D del secondo segmento coincide con l’estremo B del primo segmento, allora il segmento AB sarà congruente col segmento C D. AB = C D

Somma di segmenti AD = AB + CD Per sommare due segmenti AB e CD occorre metterli uno dopo l’altro facendo coincidere l’estremo B del primo segmento con l’estremo C del secondo, in modo da avere due segmenti adiacenti. Dati i segmenti AB e C D, facciamo coincidere gli estremi B e C. A B C D Otteniamo il segmento AD. Tale segmento è la somma dei segmenti AB e BC. AD = AB + CD

Differenza di segmenti Consideriamo i segmenti AB e CD con AB maggiore di CD. Facciamo coincidere gli estremi A e C. Otteniamo il segmento DB, cioè la differenza. DE = AB – CD A B C D D B Segmento differenza Per sottrarre due segmenti occorre far coincidere l’inizio dei due segmenti, la differenza sarà data da quel segmento che sommato al secondo forma il primo.

Multiplo di un segmento Un segmento è multiplo di un altro se lo contiene un numero intero di volte. Consideriamo il segmento AD che contiene 4 volte BC. AD = 4 BC AD è multiplo di BC secondo il numero 4. A D D C

Sottomultiplo di un segmento Un segmento é sottomultiplo di un altro se questo lo contiene un numero intero di volte. Il segmento C D è contenuto 4 volte nel segmento BC. C D = AD : 4 A D D C

AB è il doppio di C D o anche, C D è la metà di AB. AB=2CD C D = 1 AB 2 AB è il doppio di C D o anche, C D è la metà di AB. AB è multiplo di C D e lo contiene esattamente 2 volte. C D è sottomultiplo di AB e vi è contenuto esattamente 2 volte. A B C D AB=3CD C D = 1 AB 3 AB è il triplo di C D o anche, C D è la terza parte di AB. AB è multiplo di C D e lo contiene esattamente 3 volte. C D è sottomultiplo di AB e vi è contenuto esattamente 3 volte.

AB è il quadruplo di C D o anche, C D è la quarta parte di AB. AB=4CD C D = 1 AB 4 AB è il quadruplo di C D o anche, C D è la quarta parte di AB. AB è multiplo di C D e lo contiene esattamente 4 volte. C D è sottomultiplo di AB e vi è contenuto esattamente 4 volte. AB è il quintuplo di C D o anche, C D è la quinta parte di AB. AB è multiplo di C D e lo contiene esattamente 5 volte. C D è sottomultiplo di AB e vi è contenuto esattamente 5 volte. A B C D AB=5CD C D = 1 AB 5

C D C D = 3 AB A B 4 Se si considera il rapporto tra 2 segmenti ciascuno di questi deve essere immaginato diviso in tante parti tutte uguali. Ciascuna di queste parti rappresenta l’unità frazionaria, uf. Nell’esempio il segmento C D contiene 3 parti, infatti le parti del primo segmento sono indicate dal numeratore. Le parti contenute nel secondo segmento AB, sono indicate dal denominatore e quindi sono 4. C D = 3 uf A B = 4 uf 1uf

C D C D = 3 AB A B 4 Conoscendo la misura del segmento somma dei 2 segmenti basterebbe dividerla per sette (totale delle uf) per trovare la misura di una sola uf. Se ad esempio la somma fosse di 28 cm basterebbe dividere questa misura per 7 per trovare la misura di uf. C D = 3 uf A B = 4 uf 1uf

C D + AB = 28 cm Segmento somma = 7 uf C D = 3 uf A B = 4 uf C D + AB = 28 cm C 1uf D B 1uf A Segmento somma = 7 uf Segmento somma = 28 cm Data la misura del segmento somma di C D e AB, cioè 28 cm, basta dividere questa misura per 7 (totale delle uf) per trovare la misura di una sola uf. Segmento somma = 7 uf 28cm = 7 uf 1 uf = 28 cm : 7 1uf = 4 cm C D contiene 3 uf per cui: C D = 4 cm x 3 =12 cm Poiché un segmento è 12 cm e l’altro 16cm si può verificare che la somma sia di 28cm. AB contiene 4 uf per cui: A B = 4 cm x 4 =16 cm 12cm + 16 cm = 28cm

A B A B = 7 C D AB- C D = 12 cm A B =? C D =? 5 C D AB contiene 7 uf. C D contiene 5 uf. La differenza è 12 cm. E contiene 2uf, infatti: AB – C D = 7 uf - 5 uf = 2 uf A B C D La differenza contiene 2 uf. Per calcolare la misura in cm dell’unità frazionaria basterà dividere la differenza di 12 cm per 2.

uf uf Differenza =12 cm 1 uf = 12 cm : 2 = 6 cm 6 cm 6 cm AB contiene 7 uf per cui: AB = 6 cm x 7 = 42 cm C D contiene 5 uf per cui: C D = 6 cm x 5 = 30 cm Poiché un segmento è 42 cm e l’altro 30 cm si può verificare che la loro differenza sia di 12cm. 42 cm - 30 cm = 12 cm

Punto medio di un segmento Il punto medio di un segmento è il punto equidistante dagli estremi del segmento. A B M Il punto medio di un segmento lo divide in due parti congruenti. AM BM