Le 4 operazioni

Per ballare bene bastano solo 4 semplici … OPERAZIONI! Nell’insieme dei numeri Naturali sono possibili, anche se non sempre le quattro operazioni fondamentali: addizione, moltiplicazione, sottrazione e divisione. L’addizione e la moltiplicazione sono operazioni sempre possibili dato che la somma ed il prodotto di numeri Naturali sono sempre dei numeri Naturali. Si dice che l’addizione e la moltiplicazione sono operazioni INTERNE all’insieme N. Per ballare bene bastano solo 4 semplici … OPERAZIONI!

+ = plus (più) = minus (meno) Somma = summa (in alto) La parola “somma” deriva dal latino summa (in alto, al sommo), perchè gli antichi erano soliti scrivere in alto il risultato delle operazioni. La parola “addendo” deriva dal latino addere che significa aggiungere. I segni + e - sono deformazioni grafiche delle parole latine plus e minus. Somma = summa (in alto) Addendo = addere (aggiungere) + = plus (più) = minus (meno)

Addizione

Anch’io sono INTERNA al … tappeto! la somma di due numeri Naturali è il numero che si ottiene aggiungendo al primo il secondo. n1 + n2 = s I termini n1 ed n2 sono gli addendi ed s rappresenta la somma o totale, cioè il risultato dell’addizione. Se ad un numero Naturale si somma lo 0, il totale è il numero stesso. Si dice che 0 è l’elemento neutro dell’addizione. n1 + 0 = n1 Poiché dati due numeri Naturali, la loro somma è sempre un numero naturale l'addizione è un'operazione INTERNA all'insieme dei numeri Naturali. 8 + 6 = 14 8 e 6 sono numeri naturali ed anche la loro somma 14. Anch’io sono INTERNA al … tappeto!

+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

PROPRIETÀ DELL’ADDIZIONE Enunciato Esempio COMMUTATIVA Cambiando l'ordine degli addendi, la somma non cambia. 3 + 4 + 5 =12 5 + 3 + 4 =12 ASSOCIATIVA Sostituendo a due o più addendi la loro somma, il totale non cambia. (8 + 5) + 2 = 15 13 + 2 = 15 DISSOCIATIVA Sostituendo a un addendo due o più addendi la cui somma dia l’addendo sostituito, il totale non cambia. 26 + 15 = 41 26 + (10 + 5) =41

Sottrazione

la differenza tra due numeri Naturali è, se esiste, il numero d che aggiunto al secondo dà il primo. n1 - n2 = d se d + n2 = n1 I termini n1 ed n2 sono il minuendo e il sottraendo e d è il resto o differenza, cioè il risultato della sottrazione. La sottrazione è l’operazione inversa dell’addizione. 7 + 5 = 12 12- 5 = 7 Poiché dati due numeri Naturali, la loro differenza non è sempre un numero naturale la sottrazione non è un'operazione INTERNA all'insieme dei numeri Naturali. Si può eseguire solo se il minuendo è maggiore del sottraendo. 18 - 6 = 12 12 è un numero Naturale 8 – 18 = -10 -10 non è un numero Naturale.

PROPRIETÀ DELLA SOTTRAZIONE Enunciato Esempio INVARIANTIVA Aggiungendo o sottraendo (se possibile) uno stesso numero sia al minuendo che al sottraendo, la differenza non cambia. 18 - 8 = 10 18 - 8 = (18 + 5) - (8 + 5) = 23 - 13 = 10 24 – 9=15 24 – 9 = (24 - 5) - (9 - 5) = 19 - 4 = 15

Moltiplicazione

Il prodotto di due numeri Naturali è la somma di tanti addendi uguali al primo quante sono le unità del secondo. e si scrive n1 ∙ n2 = p I termini n1 ed n2 sono i fattori e p rappresenta il prodotto, cioè il risultato della moltiplicazione. Se un numero Naturale si moltiplica per 1, il prodotto è il numero stesso. Si dice che 1 è l’elemento neutro della moltiplicazione. n1 ∙ 1 = n1 Poiché dati due numeri Naturali, il loro prodotto è sempre un numero naturale, la moltiplicazione è un'operazione INTERNA all'insieme dei numeri Naturali. 4 ∙ 5 = 20 4 e 5 sono numeri naturali ed anche il loro prodotto 20. Qualunque numero moltiplicato per 0 dà come prodotto 0. Si dice che 0 è l’elemento assorbente della moltiplicazione.

∙ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 15 21 24 27 20 28 32 36 25 30 35 40 45 42 48 54 49 56 63 72 81

Legge di annullamento del prodotto PROPRIETÀ DELLA MOLTIPLICAZIONE Proprietà Enunciato Esempio COMMUTATIVA Cambiando l'ordine dei fattori, il prodotto non cambia. 3 ∙ 6 =18 6 ∙ 3 =18 ASSOCIATIVA Sostituendo a due o più fattori il loro prodotto, il prodotto finale non cambia. (4 ∙ 5) ∙ 2 = 40 20 ∙ 2 = 40 DISSOCIATIVA Sostituendo a un fattore due o più fattori il cui prodotto dia il fattore sostituito, il prodotto finale non cambia. 35 ∙ 6 = 210 (5 ∙ 7) ∙ 6 = 210 DISTRIBUTIVA Per moltiplicare una somma (o una differenza) per un numero, si può moltiplicare ciascun addendo per quel numero e poi sommare i prodotti ottenuti. (5 + 7) ∙ 6 = 72 (5 ∙ 6) + (7 ∙ 6) = 72 (12 - 8) ∙ 3 = 12 (12 ∙ 3) - (8 ∙ 3)= 36-24=12 Legge di annullamento del prodotto Il prodotto di due o più fattori è uguale a zero se e solo se almeno uno dei fattori è zero. 7 ∙ 0 = 0 0 ∙ 7 = 0 0 ∙ 7 ∙ 2 = 0

Divisione

La divisione tra due numeri Naturali n1 detto dividendo ed n2 detto divisore, con n2 diverso da 0, è un terzo numero q detto quoziente, che moltiplicato per il divisore, dà come risultato il dividendo. n1 : n2 = q con n2 ≠ 0 La divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione. 12 : 4 = 3 3 ∙ 4 = 12 Poiché dati due numeri Naturali, il loro quoziente non è sempre un numero Naturale, la divisione non è un'operazione INTERNA all'insieme dei numeri Naturali. 26 : 5 = 5,2 5, 2 non è un numero Naturale La divisione è possibile in N solo se il dividendo è multiplo del divisore. 32 : 4 = 8 8 è un numero Naturale e la divisione è possibile.

PROPRIETÀ DELLA DIVISIONE Enunciato Esempio INVARIANTIVA Il quoziente non cambia se si moltiplicano o si dividono (se possibile) entrambi i termini della divisione per uno stesso numero diverso da zero. 300 : 50 = 6 (300 ∙ 2) : (50 ∙ 2) = 600 : 100 = 6 120 : 30 = 4 (120 : 2) : (30 : 2) = 60 : 15 = 4 DISTRIBUTIVA Per dividere una somma (o una differenza) per un numero, si possono dividere il dividendo e il divisore per quel numero e poi sommare (sottrarre) i quozienti ottenuti. (30 + 24) ; 6 = 54: 6= 9 (30 : 6) + (24: 6)= 5+4=9 (42 – 18 ) : 6 = 24 :6 = 4 (42 : 6) - (18: 6)= 7-3=4

DIVISIONI PARTICOLARI n:n =1 Se in una divisione il dividendo e il divisore sono uguali (ma diversi da zero), il quoziente è 1. 10 : 10 = 1 n:1= n Se in una divisione il divisore è 1, il quoziente e il dividendo sono uguali. 10 : 1 = 10 0:n =0 Se in una divisione il dividendo è uguale a zero, il quoziente è zero. 0 : 10 = 0 n:0=imp Se in una divisione il divisore è uguale a zero, la divisione è Impossibile. 10 : 0 = imp 0:0=ind Se in una divisione il dividendo e il divisore sono uguali a zero, il quoziente è Indeterminato. 0 : 0 = ind

Il divisore deve sempre essere diverso da zero perché qualunque numero moltiplicato per 0 dà 0 e invece del dividendo per cui la divisione è impossibile. 12:0 = divisione impossibile (non ammette risultato) La divisione 0:0 è indeterminata perché ammette infiniti risultati, infatti, qualunque numero moltiplicato per 0 dà 0 e potrebbe rappresentare il quoziente. 0:0 = divisione indeterminata (ammette infiniti risultati) La sola divisione possibile con lo 0 è 0:n che dà come quoziente 0. Se dividiamo 0 per qualunque altro numero otteniamo sempre 0. 0:n = 0

Cliccando sull’immagine è possibile scaricare una calcolatrice realizzata col programma SCRATCH, che può eseguire le quattro operazioni. Naturalmente, per utilizzarla sarà necessario aver installato sul proprio computer il programma.