Trasporto solido di fondo

Concentrazione areale τ UP VP d qsf = C VP [qsf] = L2 T-1 Portata solida Volumetrica Trasportata Al fondo Per unità di larghezza [C]= L3 / L2 = L Concentrazione areale di sedimenti in moto = Volume di sedimenti in moto / area [VP] = L T-1 Velocità media Delle particelle Saltellanti

Complementi: Calcolo di VP Ashida e Michiue (1972) ipotizzano che, in media, la dinamica della particella sia retta da un bilancio fra spinta idrodinamica associata alla velocità relativa fluido- particella e resistenza associata al contatto intermittente della particella col fondo. FD = R (Equilibrio dinamico) FD = r (p d2 /4) cD [(Up- VP ) 2/2] modulo spinta idrodinamica R = mD N = mD p (rs – r) g d3/6 modulo resistenza di contatto Posto Up = x u t t *c1 = Tensione critica dinamica di Shields = 0.25 t *c

Complementi: Calcolo di C Bagnold (1966) ipotizza che, in media, la concentrazione di particelle messe n moto deve essere esattamente sufficiente a far sì che la tensione imposta dalla corrente fluviale sul bordo superiore dello strato di saltellamento, si riduca, per effetto del trasferimento di quantità di moto fluido-particelle, al valore critico. τ Fd Fd Fd Fd Fd d Fd τc

Relazione generale di trasporto di fondo o, in forma adimensionale e osservando che x/mD=17 (Ashida e Michiue ,1972): In generale, si può scrivere la relazione generale nella forma: con F funzione crescente dell’eccesso di tensione di Shields rispetto al valore critico.

Formule empiriche per la portata solida al fondo Formula di Meyer Peter-Müller (1948) dove Formula di van Rijn (1982) dove Formula di Parker (1990) dove

molte altre relazioni di natura empirica o semi empirica Esistono in letteratura molte altre relazioni di natura empirica o semi empirica che forniscono la portata solida al fondo.

Yu = 8.766 m Esempio n.1 Soluzione: Si consideri un alveo a fondo mobile costituito da un ammasso incoerente omogeneo caratterizzato da sedimenti di diametro ds = 10 mm e densità relativa 2,65. L’alveo, a sezione rettangolare di larghezza costante b = 100 m (trattabile come molto larga), è sollecitato da portata costante Q = 2500 m3/s ed è caratterizzato da pendenza costante if = 0,0005. Nota la scabrezza assoluta dell’alveo, caratterizzabile con un valore del coefficiente di Strickler pari a 30 m1/3 s-1: a) si determini la profondità di moto uniforme Yu, per alveo infinitamente largo; b) si verifichi se si realizza trasporto di fondo ; c) si calcoli la portata solida trasportata al fondo nell’intera sezione. Soluzione: a) Utilizzando la relazione di Gauckler – Strickler per il coefficiente di conduttanza, l’equazione del moto uniforme per una sezione rettangolare molto larga ha la forma: Segue: Yu = 8.766 m b) Calcolo di RP

t*c = 0.057 Calcolo di t *c utilizzando la formula di Brownlie Calcolo di t * utilizzando la relazione t0 = r g if R Essendo t * > t *c si ha trasporto di fondo c) Calcolo della portata solida utilizzando la formula di Meyer-Peter e Mueller Calcolo della portata solida utilizzando la formula di Van Rijn

Esempio n.2 Si consideri un alveo a fondo mobile costituito da un ammasso incoerente omogeneo caratterizzato da sedimenti di diametro ds = 25 mm e densità relativa 2,65. L’alveo, a sezione rettangolare di larghezza costante b = 60 m, è sollecitato da portata costante Q = 500 m3/s ed è caratterizzato da pendenza costante if = 0,4 %. Nota la scabrezza assoluta dell’alveo, caratterizzabile con un valore del coefficiente di Strickler pari a 35 m1/3 s-1: a) si determini la profondità di moto uniforme Yu, per alveo infinitamente largo; b) si verifichi se si realizza trasporto di fondo; c) si calcoli la portata solida trasportata al fondo nell’intera sezione.

Esempio n.3 Si consideri un alveo a fondo mobile costituito da un ammasso incoerente omogeneo caratterizzato da sedimenti di diametro ds = 0.1 mm e densità relativa 2,65. L’alveo, a sezione rettangolare di larghezza costante b = 300 m, è sollecitato da portata costante Q = 1000 m3/s ed è caratterizzato da pendenza costante if = 0,1 %. Nota la scabrezza assoluta dell’alveo, caratterizzabile con un valore del coefficiente di Strickler pari a 40 m1/3 s-1: a) si determini la profondità di moto uniforme Yu, per alveo infinitamente largo; b) si verifichi se si realizza trasporto di fondo ; c) si calcoli la portata solida trasportata al fondo nell’intera sezione.

Esempio n.4 Si consideri un alveo a fondo mobile costituito da un ammasso incoerente omogeneo caratterizzato da sedimenti di diametro ds = 0.2 mm e densità relativa 2,65. L’alveo, a sezione rettangolare di larghezza costante b = 250 m, è sollecitato da portata costante Q = 2000 m3/s ed è caratterizzato da pendenza costante if = 0,2 %. Nota la scabrezza assoluta dell’alveo, caratterizzabile con un valore del coefficiente di Strickler pari a 40 m1/3 s-1: a) si determini la profondità di moto uniforme Yu, per alveo infinitamente largo; b) si verifichi se si realizza trasporto di fondo ; c) si calcoli la portata solida trasportata al fondo nell’intera sezione.

Esempio n.5 Si consideri un alveo a fondo mobile costituito da un ammasso incoerente omogeneo caratterizzato da sedimenti di diametro d50 = 35 mm, d90 = 80 mm e densità relativa 2,65. L’alveo, a sezione rettangolare di larghezza costante b = 45 m, è sollecitato da portata costante Q = 267 m3/s ed è caratterizzato da pendenza costante if = 1 %. Nota la scabrezza assoluta dell’alveo, caratterizzabile con un valore del coefficiente di Strickler pari a 25 m1/3 s-1: a) si determini la profondità di moto uniforme Yu; b) si verifichi se si realizza trasporto di fondo ; c) si calcoli la portata solida trasportata al fondo nell’intera sezione. Soluzione: Utilizzando la relazione di Gauckler – Strickler per il coefficiente di conduttanza, l’equazione del moto uniforme per una sezione rettangolare ha la forma: a) Da cui si ricava procedendo in modo iterativo la profondità di moto uniforme: Yu = 1.73 m [ Nell’ipotesi di sezione infinitamente larga si sarebbe ottenuto, Yu = 1.68 m ]

b) Utilizzando la curva di Shields [o la formula di Brownlie] si trova: d= 35 mm t*c = 0,058 . Dalla relazione t0 = r g if R si ricava inoltre: dunque, essendo t > t*c si realizza trasporto di fondo. c) Utilizzando la formula di Meyer Peter & Muller si ottiene: donde:

Incipiente trasporto in sospensione La condizione di soglia per il trasporto in sospensione dipende dal valore assunto dal parametro: Tale parametro rappresenta il rapporto tra la scala caratteristica delle fluttuazioni di velocità turbolente (destabilizzanti ) e la velocità di sedimentazione (stabilizzante) le particelle vengono messe in sospensione le particelle tendono a depositare Tale criterio può essere trasformato in una relazione fra un valore di soglia del parametro di Shields ed il n.ro di Reynolds della particella Rp

Criterio di Bagnold (1966) quindi in termini del parametro di Shields: Criterio di van Rijn (1984) : sperimentale quindi in termini del parametro di Shields:

Diagramma di Shields

Valutazione della portata solida in sospensione Definizioni: La concentrazione volumetrica è il limite del rapporto tra volume solido e volume del miscuglio al tendere a zero di quest’ultimo: dVs dV C è una funzione della posizione e del tempo; ed è un numero puro in genere espresso in [p.p.m.] che si ottiene moltiplicando il rapporto per 106 Per i tratti fluviali dei corsi d’acqua italiani le massime concentrazioni volumetriche sono dell’ordine di 0,01-0,02, ovvero 10000-20000 p.p.m. ovvero 10-20 g/l.

Distribuzione della concentrazione in moto uniforme (Rouse, 1937) Profilo di concentrazione di equilibrio in moto uniforme: Ca concentrazione di riferimento empiricamente definita in funzione dei valori della tensione di Shields t* e del n.ro di Reynolds della particella Rp (ad es. Van Rijn, 1984). a distanza convenzionale dal fondo, in corrispondenza della quale la concentrazione media assume il valore Ca Z parametro di Rouse = Ws/ k ut z Concentrazione C(z) Van Rijn (1984) suggerisce: Ca a

Confronto con gli esperimenti di Vanoni (1946) z/Y Z Z Z Z Z Z Z a/d = 0,05 C/Ca

Formula di Rouse (1937) per la portata solida in sospensione Nota la distribuzione di concentrazione C(z) e utilizzando la distribuzione logaritmica di velocità per U(z) si calcola l’integrale presente nella definizione di portata solida volumetrica in sospensione per unità di larghezza qss z Si ottiene: e scabrezza assoluta del fondo, pari a (3 d90), secondo Van Rijn (1984), nel caso di fondo piano; I1 , I2 integrali funzioni del n.ro di Rouse Z e di a/Y

Z Z a/Y a/Y

Trasporto solido totale La portata solida volumetrica totale qs, per unità di larghezza, si calcola come somma della portata solida di fondo e in sospensione: In alternativa sono disponibili alcune formule empiriche che consentono la valutazione diretta di qs, in funzione delle caratteristiche del moto e del sedimento. Tali formule sono scritte in termini della portata solida volumetrica adimensionale totale per unità di larghezza: Formula di Engelund e Hansen (1967) C coefficiente adimensionale di Chezy.

si realizza trasporto in sospensione Esempio n.1 a) si verifichi se si realizza trasporto in sospensione; b) si calcoli la portata solida trasportata in sospensione nell’intera sezione. Soluzione: Ws = 0.44 m/s si realizza trasporto in sospensione b) Van Rijn

Idem per gli Esempi n.2, 3, 4, 5