Logica 18-19 Lezioni 13-15

Lezione 13 7/3/19

Esame intermedio Stabilire data: giovedì 21 marzo Le domande del primo esame scritto vertono sulla logica proposizionale e sono di due tipi: (1) traduzione di semplici enunciati in italiano nel linguaggio della logica proposizionale; (2) utilizzazione del metodo delle tavole di verità o degli alberi di refutazione per valutare enunciati o argomentazioni. Gli esercizi di traduzione saranno ripresi dagli esercizi per casa o da esempi fatti in classe

Cap. 4 - Il calcolo proposizionale Nota sull'uso della parola "calcolo" Verranno usate le regole riassunte nella tabella 4.2 a p. 118

Esercizio risolto 4.1 Soluzione Dimostrare: P → (Q → R), P, Q |– R La prima premessa è un condizionale il cui antecedente è negato e il cui conseguente è a sua volta un condizionale. La riga 2 contiene l’antecedente. Perciò la derivazione del suo conseguente alla riga 4 è chiaramente un esempio di eliminazione del condizionale, così come il passo dalle righe 3 e 4 alla riga 5.

Alcune regole Usata nella slide precedente: Eliminazione del condizionale (→E): Da un condizionale e dal suo antecedente possiamo inferire il conseguente. Sulla congiunzione: Eliminazione della congiunzione (&E): Da una congiunzione possiamo inferire uno qualunque dei due congiunti. Introduzione della congiunzione (&I): Da due fbf φ e ψ qualsiasi possiamo inferire la congiunzione φ & ψ.

Esercizio risolto 4.3 Soluzione Dimostrare: P & Q |– Q & P L’ordine con cui otteniamo i due congiunti dalla congiunzione iniziale mediante &E è indifferente. Avremmo anche potuto scrivere ‘Q’ alla riga 2 e ‘P’ alla 3. Cìò avrebbe comunque consentito l’applicazione di &I per ottenere la conclusione alla riga 4

condizionale, congiunzione e disgiunzione Abbiamo visto la regola di eliminazione del condizionale (MP). Quella di introduzione è più complicata e la vedremo in seguito abbiamo visto le regole di eliminazione e introduzione della congiunzione. Adesso passiamo alle regole sulla disgiunzione

Intro della disgiunzione Introduzione della disgiunzione (∨I): Da una fbf φ possiamo inferire la disgiunzione di φ con una fbf qualsiasi (φ può essere sia il primo che il secondo disgiunto di questa disgiunzione). Guardiamo insieme dal libro l'esercizio 4.6, p. 97 (prossima slide) ...

Lezioni 14-15 8/3/19

Eliminazione della disgiunzione Idea di fondo: Se ho P v Q e posso derivare R sia da P che da Q, allora posso asserire R Vediamo la regola all'opera nel prossimo esempio

(P  Q) & (P  R), P → S, Q → S, P → T, R → T |– S & T Esercizio risolto 4.9 Dimostrare: (P  Q) & (P  R), P → S, Q → S, P → T, R → T |– S & T Soluzione

Consideriamo alcune "banalità"

Esercizio risolto 4.5 Dimostrare: P |– P & P Soluzione

Esercizio risolto 4.7 Dimostrare: P |– P  P Soluzione

Esercizio risolto 4.11 Dimostrare: P ↔ Q |– Q ↔ P Soluzione

Introduzione del condizionale (i) Questa è una regola "ipotetica" Impariamola studiando insieme l'esercizio 4.12 p. 101 (prossima slide)

Introduzione del condizionale (ii) Introduzione del condizionale (→I): Data una derivazione di una fbf ψ con l’aiuto di un’ipotesi φ possiamo scaricare l’ipotesi e inferire φ → ψ. un altro esempio, prossima slide ...

Esercizio risolto 4.15 Soluzione Dimostrare: (P & Q) → R |– P → (Q → R) Soluzione Ipotizziamo l’antecedente ‘P’ della conclusione alla riga 2. Per derivare il conseguente, cioè ‘Q → R’, ipotizziamo l’antecedente ‘Q’ di questo condizionale alla riga 3. Dato che questa è una nuova ipotesi, è richiesta una nuova linea verticale. Abbiamo ora assunto due ipotesi. Deriviamo ‘R’ da ‘Q’ alla riga 5. Ciò ci permette di scaricare l’ipotesi ‘Q’ e inferire ‘Q → R’ per →I alla riga 6. Abbiamo ora mostrato che ‘Q → R’ segue dalla nostra ipotesi originaria ‘P’. Quest’ipotesi rimane in vigore fino a che non la scarichiamo e inferiamo la conclusione voluta mediante un’altra applicazione di →I alla riga 7.

Introduzione della negazione (dimostrazione per assurdo) (p. 105) Introduzione della negazione (∼I): Data la derivazione di un assurdo da un’ipotesi φ, possiamo scaricare l’ipotesi e inferire ∼φ. Questa regola è conosciuta anche come dimostrazione indiretta o riduzione all’assurdo (reductio ad absurdum). Si noti che per ‘assurdo’ intendiamo qui una contraddizione di tipo ben preciso, specificamente una contraddizione consistente nella congiunzione di una fbf con la sua negazione. Esempi da pp. 105-106 ...

es. 4.18, p. 105 prossima slide

4.19, p. 105 prossima slide Refusi nell'es. 4.19: salta il 5 nella numerazione delle righe e la linea verticale dovrebbe partire dalla riga 2.

4.20, p. 106 prossima slide

Esempio 4.21 p. 106 Questo esempio, oltre a mostrare l'uso della regola di intro della negazione, illustra una strategia: se abbiamo a disposizione una disgiunzione, tipicamente è utile cercare di dimostrare che entrambi i disgiunti implicano la conclusione desiderata. In questo caso, cerchiamo di ottenere questa conclusione con la regola di intro della neg.

Esercizio 4.21: strategia P  Q |– (P & Q) Assumiamo la premessa Cerchiamo di ottenere la conclusione da entrambi i disgiunti, ossia cerchiamo P -> (P & Q) Q -> (P & Q) In entrambi i casi ipotizziamo l'antecedente e cerchiamo il conseguente ragionando per assurdo. Quindi ipotizziamo l'opposto della conclusione desiderata, P & Q, per ottenere una contraddizione