Geometria descrittiva dinamica Con questo learning object si vuole studiare e definire la legge geometrico-descrittiva relativa alla condizione di appartenenza tra la retta ed il piano e la reciproca relazione di contenenza o inclusione. L’indagine affronta sia la procedura deduttiva sia la procedura impositiva. Al termine dell’analisi si definisce un quadro sintetico di riferimento che comprende sia gli aspetti teorici che quelli grafici che quelli concettuali. La presentazione si conclude e completa con alcune esemplificazioni grafiche riferite ai quattro diedri e con la proposta di temi scritti da volgere e sviluppare in forma di elaborati grafici Per approfondimenti consultare il sito http://www.webalice.it/eliofragassi

Geometria descrittiva dinamica Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge LA CONDIZIONE DI APPARTENENZA E BIUNIVOCA RELAZIONE DI CONTENENZA O INCLUSIONE TRA RETTA E PIANO L’elaborato grafico della copertina è stato eseguito nell’a. s. 2008/09 da Laguardia Elisa della classe 3°C del Liceo Artistico Statale “G.Misticoni” di Pescara per la materia : “Discipline grafico-geometriche” La revisione delle formalizzazioni è stata curata dalla dott.ssa Gabriella Mostacci Il materiale può essere riprodotto citando la fonte Autore Prof. Elio Fragassi

Appartenenza e/o contenenza tra retta e piano (1) Indagine esplicativa e deduttiva Prendiamo, ora, in considerazione gli elementi geometrici retta e piano definendone le relative leggi di appartenenza e/o contenenza, sintetizzate dall'espressione seguente: r Î a  a Ì r I due elementi geometrici, riguardati singolarmente, li rappresentiamo come di seguito (Fig.13, Fig.14). Queste due rappresentazioni hanno in comune un solo elemento: la lt - si ricorda che la lt è costituita dal luogo geometrico dei punti uniti- per cui è possibile immaginare di traslare la rappresentazione di r sulla rappresentazione di a, e viceversa, facendo in modo che la lt della retta r coincida, sempre, con la lt del piano a Poiché dobbiamo stabilire, con l’operazione di cui sopra, le leggi geometrico-rappresentative tra elementi diversi, è necessario, anzitutto, esaminare e valutare le caratteristiche geometriche e fisiche degli elementi rappresentativi da prendere in esame, sapendo che gli stessi, per essere confrontabili devono caratterizzarsi della stessa natura fisica.

Appartenenza e/o contenenza tra retta e piano (2) Indagine esplicativa e deduttiva In questo caso prendiamo in considerazione elementi geometrici fisicamente uguali, cioè le tracce della retta T1r e T2r che sono punti fisicamente reali, e le tracce del piano t1a e t2a che sono rette reali. Perché si possa asserire che rÎ a e ricordando che il piano può essere, per sua natura, “rigato” (costituito cioè da una retta che si sposta parallelamente a se stessa secondo una direzione prefissata), e contemporaneamente “punteggiato” (la retta che si muove è, a sua volta, determinata da un punto in moto orientato), possiamo sintetizzare il concetto con la seguente formula Ricordando, inoltre, che le tracce t del piano sono rette reali e le tracce T della retta sono punti reali (vedi quadro sinottico iniziale della Tabella –A-), allora si può stabilire che: = dove la retta r è quella retta che muovendosi parallelamente a se stessa genera il piano a

La formalizzazione sintetica si esplicita come di seguito. Appartenenza e/o contenenza tra retta e piano (3) Indagine esplicativa e deduttiva Perciò è necessario verificare che le tracce della retta r:T1r e T2r appartengano agli insiemi delle sommatorie e, quindi siano punti che determinano le tracce del piano a (t1 a ; t2 a) Allora, traslando e sovrapponendo le due rappresentazioni di figg.13 e 14, può accadere che si presenti la graficizzazione della fig.15 e della fig.16. In questo caso il rapporto descrittivo tra gli elementi geometrici si caratterizza come di seguito: t1  T1r mentre t2  T2r quindi, mentre T2r sta su t2 a , viceversa, T1r non sta su t1 a Pertanto, mentre T2r è un punto dell’insieme sommatoria, non possiamo dire la stessa cosa per T1r che non risulta essere un punto della sommatoria. Da ciò si può dedurre, facilmente, che r Ï a e quindi la retta r non è una retta del piano a perché non gli appartiene e, viceversa, il piano non contiene la retta r, cioè, in forma sintetica Ër La formalizzazione sintetica si esplicita come di seguito. r      r

Appartenenza e/o contenenza tra retta e piano (4) Indagine esplicativa e deduttiva Continuando a traslare i due elementi, e fermo restando la coincidenza tra la lt della retta r e la lt del piano, può accadere che si presenti la seguente situazione grafica (Fig.17, Fig. 18). In questa ipotesi grafica si presenta la seguente descrizione descrittiva. Esplicitando si ha che: T1r sta su t1a e quindi reciprocamente t1aÌT1r , ma T2r non sta su t2a per cui si ha che t2aËT2r.  = Pertanto, mentre T1r è un punto della sommatoria su p1, non può dirsi la stessa cosa per il punto T2r che non risulta essere un punto della sommatoria su p2. Da quanto sopra possiamo, facilmente, dedurre che rÏa cioè che la retta r non appartiene al piano dato a . L’espressione sintetica si esplicita come di seguito. r      r

Appartenenza e/o contenenza tra retta e piano (5) Indagine esplicativa e deduttiva Tra le infinite reciproche posizioni di a e di r può accadere che si presentino, anche, graficizzazioni simili a quelle delle seguenti fig. 19 e fig. 20. In questo caso si riscontra che la traccia T1r della retta sta sulla traccia t1a del piano quindi, reciprocamente t1a Ì T1r così come T2r sta su t2a e quindi, reciprocamente t2a Ì T2r. Allora accade che T1r è un punto dell’insieme della sommatoria che genera t1a come T2r è un punto dell’insieme della sommatoria che genera t2a. Pertanto le due tracce della retta r, T1r e T2r - che sono punti reali- appartengono rispettivamente alle due rette reali t1a e t2a che rappresentano le tracce del piano a . r      r L’espressione sintetica si esplicita come di seguito. Sintetizzando, poiché le due tracce del piano contengonole corrispondenti due tracce della retta, possiamo asserire la seguente legge esplicativa di appartenenza tra retta e piano. Se le tracce di una retta appartengono alle rispettive omonime tracce di un piano allora, e solo allora, la retta appartiene al piano.

Appartenenza e/o contenenza tra retta e piano (6) Indagine esplicativa e deduttiva Quindi possiamo sintetizzare la seguente legge descrittiva di appartenenza di una retta ad un piano,che, esplicitandola negli elementi geometrico-descrittivi assume la seguente forma T1r t1 T2r  t2 r   T1r = r1 dove dove T2r = r22 dove Il criterio reciproco della contenenza o inclusione si esprime, mediante la simbologia specifica, nel modo seguente. t1T1r t2T2r   r T1r = r1 dove dove T2r= r2 dove mentre la definizione si enuncia come di seguito. Se le tracce di un piano contengono le rispettive omonime tracce di una retta allora, e solo allora, il piano conterrà la retta.

Appartenenza e/o contenenza tra retta e piano (1) Procedura applicativa o impositiva Se la condizione deve essere imposta, durante la fase esecutiva di un elaborato grafico; dati gli elementi geometrici è necessario sviluppare le operazioni in modo tale che si verifichino le graficizzazioni di cui si è discusso sopra. Per questo, data una retta r rappresentata mediante le sue tracce T1r e T2r; se si vuole che la retta r dovranno costruirsi le relazioni T1rt1 e T2rt2 in quanto è necessario imporre che le tracce della retta siano elementi delle espressioni che descrivono le tracce del piano. Se il dato iniziale è, invece, un piano rappresentato mediante t1 e t2 e si vuole che esso contenga una retta r, è necessario imporre che le tracce della retta siano elementi delle espressioni che descrivono le tracce del piano. Poiché per una retta passano infiniti piani, infinite saranno le tracce dei piani passanti per le tracce della retta.

Appartenenza e/o contenenza tra retta e piano (2) Procedura applicativa o impositiva La formalizzazione applicativa o impositiva può essere espressa come di seguito. r   T1r t1 T2r  t2 T1r = r1 dove dove dove T2r = r22 Mentre la reciproca legge di contenenza o inclusione può essere espressa dalla formalizzazione che segue.   r t1T1r t2 T2r dove T1r = r1 dove T2r= r2 dove Queste due formalizzazioni applicative possono essere recitate come di seguito

Appartenenza e/o contenenza tra retta e piano (3) Procedura applicativa o impositiva Per quanto attiene la condizione di appartenenza si ha la seguente definizione verbale. Una retta appartiene ad un piano se, e solo se, le tracce della retta appartengono alle omonime tracce del piano. r   (T1r t1 ; T2r  t2) Mentre, per la reciproca legge dell’inclusione o contenenza si può enunciare la seguente definizione. Un piano contiene una retta se, e solo se, le tracce del piano contengono le rispettive omonime tracce della retta.   r (t1T1r ; t2 T2r)

Caratteristiche degli elementi geometrici Quadro sintetico della condizione di appartenenza e di contenenza o inclusione tra retta e piano Caratteristiche degli elementi geometrici Appartenenza tra retta e piano Elemento geometrico Didascalia elemento Didascalia elemento rappresentativo Nomenclatura elemento rappresentativo geometrica dell’elemento rappresentativo Definizione Definizione fisica dell’elemento rappresentativo Relazione insiemistica delle leggi dell’appartenenza o della inclusione Definizioni grafica e descrittiva degli elementi geometrici T1r APPARTENENZA 1a traccia punto reale R e t t a r   T1rt1 T2rt2 T2r 2a traccia punto reale r 1a immagine o 1a proiezione r’ virtuale retta 2a immagine o 2a proiezione r” retta virtuale CONTENENZA O INCLUSIONE 1a traccia o traccia 1 t1 retta reale P i a n o   r t1T1r t2T2r p 2a traccia o traccia 2 t2 retta reale

Esemplificazioni grafiche nei quattro diedri I disegni che seguono rappresentano alcune esemplificazioni grafiche delle condizioni di appartenenza e/o contenenza nei diversi diedri tra retta e piano, di diversa tipologia geometrica e differente collocazione fisica nello spazio (Fig. 21; Fig. 22; Fig. 23; Fig. 24).

Esercitazioni grafiche sulla condizione di appartenenza o contenenza tra retta e piano (1) risoluzione T2b T2r b” a” s” r” b’ r’ a’ s’ T1s T1a

Esercitazioni grafiche sulla condizione di appartenenza o contenenza tra retta e piano (2) risoluzione t2b t2a t1a T2r T1r t1b

Esercitazioni grafiche sulla condizione di appartenenza o contenenza tra retta e piano (3) risoluzione t1a t2a t1a t2a

Esercitazioni grafiche sulla condizione di appartenenza o contenenza tra retta e piano (4) risoluzione T2r P” B” T¥2s r” C” r” Q” A” s” r’ T1r T2r T1s s’ T1r r’

Temi scritti da volgere e sviluppare in forma di elaborati grafici Dati il punto A(A’=3; A”=3) e la traccia T2a=4, definire e rappresentare prima la retta aA , poi il piano a. Dati i punti X(X’=4; X”=-4); Y(Y’=2; Y”=-2), definire e rappresentare il piano (X,Y). Data la retta a(T1a=-3; T2a=), definire e rappresentare un piano a Data la retta b(T1b=-4; T2b=4), definire e rappresentare un piano b. Dato il piano (1+ 2+), definire e rappresentare le rette (a, b) Dato il piano (1+ 2-), definire e rappresentare le rette (x, y) Dato il piano (1+ 2+  lt), definire e rappresentare le rette (l, m) Dato il piano (1+ 2+), definire e rappresentare le retti (o, p) Definire e rappresentare una retta generica nel ID ed un fascio di tre piani che la contengono. Definire e rappresentare una retta di profilo nel IIID ed una coppia di piani che la contengono. Definire e rappresentare un piano generico parallelo alla lt nel ID a cui appartengono due rette incidenti. Definire e rappresentare un piano generico nel IID a cui appartengono un fascio di tre rette.

Per maggiore completezza ed approfondimento degli argomenti si può consultare il seguente sito http://www.webalice.it/eliofragassi