ISOMETRIE Si parla di ISOMETRIA (dal greco Iso=stessa Metria=misura) quando una figura F si trasforma in una F’ ad essa congruente. Si tratta quindi di una trasformazione del piano che modifica solo la posizione delle figure ma non le loro dimensioni. • In una isometria diretta una figura isometrica di un’altra mantiene l’orientamento se percorrendo i vertici dell’una e del’altra in ordine alfabetico si ha, in entrambi i casi, un movimento orario o antiorario. In una isometria inversa accade l’opposto. • In una isometria si hanno punti fissi quando nella trasformazione un punto o più punti non cambiano la posizione; se ciò non accade non si hanno punti fissi. C CI • Simmetria assiale • Rotazione • Traslazione • Composizioni di Isometrie • Schema generale di Isometrie A B AI BI C CI A B BI AI

TRASLAZIONE • Intensità: lunghezza del vettore Con il movimento di Traslazione si sposta una figura parallelamente a se stessa. I punti ABCD… vengono trasformati nei corrispondenti A’B’C’D’… Ogni punto del piano subisce lo spostamento indicato da un vettore, cioè una freccia orientata che indica: • Intensità: lunghezza del vettore • Direzione: retta dove giace il vettore • Verso: è indicato dalla punta della freccia MANTIENE L’ORIENTAMENTO E NON HA PUNTI FISSI

ROTAZIONE • un punto (centro della rotazione) La rotazione è una trasformazione geometrica definita da tre elementi: • un punto (centro della rotazione) • un angolo (ampiezza in gradi della rotazione) • un verso (orario o antiorario) MANTIENE L’ORIENTAMENTO ED HA COME PUNTO FISSO IL CENTRO DI ROTAZIONE La Simmetria centrale è una particolare rotazione definita da: • un punto (centro di simmetria) • un angolo di 180°(ampiezza della rotazione) • un verso (orario o antiorario)

SIMMETRIA ASSIALE • Sono situati da parti opposte rispetto all’asse La simmetria assiale è una trasformazione geometrica definita da una retta detta asse di simmetria Due punti sono simmetrici rispetto ad un asse quando: • Sono situati da parti opposte rispetto all’asse • Il segmento che li unisce è perpendicolare all’asse • Sono alla stessa distanza dall’asse NON MANTIENE L’ORIENTAMENTO ED HA COME PUNTI FISSI QUELLI APPARTENENTI ALL’ASSE

COMPOSIZIONE DI ISOMETRIE • Composizione di due simmetrie assiali ad assi paralleli • Composizione di due simmetrie assiali ad assi incidenti • Composizione di due simmetrie assiali ad assi perpendicolari • Composizione di due simmetrie centrali Tutte le isometrie del piano sono traslazioni, rotazioni, simmetrie assiali o loro composizioni. La composizione di due simmetrie assiali nel piano dà come risultato una traslazione o una rotazione: • se i due assi di simmetria sono paralleli, ottengo una traslazione o una simmetria assiale • se i due assi di simmetria sono incidenti ottengo una rotazione.

SIMMETRIE ASSIALI AD ASSI PARALLELI E’ equivalente ad una traslazione di vettore perpendicolare agli assi di simmetria e di lunghezza doppia della distanza tra gli assi. Mantiene l’orientamento e non ha punti fissi.

SIMMETRIE ASSIALI AD ASSI INCIDENTI E’ equivalente ad una rotazione definita dai seguenti elementi: • il centro, punto di intersezione degli assi • l’ampiezza dell’angolo che è doppia di quella dell’angolo formato dagli assi di simmetria Mantiene l’orientamento ed ha come punto fisso quello di incontro degli assi.

SIMMETRIE ASSIALI AD ASSI PERPENDICOLARI E’ equivalente ad una simmetria centrale con centro nel punto di intersezione degli assi di simmetria. Mantiene l’orientamento ed ha come punto fisso quello di intersezione degli assi.

COMPOSIZIONE DI DUE SIMMETRIE CENTRALI E’ equivalente ad una traslazione di vettore u con : • direzione parallela al segmento che congiunge i due centri di simmetria. • lunghezza doppia della distanza fra i due centri • verso da ABC a A’B’C’

“MESCOLIAMO” LE ISOMETRIE TRASLAZIONE - SIMMETRIA ASSIALE SIMMETRIA ASSIALE - SIMMETRIA CENTRALE • COMPONENEDO UNA ISOMETRIA DIRETTA ED UNA INVERSA, LA FIGURA DI PARTENZA (ABC) E QUELLA DI ARRIVO (A”B”C”) SONO INVERSAMENTE CONGRUENTI

• COMPONENEDO DUE ISOMETRIE DIRETTE LA FIGURA DI PARTENZA (ABC) E SIMMETRIA CENTRALE - ROTAZIONE • COMPONENEDO DUE ISOMETRIE DIRETTE LA FIGURA DI PARTENZA (ABC) E QUELLA DI ARRIVO (A”B”C”) SONO DIRETTAMENTE CONGRUENTI • LA COMPOSIZIONE DI ISOMETRIE SI COMPORTA COME L’ADDIZIONE IN N ο D I + P D D → ISOMETRIA DIRETTA I → ISOMETRIA INVERSA P → NUMERI PARI D → NUMERI DISPARI

ISOMETRIE INVERSE DIRETTE NON MANTENGONO L’ORIENTAMENTO ELEMENTI INVARIANTI LUNGHEZZA DEI SEGMENTI INVERSE DIRETTE AMPIEZZA DEGLI ANGOLI NON MANTENGONO L’ORIENTAMENTO MANTENGONO L’ORIENTAMENTO SIMMETRIE ASSIALI ROTAZIONI TRASLAZIONI

LE ISOMETRIE NELL’ ARS CANUSINA Quali isometrie riuscite ad individuare in questi fregi matildici?