Modelli stocastici o di Box-Jenkins (approccio moderno post 1925) Modello autoregressivo (AR) Modello a media mobile (MA) Modello misto (ARMA) 1. residuo o disturbo coefficienti AR(p) - modello autoregressivo di ordine p Media mobile : è una media aritmetica che si sposta, ad ogni iterazione, dall’inizio alla fine della successione di dati.

Esempio: MA a tre termini In generale termini dispari . MA centrata. Può essere: - semplice - ponderata

Modelli a MA: costanti Modello MA(q) di ordine q Modelli misti Modello ARMA (pq) I modelli Box-Jenkins essendo di tipo stocastico generano un processo stocastico Analizzare una serie empirica con i modelli Box-Jenkins significa scegliere, tra i molti modelli possibili, quello più adatto e stimarne i parametri 2 fasi di analisi: _ identificazione _ stima

Operatori, funzioni generatrici, equazioni alle differenze finite Operatore all’indietro (backward) B Data una sequenza l’operatore B serve a trasformare un termine di tale sequenza in uno che lo precede di uno o più posti. Quindi : oppure Operatore in avanti (forward) F Stessa definizione, salvo che F trasforma in avanti, cioè Ovviamente :

Operatore alle differenze finite . oppure Ma: cioè : Poi:

PROCESSO AUTOREGRESSIVO DI ORDINE p AR(p) (*) Somma ponderata di valori passati cui si aggiunge un disturbo calcolato sul valore attuale . Riscrivendo la (*) si ha: che diviene, con l’operatore B: Ponendo la quantità in parentesi uguale a , nota anche come operatore AR(p) , si ha:

Nella (*) può essere aggiunta una costante che misura il livello del processo che, se il processo è stazionario, è uguale alla sua media, quindi in generale AR(p) ha forma: Le condizioni di stazionarietà del processo si ottengono dalle radici della sua equazione caratteristica, cioè ponendo , quindi Si dimostra (Box & Jenkins) che la stazionarietà di AR(p) si ottiene quando le radici della equazione caratteristica sono in modulo > 1, o in altre parole sono esterne al cerchio di raggio unitario

Casi particolari. AR(1) Il valore della serie al tempo t è pari ad una frazione del valore precedente aumentato (algebricamente) dell’errore .

Es: supponiamo . Allora graficamente: innovazione Stazionarietà Dal caso generale, siccome le radici dell’equazione caratteristica, cioè sono esterne al cerchio unitario, allora : AR(1) è stazionario se e solo se

Media Se allora Varianza Dalle relazioni di e di AR(p) si ricava da cui risulta che, siccome allora , cioè , come rilevato per la condizione di stazionarietà. Autocovarianza Si dimostra (Nelson, Riccolo) che

che utilizzando la relazione per diviene: Autocorrelazione Correlogramma A seconda del segno di si ha: Autocorrelazione parziale Si dimostra (Kendall) che

Non stazionarietà La stazionarietà si ha per Se allora Random Walk (non stazion. omogenea (*)) Se allora il processo assume un andamento esplosivo tipo reazione nucleare. (*) considerando successivi intervalli temporali questi hanno dei componenti sostanzialmente uguali.

Random walk stazionarietà non omogenea Stazionario Esplosivo

Processo autoregressivo di 2° ordine parametri Stazionarietà Le radici dell’equazione caratteristica devono essere esterne al cerchio unitario. Equazione caratteristica Si dimostra che per soddisfare tale condizione si devono verificare, come vedremo poco sotto (correlogramma) le seguenti disuguaglianze

Le disuguaglianze individuano nel piano la seguente regione triangolare: 1 -1 -2 0 2 Media Modello completo (con costante ) Si può facilmente dimostrare che , cioè gli scarti dalla media, siccome: Sono anch’essi AR(2), senza costante

Piccolo (1970) ha dimostrato che Varianza Piccolo (1970) ha dimostrato che varianza autocov. lag 1,2 e che…… k > 2 , è ottenibile dalla usuale relazione di Yule-Walker autocov. gen. Quindi: autocorrelazione

PROCESSO A MEDIA MOBILE MA(q) Si definisce come caso particolare del p.s. lineare già considerato: ( ) Il processo MA(q) è solamente costituito da un numero finito di q termini, cioè: che è un caso particolare di ( ) . Introducendo l’operatore B si ha: che diviene: dove Denota il cosiddetto operatore MA(q).

Stazionarietà Siccome l’operatore MA(q) è una serie finita, non esistono particolari restrizioni per assicurare la stazionarietà Invertibilità (vedi dopo per maggior dettaglio) Un MA(q) è invertibile quando le radici dell’equazione caratteristica sono esterne al cerchio unitario. Media Se le hanno media nulla, è nulla pure la media del processo, quindi:

Principio di dualità tra AR(p) e MA(q) 1) 2) Un AR(p) può essere sempre espresso come una media mobile di infiniti termini, cioè Un MA(q) può essere espresso, se invertibile, come un processo autoregressivo infinito, cioè . 3) I coefficienti di autocorrelazione totale di un MA(r ) si comportano analogamente ai coeff. di autocorrelazione parziale di un AR(r ). Stazionarietà invertibilità MA incondizionata Le radici dell’eq. devono essere esterne al cerchio unitario AR devono essere esterne al cerchio unitario

Processo ARMA(pq) (*) residuo o “innovazione” , indipend. Se non segue tali ipotesi, ma invece si comporta come una media mobile di ordine q e quindi risulta: Sostituendo in (*) si ha: ( ) che è un processo misto autoregressivo di ordine p, con media mobile di ordine q, cioè un ARMA(pq).

Usando l’operatore B si ottiene: dove Stazionarietà Per la condizione di stazionarietà della componente AR(p), le radici dell’equazione devono essere esterne al cerchio unitario. Invertibilità Analogamente, per MA(q) le radici di devono anch’esse essere esterne al cerchio unitario.

Media Se ARMA(pq) è completo, cioè è presente anche una costante : da cui: Per cui se

Modelli Box & Jenkins per serie non stazionarie in media (modelli ARIMA) Quando le condizioni di stazionarietà richieste per i modelli BJ non sono presenti si possono avere due forme di non stazionarietà: quella esplosiva quella omogenea Si ha la prima quando almeno una radice dell’equazione caratteristica è in modulo < 1. Si ha la seconda quando almeno una delle radici dell’equazione caratteristica è unitaria (cioè sul cerchio di raggio unitario). I fenomeni socio-economici ben difficilmente presentano non stazionarietà esplosiva, limitandosi a forme omogenee, così dette perché a parte variazioni nel livello e/o nell’andamento di fondo (trend), la serie è di tipo stazionario.

In altri termini la serie non è temporaneamente costante nel suo livello medio, ma comunque tende a disporsi stabilmente intorno a tale livello medio. Trasformazioni stazionarizzanti. Una serie storica in cui è presente una non stazionarietà omogenea è facilmente trasformabile in una di tipo stazionario prendendo un adeguato numero di differenze successive. Esempio: non stazion. omogenea stazion.

Un possibile modo di rappresentare una serie storica non stazionaria omogenea consiste nell’introdurre in un modello ARMA(pq) un operatore alle differenze finite di ordine opportuno. Integrando le componenti AR(p) e MA(q) con la componente I(d) si ha il modello ARIMA(p,d,q). Per definire formalmente tale modello si deve prima definire l’operatore autoregressivo generalizzato che è un polinomiale di grado p+d con d radici uguali ad 1 e le altre p radici maggiori di 1. Pertanto:

Questo perché d radici sono unitarie. I fattori della parte destra dell’equazione meno l’ultimo sono niente altro che l’operatore di un AR(p) stazionario. Quindi: Cioè: ________________________ ARIMA: * che scritto per esteso diviene: