Modello matematico per la risoluzione dei problemi L’equazione Modello matematico per la risoluzione dei problemi

RISOLUZIONE DI EQUAZIONI Fin qui abbiamo detto cos'è un'equazione, cos'è una soluzione per un'equazione e come stabilire se un dato numero è soluzione o no dell'equazione data. Ora il problema è: come determinare la soluzione di un'equazione? Visto che la soluzione deve appartenere al dominio dell'equazione, siamo portati a pensare di adottare la tecnica della "sostituzione per tentativi", cioè di sostituire all'incognita dell'equazione tutti gli elementi del dominio fino a che non troviamo quello che rende vera l'uguaglianza tra primo e secondo membro. Chiaramente è umanamente impossibile sostituire tutti gli elementi del dominio se esso ne ha un numero infinito (come N o Z, …) Sarà dunque il caso di trovare una strategia efficace applicabile da tutti e a qualunque equazione!

RISOLUZIONE DI EQUAZIONI Pensiamo di dover trovare la soluzione delle seguenti equazioni: 3x+1= -2x+7 (1) x = 6 5 (2) Di certo alcuni avranno già determinato la soluzione della (2) mentre qualche difficoltà si avrà per la (1). La soluzione dell’equazione (2) è: 6 5 Controlliamo se 6 5 è soluzione della (1): Primo membro: 3∙ 6 5 +1= 18 5 +1= 18+5 5 = 23 5 Secondo membro: -2 ∙ 6 5 +7= − 12 5 +7= −12+35 5 = 23 5 Perciò 6 5 è soluzione anche dell’eqauzione (1).

RISOLUZIONE DI EQUAZIONI - osservazioni L'equazione (2) è banale rispetto all'equazione (1). Ciò porta alla seguente considerazione: visto che la (2) è un'equazione banalmente risolvibile e che ha le stesse soluzioni della (1), non c'è forse un modo per trasformare la (1) nella (2) dalla quale ricavare immediatamente la soluzione della (1)? Più in generale potremmo enunciare tale problema come segue: data un'equazione A(x)=B(x), è possibile trasformarla in un'equazione banale del tipo x=numero dalla quale sia evidente la soluzione? E se una tale trasformazione è possibile, siamo certi che le soluzioni dell'equazione finale sono le stesse identiche soluzioni dell'equazione di partenza?

Equazioni equivalenti Si dicono equivalenti due equazioni che hanno le stesse identiche soluzioni. Esempio: x2 - 2x - 2 = 1 ha per soluzione i numeri -1 e +3 (x + 1)(x - 3) = 0 ha per soluzione i numeri -1 e +3 Perciò sono equivalenti. 3x-4=5 ha per soluzione il numero 3 Perciò NON sono equivalenti.

PRIMO PRINCIPIO D'EQUIVALENZA Ecco il primo modo che consente di trasformare un'equazione in un'altra equazione ad essa equivalente: sommando o sottraendo ad ambo i membri di un'equazione una stessa quantità, si ottiene un'equazione equivalente a quella data.

La bilancia e il primo principio

secondo PRINCIPIO D'EQUIVALENZA Ecco il secondo modo che consente di trasformare un'equazione in un'altra equazione ad essa equivalente: moltiplicando o dividendo ambo i membri di un'equazione una stessa quantità, diversa da zero si ottiene un'equazione equivalente a quella data.

La bilancia e il secondo principio

Equazione in forma normale Si dice equazione in forma normale un'equazione che ha uno dei membri uguale a zero. In simboli, un'equazione è in forma normale se ha la forma P(x)=0; in questo caso si dice anche che l'espressione P(x) definisce l'equazione in forma normale. Esempi: L'equazione - 7x +5 = 0 è in forma normale ed è definita dal polinomio - 7x +5. L'equazione +3x -5 =-1+10x non è in forma normale.

RIDUZIONE A FORMA NORMALE Grazie al primo principio d'equivalenza, ogni equazione può essere trasformata in una equazione ad essa equivalente ed in forma normale, basta sottrarre ad ambo i membri il secondo membro ed eseguire le operazioni come segue: A = B → A – B = B – B → A – B = 0 Esempio: 13x – 7 = 5 – x2 Si dice grado di un'equazione il grado del polinomio che definisce la sua forma normale. L’equazione precedente è di secondo grado.

CONSEGUENZE DEL PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA REGOLA DEL TRASPORTO Si può spostare un termine da un membro all’altro di un’equazione purché gli si cambi segno. Esempio data l’equazione 2x+1=4-x scriverla in forma normale. Applicando la regola del trasporto avremo: 2x = + 4 + 1 – x 2x = + 4 + 1 + x 2x + 1 + x – 4 = 0 da cui 3x – 3 = 0

CONSEGUENZE DEL PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA REGOLA DI CANCELLAZIONE Se nei due membri di un’equazione compaiono due addendi uguali, uno per ogni membro, questi possono essere cancellati. Esempio 2x + 3 = 5x + 3 Sono uguali 2x = 5x

CONSEGUENZE DEL secondo PRINCIPIO DI EQUIVALENZA REGOLA DEL CAMBIO DEI SEGNI Se si cambiano i segni a tutti i termini di un’equazione, in entrambi i membri, si ottiene un’equazione equivalente a quella data. Esempio – 2x – 3 = + x – 1 + 2x + 3 = – x + 1

Una ulteriore classificazione Una equazione si dice: NUMERICA se non contiene altre lettere a parte l’incognita LETTERALE se contiene altre lettere (dette costanti) a parte l’incognita INTERA se l’incognita non compare al denominatore FRAZIONARIA (o FRATTA) se l’incognita si trova in almeno uno dei denominatori 1 + x = 2x – 1 3 ax + 2 = (a – 1) x + a – = 2x – 1 3 x + 1 1 2 x – = 2x + 3 4 x – 1 x + 1 1