Funzioni e trasformazioni Vincenza Russo

Outline: Quesiti. La funzione: iniettiva, suriettiva, biettiva. Alcune trasformazioni: simmetrie, traslazioni. Soluzione dei quesiti.

1)Quale dei seguenti grafici rappresenta una funzione:

qual è il valore di f(x+3) ? 2)Se qual è il valore di f(x+3) ? a) b) c) d)

3)Il grafico dell’area A di un triangolo in funzione dell’altezza h di un triangolo con base costante è dato da: a b c d e

4) C D

5) La funzione a)ha un solo zero in x=0 b)è simmetrica rispetto all’origine c)per x>0 si ha f(x)>0 d)si ha sempre f(x)>0 e)non si ha mai f(x)<0

6) La funzione è minore di zero per: a) x<0 b)x<-1 c)x<-1 oppure x>0 d)tutti i numeri reali e)x<-1 oppure x>1

7)La funzione inversa di f(x)= ln(2x+3) è: b) c) d)

FUNZIONE Dati due insiemi A e B , la funzione è una legge che ad ogni elemento di A associa un ed un sol elemento di B.

Immagini o valori f B A x f(x) DOMINIO

Immagine di una funzione B A f (A)

f B A INIETTIVA

Funzione iniettiva

f B A SURIETTIVA 1 7 2 3 9 4 11

Funzione suriettiva tale che f(x)= y

Suriettività e biettività f B A INIETTIVA e SURIETTIVA biettiva

Ricerca dell’inversa f - 1 B A inversa di f ?

Funzione inversa f - 1 B A

A partire dal grafico delle funzioni , individuarne tutte le caratteristiche studiate. -1 +1 -2

f(x)=senx

1)Quale dei seguenti grafici rappresenta una funzione:

a c b La risposta esatta è la c perché ad ogni x corrisponde uno ed un solo f(x).

qual è il valore di f(x+3) ? 2)Se qual è il valore di f(x+3) ? a) b) c) d)

Si tratta di trovare il corrispondente di x+3. Pertanto si ha: La risposta esatta è la c

3)Il grafico dell’area A di un triangolo in funzione dell’altezza h di un triangolo con base costante è dato da a b c d e

La funzione richiesta è una retta passante per l’origine. La risposta esatta è la b.

4) C D

La risposta esatta è la c

5)La funzione a)ha un solo zero in x=0 b)è simmetrica rispetto all’origine c)per x>0 si ha f(x)>0 d)si ha sempre f(x)>0 e)non si ha mai f(x)>0

f(x)=0 per x=0 , x=1, x=-1

Una trasformazione geometrica nel piano è una corrispondenza biunivoca che associa a ogni punto del piano uno e un solo punto del piano stesso. O x y

Se f(x)= f(-x) la funzione si dice pari Simmetria rispetto all’asse y Se f(x)= f(-x) la funzione si dice pari

Simmetria rispetto all’origine Se f(x)= -f(-x) la funzione si dice dispari ed il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine.

La funzione è dispari in quanto: f(x)=-f(-x) Pertanto è simmetrica rispetto all’origine. La risposta esatta è la b

5)La funzione è minore di zero per: a) x<0 b)x<-1 c)x<-1 oppure x>0 d)tutti i numeri reali e)x<-1 oppure x>1

crescente a>1

0<a<1 decrescente

Funzioni esponenziali Funzione esponenziale e = 2.71828...

Disequazioni esponenziali: attenzione alla base!

La funzione esponenziale è biettiva e, pertanto, è invertibile La funzione esponenziale è biettiva e, pertanto, è invertibile.(STRETTAMENTE CRESCENTE O STRETT. DECR.)

Il logaritmo è l’esponente da dare alla base per avere l’argomento X>0

a>1

0<a<1

Disequazioni logaritmiche: attenzione alla base!

5)La funzione è minore di zero per: a) x<0 b)x<-1 c)x<-1 oppure x>0 d)tutti i numeri reali e)x<-1 oppure x>1

Il dominio della funzione si ottiene risolvendo la disequazione fratta: x<-1 oppure x>1 -1 +1

Per stabilire dove la funzione è minore di 0 occorre risolvere la disequazione: Essa è verificata per x<-1 oppure x>1 La risposta esatta è la e Attenzione alla risposta d!

6)La funzione inversa di f(x)= ln(2x+3) è: b) c) d)

La risposta esatta è la c

Esaminiamo dei quesiti nei quali è utile la conoscenza delle traslazioni.

1)Qual è il grafico della funzione -1 a b c

2)Qual è il grafico della funzione 1 -1 a b c

3)

4)Il grafico qui rappresentato corrisponde alla funzione: b c d 2 e

5) Il grafico della Giace sempre sopra l’asse x Giace sempre sotto l’asse x Giace tutto nel primo e quarto quadrante Interseca due volte l’asse Non interseca mai l’asse x

6)La funzione f(x)= ln(x+1): a)Non interseca l’asse x b)È sempre positiva c)È positiva per x>-1 d)È positiva per x>0

7)Qual è il grafico della funzione f(x)= lnx+1 b a 1 2 c d 1

Una trasformazione geometrica nel piano è una corrispondenza biunivoca che associa a ogni punto del piano uno e un solo punto del piano stesso. O x y

Una traslazione è una isometria di equazioni:

In generale se mi sposto in orizzontale di a, ottengo da Come si possono determinare le traslazioni? Che relazione c’è tra equazione della funzione e vettore traslazione? Basta partire da un esempio semplice per capire e poi estenderlo agli altri casi. Consideriamo il seguente esempio. Da y = x (retta blu), vogliamo ottenere la retta rossa traslata di 1 verso destra, osserviamo che essa ha equazione y=x-1 y=x In generale se mi sposto in orizzontale di a, ottengo da 1 y=x-1 y = f(x) , y = f(x-a) -1

y = f(x) , y = f(x)+b Operiamo ora una traslazione verso l’alto. Da y = x passiamo a y=x+1 In generale se mi sposto in verticale di b, ottengo da y = f(x) , y = f(x)+b y=x+1 1 y=x y = f(x) , y = f(x)+b

Attenzione: y = f(x+5) traslazione di 5 a sinistra y = f(x-8) traslazione di 8 a destra Y = f(x)+5 traslazione verso l’alto di 5 y = f(x)-8 traslazione verso il basso di 8

1)Qual è il grafico della funzione -1 a b c

2)Qual è il grafico della funzione 1 -1 a c b

3)

Non è biettiva È biettiva

-1

4)Il grafico qui rappresentato corrisponde alla funzione: b c d 2 e

La risposta esatta è la e. 1 2 1 La risposta esatta è la e.

5) Il grafico della Giace sempre sopra l’asse x Giace sempre sotto l’asse x Giace tutto nel primo e quarto quadrante Interseca due volte l’asse x Non interseca mai l’asse x

La risposta esatta è la c 1 3 La risposta esatta è la c

6)La funzione f(x)= ln(x+1): a)Non interseca l’asse x b)È sempre positiva c)È positiva per x>-1 d)È positiva per x>0

La risposta esatta è la d Traslazione verso sinistra di 1 -1 La risposta esatta è la d

7)Qual è il grafico della funzione f(x)= lnx+1 b a 1 2 c d 1

La risposta esatta è la b y=lnx y=lnx+1 1 1 La risposta esatta è la b

GOTTFRIED WILHELM VON LEIBNIZ 1646 – 1716

ISAAC NEWTON 1643- 1727

Grazie e in bocca al lupo!