Rappresentazione grafica delle equazioni di I e II grado Prof.ssa Oriana Pagliarone

ax=b2 ax=bc x2=c x2+bx=c (area) x2+bx=c (segmento) x2+10x=39 x2+c=bx (segmento) x2+1400=90x x2+c=bx (area) x2+21=10x x2-bx=c (area) x2-3x=10 x2-bx=c (segmento)

ax=b2 b a 2 b2 2 t ax X t

ax = bc bc ax c a b X x = AE o DE=ML DO=MN I triangoli DEO e MNL sono uguali I parallelogrammi DELM e DONM sono equivalenti( DOLM in comune) Il rettangolo DEFG è equivalente al parallelogramma DELM (stessa base DE e stessa altezza DG) Il rettangolo MNHG è equivalente al parallelogramma DONM (stessa base MN e stessa altezza MG) I rettangoli DEFG e MNHG sono equivalenti bc = ab + MNHG = ab + DEFG = ax x = AE c a M A N b bc ax L X o H D G E F

X2 = C AH=1 HD = C B BH2= AH ∙ HD X2 = 1 ∙ C X =±√C X C 1 A D H D

x2+bx-c=0 52 X=3 5x 5x X2 x2+bx=c esempio x2+10x-39=0 aggiungo 52 8 5 52 X=3 5 5x e ora ……… 8 X2 3 5x

Ora possiamo anche costruire il rettangolo di area 39 x2+10x = 39 Sapendo che x=3 e che x(x+10)=39 9 39 30 10 3 Abbiamo costruito il rettangolo di area 39

x2+bx=c b>0,c>0 x2 + bx = c x2 + bx + b2/4 = b2/4 + c (trascurando la soluzione negativa -b/2 - √(b2/4 + c)) x = -b/2 + √(b2/4 + c) E ora la costruzione geometrica ….

x2+bx = c r r x2 x 2 + bx = c x x = √(b2/4+c) – b/2 Costruisci il quadrato di lato √(b2/4+c) b/2 x Costruisci il quadrato di lato b/2 L’area in giallo è = b2 /4 +c – b2 /4 = c x = √(b2/4+c) – b/2 Sposta il rettangolo r r L’area totale del quadrato e dei due rettangoli gialli è sempre c Per cui c = x(b/2) + x2 + x(b/2) = x(b/2 + x + b/2)= = x(b+x) = x2 + bx x 2 + bx = c r x2

x2+c=bx x2+1400=90x 90 E 70 D 20 M B A AB=90 F C Scompongo AB in AD=70 e DB=20 in modo che AD ∙ DB = 1400 e costruisco DF=√1400 Costruisco M punto medio di AB AM=MB=45 e in M costruisco MC=DF MD=MB-DB=45-20=25 EM=MD=25 AE=20 EC=√(1400+625)=√2025=45 EC=CD=45=AB/2 E e D sono le intersezioni di AB con la circonferenza di raggio AB/2 e centro C F C Quindi : Costruisco AB=90,il punto medio M, costruisco in M perpendicolarmente il segmento MC =√1400 Costruisco la circonferenza di raggio AB/2 e centro C Costruisco le intersezioni E e D della circonferenza con AB AD e DB sono le soluzioni

x2+1400=90x 70 20 X2 20 1400 = 20 ∙ 70 x 90 X=20 1° soluzione

x2+1400=90x 20 70 x2 70 70 1400 X=70 2° soluzione

x2+c=bx Soluzione b>0, c>0 x2 – bx = -c x2 – bx +b2/4 = b2/4 –c Costruiamo geometricamente le soluzione

x2+c=bx P T H L K B A --------- c ---------- E 1 M D Costruire AB=b e traslare PL =√c in MT con M punto medio di AB Tracciare la circonferenza di raggio b/2 e centro T che interseca in E e D il segmento AB Con centro nel punto medio di HK tracciare la circonferenza di diametro HK A distanza unitaria dal punto H tracciare il segmento LP la cui misura sarà √c EM = √(b2/4-c) x1 = b/2 - √(b2/4-c) = AM-EM = AE x2= b-x1 = AB-AE = EB AE e EB sono le soluzioni

x2+c=bx x2+21=10x Soluzione b>0, c>0 x2 – bx = -c x2 – bx +b2/4 = b2/4 –c (x-b/2)2= b2/4 –c x-b/2 = ±√(b2/4 –c) x = b/2 ±√(b2/4 –c) costruiamo geometricamente le soluzione per b=10 c=21 x2 +21 =10x x=5±2=3 x1=3 x2 =7

21 x X2 --------10-------- X2+21=10X X Costruzione di x2 +21=10x Costruiamo il quadrato di lato 5 Costruiamo il quadrato di lato 2 Togliendo il quadrato di lato 2 al quadrato di lato 5 si ottiene una figura di area 25-4= 21 x 2 2 Spostiamo il rettangolo x(5-x) Aggiungiamo il quadrato di x 5-x 21 X2 X 5 --------10-------- X2+21=10X

x2+21=10x x2 x=3 X E ora la 2a soluzione x=7 10x-x2=21 -10x+x2=-21 Vediamo ora 5-x=2 x=3 Costruendo il quadrato di lato 5 e togliendo il quadrato di lato (5-x), si ottiene il rettangolo x(5-x) di lato x cercato 5-x 5-x X 5-x x2 x 5 5-x x 10 E ora la 2a soluzione x=7

x2+21=10x 21 x x X-5 10-x X-5 X-5 X-5 5 x 10-x 10 2° soluzione Semplificando …. X-5 X-5 X-5 5 x 10-x 10

semplificando Disegniamo il quadrato di area 4 che è il quadrato di x-5, aggiungendo il segmento di lunghezza 5 otteniamo x =2+5 =7 4 X-5 5 x

x2+c=bx Soluzione b>0, c>0 x2 – bx = -c x2 – bx +b2/4 = b2/4 –c Costruiamo geometricamente le soluzione

C x X2 ---------b--------- X2+c=bX X In generale: costruiamo X=b/2-√((b2/4)-c) Costruiamo il quadrato di lato b/2 Costruiamo il quadrato di lato √((b2/4)-c) Togliendo il quadrato di lato √((b2/4)-c) al quadrato di lato b/2 si ottiene una figura di area b 2/4 –(b 2 /4 -c)= c X=b/2-√((b2/4)-c) x Spostiamo il rettangolo x(b/2-x) √((b2/4)-c) Aggiungiamo il quadrato di x b/2-x C X2 X b/2-x x b/2 ---------b--------- X2+c=bX

C x2 +c = bx x x -----------------b---------------- Costruiamo x=b/2+√(b2/4 –c) Costruiamo il segmento √(b2/4 –c) Costruiamo il quadrato di lato b/2 L’area gialla è = b2 /4 –(b2 /4 –c)=c Costruiamo il quadrato di lato √(b2/4 –c) X= b/2 + √(b2/4 –c) -------------X------------- Costruiamo il quadrato di x √(b2/4 –c) Spostiamo c trasformandolo nel rettangolo r1 + r2 √(b2/4 –c) X- √(b2/4 –c) =b/2 X+b/2 - √(b2/4 –c) = b/2+b/2=b C r1 r1 x r2 x2 +c = bx r2 b/2 x b/2-√(b2/4 –c) -----------------b----------------

x2-bx=c x2-bx=c con b>0 , c>0 x2-bx+b2/4=b2/4+c essendo √(b2/4+c) > b/2 la soluzione x = b/2 - √(b2/4+c) è negativa e la scartiamo per la rappresentazione grafica

C x2-bx=c 1 -------------- x ---------------- x x = b/2 + √(b2/4+c) Costruisci il quadrato di lato √(b2/4+c) C Costruisci il quadrato di lato b/2 b/2 x Prolunga il lato del primo quadrato di un segmento lungo b/2 1 x = b/2 + √(b2/4+c) La zona gialla ha area c: infatti b2/4+c –b2/4 = c b/2 x – b = b/2 + √(b2/4+c) –b/2 –b/2= = √(b2/4+c) –b/2 Il rettangolo giallo di area x(x-b) = c è quello cercato

10 X2-3x=10 r x x2 -3x =10 x(x-3)=10 5∙2=10 x ----------7/2 ---------- 3/2 Ripeti la dimostrazione precedente nel caso particolare b=3 c=10 10 3/2 2 Costruisci il quadrato di lato √(b2/4+c)= √(32/4+10) = √49/4= 7/2 Costruisci il quadrato di lato b/2=3/2 La differenza delle aree dei due quadrati è 49/4 -9/4=40/4 =10 ( l’area della zona gialla) r x Aggiungi il segmento b/2=3/2 X = b/2 + √(b2/4+c) = = 3/2 + √(3 /4+10) = = 3/2 + 7/2 = 10/2 = 5 x – b = 5-3 = 2 x2 -3x =10 x(x-3)=10 5∙2=10

x2-3x=10 10 =5 x x x-3 2 3 x(x-3) = 10 x (x-3) = 5∙2 x=5 Una soluzione ingenua……. x2-3x=10 x(x-3) = 10 x (x-3) = 5∙2 x=5 x x =5 10 x-3 2 3

49/4 x x2-3x=10 x2-3x + 9/4=10+9/4 (x-3/2)2=49/4 (x-3/2)2=(7/2)2 costruiamo il quadrato di area 49/4 , aggiungiamo al lato 3/2 ,otteniamo x 49/4 7/2 3/2 x-3/2 x

x2-bx=c x2-bx +b2/4= b2/4 +c (x-b/2)2 = b2/4 +c x-b/2 =± √(b2/4 +c) x=b/2 + √(b2/4 +c) e allora… La soluzione x= b/2- √(b2/4 +c) è negativa

x2-bx=c P T √(b2/4+c) √c H L B K D E A --------- c ---------- M 1 b Costruire AB=b e traslare PL =√c in AT M punto medio di AB Tracciare la circonferenza di raggio TM= √(b2/4+c) e centro M che interseca in E e D il prolungamento del segmento AB Con centro nel punto medio di HK tracciare la circonferenza di diametro HK A distanza unitaria dal punto H tracciare il segmento LP la cui misura sarà √c TM = √(b2/4+c) = MD AM= b/2 AD = b/2 + √(b2/4+c) x1 = b/2 + √(b2/4+c)=AD AD è la soluzione positiva

x2+bx=c b>0,c>0 x2 + bx = c x2 + bx + b2/4 = b2/4 + c (trascurando la soluzione negativa -b/2 - √(b2/4 + c)) x = -b/2 + √(b2/4 + c) E ora la costruzione geometrica ….

x2+bx=c P T √(b2/4+c) √c H L B K D E A --------- c ---------- M 1 b Costruire AB=b e traslare PL =√c in AT M punto medio di AB Tracciare la circonferenza di raggio TM= √(b2/4+c) e centro M che interseca in E e D il prolungamento del segmento AB Con centro nel punto medio di HK tracciare la circonferenza di diametro HK A distanza unitaria dal punto H tracciare il segmento LP la cui misura sarà √c TM = √(b2/4+c) = MD BM= b/2 BD = √(b2/4+c) - b/2 x1 = √(b2/4+c)- b/2 = BD BD è la soluzione positiva

Animazione flash ax=b2 Animazione flash ax=bc Animazione flash x2=c Animazione flash x2+bx=c Animazione flash x2+c=bx Animazione flash x2+21=10x Animazione flash x2 -3x=10