Il V postulato di Euclide e la nascita delle geometrie non euclidee Il quinto postulato: indipendenza dai precedenti nella formulazione euclidea e punto di partenza per la costruzione di geometrie non euclidee. Liceo Scientifico Statale G.Sulpicio Veroli (FR) A.S. 2000/2001 DIDATTICA@EDSCUOLA.COM a cura di Umberto Tenuta

Per due punti passa una ed una sola retta Gli “Elementi” di Euclide (300 a.C.) fondano la geometria del piano su cinque postulati che possiamo così riassumere: Per due punti passa una ed una sola retta Ogni retta può essere prolungata indefinitamente Si può descrivere un cerchio con qualunque centro ed ogni distanza Tutti gli angoli retti sono uguali Dato un punto P esterno ad una retta, per esso passa una ed una sola parallela alla retta data

Assioma della parallela Il quinto postulato (che nella sua versione originale è enunciato nella nota informativa) afferma: se due rette non si intersecano (sono cioè parallele), allora la somma degli angoli coniugati interni che esse formano con una trasversale è un angolo piatto. L’assunzione del V postulato equivale logicamente ad ammettere l’assioma della parallela, così come è comunemente formulato: in un piano, per un punto esterno ad una retta passa una ed una sola retta parallela a quella data.

L’indipendenza del V postulato Euclide “è costretto” ad introdurre il V postulato (che è alla base di alcuni teoremi fondamentali), che, pur coerente col senso comune, non presenta quel carattere costruttivo ed evidente dei primi quattro; la sua proposizione inversa è dimostrata a partire dagli altri assiomi. Tale assioma nel corso dello sviluppo successivo del pensiero matematico, non sembra evidente in se stesso, e molti matematici nel corso degli anni furono portati a tentare di dimostrare che dipendesse dai primi quattro. Dopo Euclide, sorsero allora spontanee le domande sulla dipendenza o meno dagli altri postulati del V. Fu solo nel XIX secolo (anni tra 1830-1860) a partire dai lavori di Bolyai, Gauss, Lobačeviskij che il problema trovò una soluzione definitiva.

Geometrie non euclidee Il postulato delle parallele (V postulato) afferma sia l’esistenza che l’unicità della parallela ad una retta data passante per un punto esterno. Nella geometria di Lobačeviskij si mostra che si possono costruire geometrie in cui non vale l’unicità: “per un punto P non appartenente ad una retta r si può condurre più di una parallela alla retta data (modello di Klein); Nella costruzione geometrica proposta da Riemann (geometria sferica) non vale l’esistenza: “per un punto P non appartenente ad una retta r non si può condurre alcuna parallela alla retta data.

Modello di Klein B Q A C M P Sia C un cerchio privato della circonferenza, i “punti” sono i punti di tale cerchio, mentre le “rette” siano le corde della stesso cerchio. Considerando la retta AB, un punto M fuori da essa, esistono infinite rette passanti per M che non intersecano AB, che sono rappresentate da tutte le corde per M e per C dell’arco AP e BQ.

Modello di Riemann Nel modello di Riemann come enti primitivi consideriamo il piano  costituito da tutti i “punti” P di una qualunque superficie sferica; P, il “punto” costituito da una coppia di punti simmetrici della sfera rispetto al centro appartenenti alla superficie sferica, la “retta” R che è la circonferenza di raggio massimo. In queste condizioni data la retta R ed un punto P esterno ad essa non si può trovare nessuna retta R’ passante per P e parallela ad R.

Osservazioni conclusive Sia la geometria di Klein che quella di Riemann soddisfano tutti gli altri postulati, tranne il quinto postulato di Euclide. Ricordiamo, inoltre, che se una teoria ha un modello, ogni teorema della teoria è vero nel modello. Nel modello di R. come in quello di K. valgono il i primi quattro postulati, se per assurdo dico che il quinto si ricava dai primi quattro questo deve valere anche nel modelo di R e di K. . In questi termini la geometria di Euclide appare contraddittoria poiché nei modelli descritti valgono contemporaneamente le condizioni logiche V (vero) e F (falso), circa il quinto postulato. Se vogliamo che la geometria di Euclide non sia contraddittoria, il V postulato non si può pensare dipendente dai primi quattro (esaustione).

Mutamenti nel pensiero matematico La scoperta dei modelli di K. e di R. portarono, tra l’altro, ai seguenti mutamenti nel pensiero matematico: fu risolto il problema millenario delle parallele; furono scoperte le geometrie non euclidee; si passò dal concetto classico di assioma = ”relazione o proprietà evidente” al principio di non contraddittorietà.

Classificazione delle Geometrie Non vi è più una sola geometria, ma più geometrie la cui adeguatezza va ricercata nella propria coerenza logica interna più che nella capacità di descrivere la realtà fisica. Questioni quali la non contraddittorietà degli assiomi, la loro indipendenza, la possibilità di implementare modelli, si trovano al centro della ricerca matematica moderna. Nicola.Monforte

POSTULATI () Risulti postulato: che si possa condurre una linea retta da qualsiasi punto ad ogni altro punto. E che una retta terminata (=finita) si possa prolungare continuamente in linea retta. E si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro ed ogni distanza (=raggio) E che tutti gli angoli retti siano uguali tra loro E che se una retta venendo a cadere su due rette forma gli angoli interni e dalla stessa parte minori di due retti, le due prolungate illimitatamente verranno ad incontrarsi da quella parte in cui sono gli angoli minori di due retti.

Una sistemazione definitiva all’argomento viene data da Felix Klein (1849 – 1925), il quale classificò le geometrie in tre classi fondamentali: Geometria euclidea, è la geometria delle superfici a curvatura nulla, in essa vale l’assioma dell’esistenza e dell’unicità della parallela; la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale ad un angolo piatto; Geometria sferica, è la geometria delle superfici a curvatura positiva (Riemann), in essa non esistono rette parallele, la somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di un angolo piatto; Geometria iperbolica, è la geometria delle superfici a curvatura negativa (Lobacevskij), per un punto esterno ad una retta vi sono più parallele; la somma degli angoli interni di un triangolo è minore di un angolo piatto.