Calcolo Combinatorio

Disposizioni e permutazioni Sia A= { a,b,c,d}. Tutte le sigle di due elementi che si possono formare con gli elementi di A sono: aa ab ac ad ba bb bc bd ca cb cc cd da db dc dd 4X4=16 sigle di due elementi (disposizioni di classe 2 di 4 elementi)

Tutte le sigle di 3 elementi che si possono formare con gli elementi di A sono aaa aab aac aad aba abb abc abd aca acb acc acd ada adb adc add baa bab bac bad …………………. dda ddb ddc ddd 4X4X4=64 sigle di tre elementi (disposizioni di classe 3 di 4 elementi)

Sia B={1,2,3} Tutte le sigle di 3 elementi che si possono formare con gli elementi di B sono 111 112 113 121 122 123 131 132 133 211 212 213 221 222 223 231 232 233 311 312 313 321 322 323 331 332 333 3x3x3=27 sigle (disposizioni di classe 3 di 3 elementi)

Definizione generale di disposizione di classe r di n elementi Sia S un insieme finito di n elementi, cioè S={a1, a2,…, an} . Si dice disposizione di classe r (o a r a r) estratta da S (di n elementi), una qualunque r-pla ordinata del tipo (ak1, ak2,…, akr), k1,k2,…,kr{1,2,…,n} di elementi non necessariamente distinti di S. Due qualunque di tali r-ple sono diverse non solo quando c’è almeno un elemento che è presente in una e non nell’altra, ma anche se, essendo le due r-ple costituite dai medesimi elementi, è però diverso l’ordine secondo cui essi sono disposti.

Il numero delle disposizioni di classe r di un insieme di n elementi è uguale a D(n,r)=nr. Dim: Per formare una di queste disposizioni, ciascuno degli r elementi si possono scegliere in n modi diversi. Ogni scelta si può associare con una qualsiasi delle rimanenti r-1 scelte, e così via. Perciò si hanno in tutto n.n. … .n= nr modi diversi per costruire tali disposizioni.

Esempio Calcolare: in quanti modi si possono presentare le facce di due dadi e quante sono le coppie formate da due numeri dispari, in quanti modi si possono presentare le facce di tre dadi e quante sono le terne formate da tre numeri dispari. Sol: A={1,2,3,4,5,6} D(6,2)=62=36 B= {1,3,5} D(3,2)= 32=9 b) A={1,2,3,4,5,6} D(6,3)=63=216 B= {1,3,5} D(3,3)= 33=27

Esempio Una colonna della schedina del Totocalcio è una disposizione di classe 13 estratta da S={1,x,2}. Quindi D(3,13)=313. Esempio Si devono disporre r palline in n scatole distinte in tutti i modi possibili. Per ognuna delle r palline può essere scelta una qualunque delle n scatole disponibili, e quindi il numero di tutte le possibili distribuzioni delle palline nelle scatole coincide con il numero delle disposizioni di classe r di n elementi, cioè è uguale a nr.

D’(n,r)=n(n-1)(n-2) … (n-r+1). Consideriamo ora una particolare disposizione di classe r di n elementi, con la condizione che i suoi elementi siano tutti distinti. In questo caso si parla di disposizione semplice di classe r di n elementi e si deve richiedere che rn. Ad esempio, (a,b,c) è una disposizione semplice di classe 3 estratta da S={a,b,c,d,e,f} (di 6 elementi), mentre (a,a,b) non è una disposizione semplice. Il numero delle disposizioni semplici di classe r di n elementi (con rn) è uguale a D’(n,r)=n(n-1)(n-2) … (n-r+1).

Dim: Nel formare una di queste disposizioni si può scegliere in n modi diversi il primo degli r elementi che la compongono. Per la scelta del secondo elemento, non è più possibile scegliere quello posto al primo posto, e quindi si hanno solo n-1 possibilità. Così proseguendo, per la scelta dell’r-esimo elemento si hanno ancora n-(r-1) possibilità, e perciò si hanno complessivamente n(n-1)(n-2) … (n-r+1) disposizioni semplici di classe r di n elementi.

Esempio Quanti numeri di 5 cifre, non ripetute, si possono formare con le 10 cifre del sistema di numerazione decimale? Sol: A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 9XD’(9,4)=9.(9.8.7.6)=27.216

Esempio Nel consiglio di amministrazione di una società formata da 10 membri si deve procedere alla elezione di 1 presidente, di 1 vicepresidente e di 1 segretario. In quanti modi è possibile la scelta? Sol.: D’(10,3)=10.9.8=720

Esempio Il numero di modi in cui si possono disporre r palline in n scatole (numerate da 1 a n), in modo che ogni scatola contenga al più una pallina, è uguale al numero delle disposizioni semplici di classe r di n elementi, cioè uguale a n(n-1)(n-2) … (n-r+1). Dato un insieme S di n elementi, una disposizione semplice di classe n estratta da S si dice permutazione di n elementi. Il numero delle permutazioni di n elementi è quindi uguale a n(n-1)(n-2)…2.1=n! (n! n fattoriale)

Osserviamo che per ogni numero naturale n2 si ha n. =n(n-1) Osserviamo che per ogni numero naturale n2 si ha n!=n(n-1)! e quindi, per dare significato a questa formula anche per n=1, si pone 0!=1 (significa che c’è una sola permutazione dell’insieme vuoto). Esempio Sia S={1,2,3} (n=3). Le permutazioni degli elementi di S sono: 123 213 231 321 312 132 ovvero 3!=3.2.1=6

Esempio Calcolare quanti numeri di 5 cifre distinti si possono calcolare con le cifre 1,2,5,7,9. Sol.: P5=5!=5.4.3.2.1=120 Esempio In quanti modi si possono sistemare in una libreria 10 libri di cui 6 di letteratura italiana e 4 di matematica, in un ordine qualsiasi? E se si volessero sistemarli in modo che tutti i libri di una stessa materia siano vicini? Sol.: P10=10!=10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 P6=6!, P4=4! 2.6!.4!

Esempio Una parola di lunghezza r è una qualsiasi successione ordinata di lettere dell’alfabeto. Se l’alfabeto ha n lettere, il numero di parole di r lettere è uguale a nr. In particolare, quelle senza lettere ripetute (r=8, “studiare”) sono in tutto n(n-1)(n-2) … (n-r+1). Gli anagrammi di parole con n lettere distinte (n=4, “rima”, “rami”, “mari”) sono particolari permutazioni e quindi al più n!.

Osserviamo che il numero delle disposizioni semplici di classe r di n elementi, si può scrivere anche sotto questa forma n(n-1)(n-2) … (n-r+1)=[n(n-1)…(n-r+1)(n-r)!]/(n-r)! =n!/(n-r)! Esempio Nel gioco del lotto da un’urna contenente 90 palline numerate da 1 a 90 vengono estratte una dopo l’altra 5 palline. A quante possibili sequenze ordinate può dare luogo l’estrazione? Sol.: Ogni sequenza ordinata corrisponde ad una disposizione semplice di classe 5 di 90 elementi e quindi 90.89.88.87.86=90!/(90-5)!.

Esempio Nelle gare di discesa libera l’ordine di partenza dei 15 migliori sciatori viene determinato per sorteggio. Quanti sono i possibili ordini di partenza? Sol.: Ciascun ordine di partenza corrisponde ad una permutazione dei 15 sciatori. Pertanto il numero dei possibili ordini di partenza è 15!.

Combinazioni Dato un insieme S ={a1, a2,…, an} formato da n elementi, abbiamo considerato gruppi ordinati di elementi estratti da S (disposizioni, disposizioni semplici, permutazioni). Sia ora {a1, a2,…, ar}S un gruppo non ordinato di r elementi, tutti distinti di S (rn). Un tale gruppo prende il nome di combinazione di classe r estratta da S (oppure di n elementi).

C(n,r)=n(n-1)(n-2). … . (n-r+1)/r!=n!/(n-r)!r! . Esempio Sia S={1,2,3,4,5}. Le combinazioni di classe 2 dei 5 elementi dati sono le seguenti {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {3,4}, {3,5}, {4,5}. Il numero delle combinazioni di classe r di n elementi è uguale a C(n,r)=n(n-1)(n-2). … . (n-r+1)/r!=n!/(n-r)!r! . Dim: Ciascuna di esse rappresenta una particolare disposizione semplice di classe r di n elementi. Considerando tutte le sue permutazioni si ottengono ancora delle disposizioni semplici di classe r di n elementi (esattamente r!) formate dagli stessi elementi.

Questo significa che ad ogni combinazione di classe r di n elementi corrispondono r! (diverse) disposizioni semplici di classe r di n elementi, e quindi il numero delle disposizioni semplici di classe r di n elementi si ottiene dal numero incognito delle combinazioni di classe r di n elementi moltiplicato per r!.

Esempio Calcolare quante cinquine si possono estrarre da un’urna che contiene 90 palline numerate da 1 a 90? Sol.: C(90,5)=90!/5!(90-5)!=90.89.88.87.86/120 Esempio In un’azienda vi sono 10 impiegati e 25 operai. Si vuole formare un comitato composto da 2 impiegati e 4 operai. In quanti modi si può formare il comitato? Sol.: C(10,2)=10!/2!(10-2)! modi di scegliere 2 impiegati su 10 C(25,4)=25!/4!(25-4)! modi di scegliere 4 operai su 25 C(10,2)X C(25,4)

Esempio Il numero delle possibili distribuzioni di r palline in n scatole in modo che ogni scatola contenga al più una pallina, ma non considerando diverse fra loro quelle distribuzioni che utilizzano le stesse r scatole (cioè l’ordine delle scatole non conta) è uguale ad n!/r!(n-r)!.