Calcolo delle variazioni Modellistica e Ottimizzazione di Sistemi e Processi Energetici K.D. Bizon

Ottimizzazione in spazi funzionali: il calcolo variazionale Si può generalizzare il concetto di ottimizzazione, costruendo un cosiddetto funzionale, ossia un’espressione a valori in  , l’equivalente concettuale della funzione obiettivo, che dipende non più da un certo numero di parametri di progetto, ma da una o più funzioni incognite. Tali funzionali possono per esempio essere formulati come integrali che coinvolgono una funzione incognita e le sue derivate. L’interesse è per le funzioni estremali: quelle cioè che rendono massimo o minimo il valore del funzionale. Come per i problemi di minimizzazione in spazi a dimensione finita, anche in quest’ambito esistono condizioni necessarie per l’esistenza di estremi, che corrispondono a una condizione di stazionarietà per il funzionale. L’analisi delle piccole variazioni attorno ad una presunta soluzione porta a una condizione necessaria del primo ordine.

I problemi classici di calcolo delle variazioni Tra i grandi problemi passati alla storia della matematica, vale la pena citarne alcuni, oltreché per il loro interesse soprattutto geometrico e fisico, per il ruolo che hanno avuto nello sviluppo del calcolo delle variazioni. Nel problema isoperimetrico ci si chiede quale figura piana o spaziale renda massima l’area o il volume, a seconda della dimensione, a parità di perimetro o di area della superficie che lo racchiude. Un altro problema interessante è quello della ricerca delle geodetiche di una superficie, che sono le curve di minima lunghezza, di estremi assegnati e giacenti su di essa. Per la sfera le soluzioni sono gli archi di cerchio massimo. Il celebre problema della brachistocrona venne posto nel 1696 da Jean Bernoulli. Si tratta della traiettoria prestabilita liscia lungo la quale deve scivolare un punto materiale pesante, con posizioni iniziale e finale assegnate, affinché il tempo impiegato per la discesa sia minimo.

Rampa/galleria più veloce ?

Problema isoperimetrico ? Massimo volume a parità di area di superficie Massima area a parità di perimetro

Geodetiche di una superficie Geodetica è una particolare curva che descrive localmente la traiettoria più breve fra punti di un particolare spazio

Problema della brachistocrona

Calcolo delle variazioni Lo strumento chiave del calcolo delle variazioni classico è l’equazione di Eulero-Lagrange. Nella sua forma più semplice, il calcolo delle variazioni consiste nel minimizzare il cosiddetto integrale d'azione: al variare della funzione y (x) fra tutte quelle che soddisfano le condizioni y (x1) = y1 ed y (x2) = y2 . Si cerca dunque una funzione y = y (x) (x1  x  x2 ) che collega i due punti (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ) e che minimizza l'integrale d'azione I .

Calcolo delle variazioni Nella sua forma più semplice, il calcolo delle variazioni consiste nel minimizzare il cosiddetto integrale d'azione: al variare della funzione y(x) fra tutte quelle che soddisfano le condizioni: y (x1) = y1 ; y(x2) = y2 . Questo appena enunciato si chiama problema fondamentale del calcolo delle variazioni. Si cerca dunque una funzione y = y(x) , (x1  x  x2 ) che collega i due punti (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ) e che minimizza l'integrale I .

Calcolo delle variazioni: l’equazione di Eulero-Lagrange Supponiamo che f sia di classe C1 nelle tre variabili x, y ed y´, e consideriamo le due funzioni y(x) ed Y(x) = y(x)  (x) , entrambe passanti per i due punti (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ), dove  è un parametro. Poiché y(x1) = Y(x1) ed y(x2) = Y(x2) , allora (x1) = (x2) = 0 ; per il resto, la funzione (x) è arbitraria. Il termine (x) rappresenta la variazione di y(x). Noi vogliamo determinare quella y(x) per la quale il funzionale I ha un estremo relativo, e dunque quella y(x) che, comunque perturbata dalla variazione (x), con  piccolo, lascia stazionario il valore del funzionale:

Calcolo delle variazioni: l’equazione di Eulero-Lagrange Calcoliamo quindi la derivata rispetto ad  del funzionale I . Applicando la regola di derivazione delle funzioni composte, si ha: Scomponiamo l’integrale in somma di integrali ed integriamo il secondo per parti:

Calcolo delle variazioni: l’equazione di Eulero-Lagrange Poiché (x1) = (x2) = 0, l’integrale del fattore finito si annulla e dunque, portando  a fattor comune, si ha: Dato che (x) è una funzione arbitraria, l’integrale è nullo se e solo se è identicamente nulla la quantità in parentesi. Di conseguenza, la derivata rispetto ad  del funzionale I si annulla se e solo se y(x) è soluzione dell’equazione (detta di Eulero-Lagrange):

Calcolo delle variazioni: l’identità di Beltrami Se la funzione f è esplicitamente indipendente da x, si può dimostrare che la soluzione del problema variazionale soddisfa una forma particolare dell’equazione di Eulero-Lagrange, detta Identità di Beltrami: dove C è una costante.

Esempio 1: percorso più corto (1)

Esempio 1: percorso più corto (2)

Esempio 1: percorso più corto (3)

Esempio 2: problema della brachistocrona (1)

Esempio 2: problema della brachistocrona (2)

Esempio 2: problema della brachistocrona (3)

Esempio 2: problema della brachistocrona (4)

Esempio 2: problema della brachistocrona (5)

Esempio 2: problema della brachistocrona (8)

Esempio 2: problema della brachistocrona (7)

Esempio 3: galleria più veloce

Problema isoperimetrico (1)

Problema isoperimetrico (2)

Esempio 5: cavo sospeso (1)

Esempio 5: cavo sospeso (2)

Esempio 5: cavo sospeso (3)

Metodi numerici Metodo di Eulero Metodo di Ritz Metodo di Kantorowicz (per più variabili)

Metodo di Ritz (1)

Metodo di Ritz (2)

Metodo di Ritz (3)

Metodo di Ritz: esempio (1)

Metodo di Ritz: esempio (2)

Metodo di Ritz: esempio (3)

Metodo di Eulero (1)

Metodo di Eulero (1)

Metodo di Eulero (3)

Metodo di Eulero: esempio (1)

Metodo di Eulero: esempio (2)

Metodo di Eulero: esempio (3)

Metodo di Eulero: esempio (4)

Metodo di Eulero: esempio (5)