Il progetto dei regolatori Ing. Giuseppe Fedele Dip. Elettronica, Informatica e Sistemistica Università degli Studi della Calabria Email: fedele@si.deis.unical.it

Un sistema di controllo ad anello chiuso deve soddisfare C(s) G(s) H(s) + - R(s) Y(s) E(s) U(s) Un sistema di controllo ad anello chiuso deve soddisfare delle specifiche assegnate nel dominio del tempo e della frequenza: precisione stabilità velocità di risposta

precisione errori a regime in risposta ai segnali tipici sensibilità ai disturbi additivi e parametrici stabilità Intesa in senso lato di “comportamento dinamico soddisfacente” in quanto la stabilità in senso stretto è sempre sottintesa massima sovraelongazione nella risposta al gradino picco di risonanza margini di ampiezza e di fase coefficiente di smorzamento dei poli dominanti velocità di risposta tempo di ritardo tempo di salita tempo di assestamento banda passante

Alcune specifiche sono relative alla risposta a segnali tipici, altri alla risposta armonica; molti dell’uno e dell’altro sono, grosso modo, equivalenti. L’unico modo per porre in relazione, sia pure in modo approssimato, i parametri che riguardano la risposta armonica e quelli che riguardano la risposta a un segnale tipico è ipotizzare che il sistema in retroazione si comporti approssimativamente come un sistema del secondo ordine o comunque abbia un numero limitato di poli dominanti.

E’ un indice di quanto la risposta a regime Errore a regime E’ un indice di quanto la risposta a regime si discosta dal valore desiderato. K G(s) H(s) + - R(s) Y(s) E(s) U(s) Ma:

Da un punto di vista teorico l’obiettivo non può essere mai raggiunto. G(s) H(s) + - R(s) Y(s) E(s) Errore a regime Da un punto di vista teorico l’obiettivo non può essere mai raggiunto. Infatti se per assurdo E(s)=0, allora Y(s)=G(s)E(s)=0 e H(s)Y(s)=0. Per cui E(s)=R(s)-H(s)Y(s)=R(s) contro l’ipotesi che E(s)=0.

Margini di stabilità Più il diagramma di Nyquist di un sistema stabile ad anello aperto si mantiene distante dal punto critico (-1,0), tanto più grande risulterà il margine di sicurezza per la stabilità del sistema ad anello chiuso. Si introducono pertanto due parametri detti margine di guadagno e margine di fase, atti a misurare la stabilità relativa di un sistema di controllo retroazionato.

Rappresenta il massimo aumento di sfasamento in ritardo che può tollerare la funzione d’anello L(s)=G(s)H(s) prima che si raggiunga la condizione di instabilità. Margine di fase G(s) H(s) + - R(s) Y(s) E(s) L’angolo che manca alla fase della funzione d’anello per raggiungere π in corrispondenza della pulsazione di cross-over, cioè della pulsazione in cui il modulo di L(iω) è unitario. Il diagramma polare di L(iω) passa per il punto critico Il diagramma polare di L(iω) contiene il punto critico

Rappresenta di quanto l’ordinata sul Rappresenta il massimo aumento di guadagno che può tollerare la funzione d’anello L(s)=G(s)H(s) prima che si raggiunga la condizione di instabilità. Margine di guadagno G(s) H(s) + - R(s) Y(s) E(s) Rappresenta di quanto l’ordinata sul diagramma di Bode del modulo di L(iω) sta al di sotto dell’asse ω in corrispondenza della pulsazione . Il sistema è stabile

Criterio di stabilità di Bode CNES affinché un sistema retroazionato sia asintoticamente stabile è che il modulo della fdt ad anello aperto L(s), valutato alla pulsazione sia minore dell’unità, ovvero, ragionando in db, minore di 0.

Criterio di stabilità di Bode CNES affinché un sistema retroazionato sia asintoticamente stabile è che la fase della fdt ad anello aperto L(s), valutata alla pulsazione di cross over , per cui il modulo di L(s) risulta unitario, cioè nullo in db, e misurata in senso antiorario, sia in valore assoluto minore di π.

Coefficienti di sensibilità Variazioni parametriche su G

Coefficienti di sensibilità Variazioni parametriche su H

Funzione di sensibilità

Banda passante Dai diagrammi di Bode dei moduli, abbiamo visto tipologie di sistemi come: 1 2 3 1 Sistama PASSA-BASSO Attenua tutte le sinusoidi con ; lascia invariate quelle con . 2 Sistama PASSA-BANDA Attenua tutte le sinusoidi con e . 3 Sistama ARRESTA-BANDA Attenua tutte le sinusoidi con .

Banda passante Si definisce LARGHEZZA DI BANDA l’intervallo di frequenze in cui il modulo della funzione di trasferimento ad anello chiuso non è mai inferiore a 3db del valore che esso assume quando ω=0 rad/sec.

La retroazione aumenta la larghezza di banda (ma diminuisce il guadagno a centro banda). Osservazione:

Banda passante e coefficiente di smorzamento L’unica soluzione accettabile è quella positiva.

Banda passante e coefficiente di smorzamento La banda passante è dunque proporzionale alla pulsazione naturale ed è funzione del coefficiente di smorzamento. Diminuisce all’aumentare del coefficiente di smorzamento.

Banda passante e tempo di salita Abbiamo già visto che il tempo di salita aumenta all’aumentare del coefficiente di smorzamento: Esiste quindi un certo legame tra la banda passante e la prontezza del sistema (intesa come tempo di salita). Più la banda passante del sistema è grande, più il sistema è pronto (cioè i tempi di salita sono piccoli). Esiste una relazione empirica tra tempo di salita e banda passante:

Correlazione tra coefficiente di smorzamento e margini di stabilità G(s) + - R(s) Y(s) E(s) Abbiamo visto che: Pulsazione di risonanza Picco di risonanza Un picco di risonanza elevato, indica la presenza di una coppia di poli dominanti, a ciclo chiuso, con un basso coefficiente di smorzamento, che potrebbero generare una risposta transitoria non desiderata.

Correlazione tra coefficiente di smorzamento e margini di stabilità

Correlazione tra coefficiente di smorzamento e margini di stabilità Altrimenti non inseguirei il segnale di ingresso. Un buon margine di ampiezza assicura un buon coefficiente di smorzamento.

Correlazione tra coefficiente di smorzamento e margini di stabilità Un buon margine di fase assicura un buon coefficiente di smorzamento.

Correlazione tra coefficiente di smorzamento e margini di stabilità Margini di stabilità piccoli W(iω) ha un massimo

Correlazione tra risposta transitoria al gradino e risposta in frequenza per un sistema del secondo ordine G(s) + - R(s) Y(s) E(s) La funzione di trasferimento G(s) assume modulo unitario in corrispondenza della pulsazione In corrispondenza di tale pulsazione, la fase vale Quindi il margine di fase del sistema è

Correlazione tra risposta transitoria al gradino e risposta in frequenza per un sistema del secondo ordine

Non si può mai cancellare Cancellazione SI/NO? Non si può mai cancellare un polo instabile!!!

Reti correttrici Quando il progettista deve soddisfare le specifiche assegnate, deve modificare la configurazione del sistema introducendo, in punti opportuni della catena, reti elettriche di tipo passivo o attivo al fine di migliorare le prestazioni statiche e dinamiche del sistema.

Rete ritardatrice

Rete ritardatrice

Rete ritardatrice Posto: Viene prima il polo e poi lo zero.

Attenuazione alle alte frequenze con Rete ritardatrice Attenuazione alle alte frequenze con sfasamento, praticamente trascurabile Effetto utile:

Rete ritardatrice Per simmetria è centrale rispetto a e , ma poiché la scala è logaritmica:

Rete ritardatrice

Rete ritardatrice Il massimo ritardo di fase che si può ottenere dalla rete è l’angolo che la tangente al cerchio forma con l’asse reale:

Rete ritardatrice Lo stesso risultato si ottiene anche per via analitica:

Tuning pratico della rete Rete ritardatrice Il progetto della rete ritardatrice può praticamente essere eseguito imponendo l’attraversamento ad una pulsazione desiderata senza alterare di troppo la fase. Tuning pratico della rete Dai diagrammi di Bode della fdt di anello L(iω) si calcola la pulsazione ω* a cui corrisponde un margine di fase pari al margine di fase desiderato (φm*), aumentato di un margine di sicurezza (5-10°) per compensare le approssimazioni La rete deve far sì che a questa pulsazione il guadagno d’anello diventi unitario e quindi si impone che il fattore di attenuazione introdotto sia Affinché lo sfasamento della rete non influenzi in modo apprezzabile la pulsazione di attraversamento, si pone Si ricava

Rete ritardatrice Se mettessi lo zero della rete proprio nel punto in cui voglio avere la nuova intersezione, lo sfasamento introdotto dalla rete peggiorerebbe il margine di fase. Posso però spostare lo zero una decade prima del punto che ho scelto in modo che lo sfasamento intervenga prima. Osservazioni:

Rete ritardatrice Osservazioni: L’inconveniente della rete è la riduzione del guadagno alle alte frequenze, cioè della larghezza di banda che si traduce in una risposta transitoria meno pronta.

Rete ritardatrice Formule di inversione L’obiettivo è identificare delle formule per il progetto dei gradi di libertà al fine di assegnare una certa pulsazione di attraversamento e un certo margine di fase desiderati. Dati valori desiderati identificare delle formule per trovare i parametri (α,τ) della rete che alla pulsazione ω= ωc* attenui di M* e sfasi di φ*.

Rete ritardatrice Formule di inversione

Rete ritardatrice Formule di inversione Mentre è facile verificare che il range dei parametri garantisce α<1 e τ>0, per avere α>0, occorre che M* <cos φ*, infatti:

Rete ritardatrice Formule di inversione

Rete ritardatrice Formule di inversione Dati del problema funzione d’anello L(s) pulsazione di attraversamento desiderata ωc* e margine di fase desiderato φm* Algoritmo per il progetto della rete ritardatrice Step1: Calcolare Step2: verificando Step3: Calcolare (α,τ) mediante le formule di inversione.

Errore a regime al gradino unitario minore del 1% Esempio (Rete ritardatrice) G(s) + - R(s) Y(s) E(s) Determinare il valore di K ed i parametri di una rete ritardatrice da inserire in modo da soddisfare le seguenti specifiche: Errore a regime al gradino unitario minore del 1% Margine di fase di circa 45°

Esempio (Rete ritardatrice) G(s) + - R(s) Y(s) E(s)

Esempio (Rete ritardatrice) Verifichiamo la stabilità al variare di K

Esempio (Rete ritardatrice)

Esempio (Rete ritardatrice) Calcoliamo la pulsazione ωc* in cui la fase vale -135° In corrispondenza di ωc* il modulo della funzione di anello vale Si impone quindi che il fattore di attenuazione della rete sia

Esempio (Rete ritardatrice) Si ricava

Sistema non compensato Esempio (Rete ritardatrice) Sistema non compensato

Esempio (Rete ritardatrice) Sistema compensato

Esempio (Rete ritardatrice)

Rete ritardatrice (mfile 1)

Rete ritardatrice (mfile 1)

Rete ritardatrice (mfile 1)

Rete ritardatrice (mfile 1)

Rete ritardatrice (mfile 1)

Rete ritardatrice (mfile 1)

Rete ritardatrice (mfile 2)

Rete ritardatrice (mfile 2)

Rete anticipatrice

Rete anticipatrice Posto: Viene prima lo zero e poi il polo.

Sfasamento positivo; purtroppo il picco di fase è associato ad una Rete anticipatrice Si è introdotta una correzione di guadagno pari a 1/α. Sfasamento positivo; purtroppo il picco di fase è associato ad una amplificazione Effetto utile:

Rete anticipatrice Per simmetria è centrale rispetto a e , ma poiché la scala è logaritmica:

Rete anticipatrice

Rete anticipatrice La rete anticipatrice ha l’effetto di aumentare il guadagno alle alte frequenze e quindi la larghezza di banda del sistema in retroazione. Produce, cioè, uno sfasamento in anticipo che fa sì che il diagramma di Nyquist della funzione d’anello si allontani dal punto critico. Maggiore guadagno complessivo che tende a destabilizzare il sistema anche se consente di ottenere risposte più pronte.

Rete anticipatrice Il massimo anticipo di fase che si può ottenere dalla rete è l’angolo che la tangente al cerchio forma con l’asse reale:

Tuning pratico della rete Rete anticipatrice Vediamo come si effettua la compensazione mediante rete anticipatrice. G(s) + - R(s) Y(s) E(s) Tuning pratico della rete Consideriamo il sistema già visto in precedenza, dove si è posto K=10 per soddisfare la specifica relativa al grado di precisione.

Tuning pratico della rete Si aumenta la pendenza di L(iω) da -40dB/dec a -20dB/dec in prossimità di una pulsazione ω1 situata sufficientemente a sinistra di ωc, in modo da poter prevedere che alla nuova pulsazione di cross-over ωc’, a cui il diagramma del modulo così modificato taglierà l’asse 0dB, la fase si aumentata della quantità sufficiente a garantire il margine di fase richiesto. Rete anticipatrice Tuning pratico della rete Per ω>ωc’ il diagramma del modulo continua a decrescere con pendenza -20dB/dec fino alla pulsazione ω2 di valore tale che ωc’ risulti in posizione intermedia tra ω1 e ω2, dopodiché riprende a decrescere con pendenza -40dB/dec. Tali correzioni si possono realizzare con una rete anticipatrice opportunamente centrata in ωc’ , cioè facendo coincidere la pulsazione ωm a cui la rete fornisce il massimo anticipo di fase con la pulsazione ωc’ a cui si ha il maggior bisogno di incremento di fase per garantire il margine di fase desiderato.

Tuning pratico della rete Rete anticipatrice Tuning pratico della rete Dai diagrammi di Bode della fdt di anello L(iω) si calcola la pulsazione ωc di cross-over ed il margine di fase corrispondente Mφ. Si calcola l’anticipo di fase φm necessario per avere un margine di fase pari a quello desiderato più una quantità di sicurezza: Specifica φm viene sommata alla fase di L(s) in corrispondenza della nuova pulsazione di cross-over ωc’ del sistema compensato e tale fase risulta inferiore a quella valutata in ωc, essendo ωc’ > ωc.

Tuning pratico della rete Rete anticipatrice Tuning pratico della rete Si calcola il valore del parametro α della rete:

Tuning pratico della rete Rete anticipatrice Tuning pratico della rete Dal diagramma si determina la nuova pulsazione di cross-over Si ricavano le costanti di tempo della rete

Tuning pratico della rete Rete anticipatrice Tuning pratico della rete Per la fdt L(s) scelta come esempio, essendo il margine di fase circa 11° e volendo aumentarlo a 45°, si deve scegliere per α un valore da garantire un anticipo di fase di 45°-11°=34°. Si calcola quindi la pulsazione ωc’ imponendo che il modulo di L(iω) in ωc’ valga

Tuning pratico della rete Rete anticipatrice Tuning pratico della rete Si ricavano quindi le costanti di tempo della rete

Rete anticipatrice (mfile 1)

Rete anticipatrice (mfile 1)

Rete anticipatrice (mfile 1)

Rete anticipatrice (mfile 1)

Rete anticipatrice (mfile 1)

Rete anticipatrice (mfile 1)

Rete anticipatrice (mfile 1)