CALCOLO COMBINATORIO: DISPOSIZIONI n = numero dei distinti oggetti considerati (n  1); k = numero degli oggetti scelti dagli n; Scegliere k oggetti significa costituire un gruppo di k oggetti scelti e il gruppo di (n-k) oggetti complementari D(n,k) = numero delle possibili disposizioni (semplici); Dr(n,k) = numero delle possibili disposizioni con ripetizioni; P(n) = numero delle possibili permutazioni di n oggetti; C(n,k) = numero delle possibili combinazioni; Cr(n,k) = numero delle possibili combinazioni con ripetizioni. Disposizioni Criterio di distinzione tra due scelte (o gruppi) di k oggetti: Un gruppo (scelta) di k oggetti si distingue da un altro sempre di k oggetti se è diverso o per almeno un oggetto, oppure per l’ordine nel quale gli oggetti sono riportati. Si hanno: Dr(n,k) = nk, (k  1); D(n,k) = n(n-1)(n-2)···(n-k+1), (1  k  n).

PERMUTAZIONI n = numero dei distinti oggetti considerati (n  1); P(n) = numero delle scelte possibili permutazioni. Criterio di distinzione tra due scelte (o gruppi) costituite dai medesimi n oggetti: Un gruppo (scelta) si distingue da un altro sempre costituito dai medesimi n se è diverso l’ordine nel quale gli oggetti sono riportati. Si ha: P(n) = n(n-1)(n-2)···3·2·1 (n  1). Scriveremo: n! := n(n-1)(n-2)···3·2·1 (n  1). P(n) = D(n,n).

PERMUTAZIONI Anagrammare R O M A Permutazioni di n oggetti di cui k uguali tra loro e i rimanenti (n-k) differenti dai primi ma anch’essi uguali tra loro (1  k  n). Se si indica con P(n: k, (n-k)) il numero delle permutazioni ricercato, realizzando per ciascuna delle permutazioni suddette le permutazioni dei primi k oggetti in ipotesi che sia possibile distinguerli e successivamente realizzando per ciascuna delle permutazioni così ottenute le permutazioni dei secondi k oggetti in ipotesi che sia possibile distinguerli, si otterranno le permutazioni di n oggetti tutti tra loro distinguibili. Si ha dunque: P(n: k, (n-k))•P(k)•P(n-k) = P(n); segue quindi: P(n: k, (n-k)) = P(n)/[P(k)•P(n-k)] = n! / [k!(n-k)!]. Si conviene: 0! = 1.

COMBINAZIONI n = numero dei distinti oggetti considerati (n  1); k = numero degli oggetti scelti dagli n; Scegliere k oggetti significa costituire un gruppo di k oggetti scelti e il gruppo di (n-k) oggetti complementari C(n,k) = numero delle scelte possibili combinazioni. Criterio di distinzione tra due scelte (o gruppi) costituite da k oggetti: Un gruppo (scelta) di k oggetti si distingue da un altro sempre costituito da k oggetti se è diverso per almeno un oggetto. L’ordine nel quale gli oggetti sono riportati è irrilevante. Dalla relazione: C(n,k)·P(k) = D(n,k) Segue: C(n,k) = D(n,k)/P(k) = n(n-1)(n-2)···(n-k+1)/k! (1  k n). Scriveremo: := n(n-1)(n-2)···(n-k+1)/k! (1  k n). Segue: = n!/[k!(n-k)!]

COMBINAZIONI Contare i modi con cui si possono scegliere x=3 caselle da n=9. Contare i modi con cui si possono ottenere x teste in n lanci di una monete. Contare i modi con cui si possono ottenere x “sei” in n lanci di un dado da gioco. Contare i modi con cui si possono scegliere x numeri da novanta (dal numero 1 al numero 90). Dati gli oggetti {1,2,3,4} costruire le 12 disposizioni in classe 2. Dati gli oggetti {1,2,3,4} costruire le 6 combinazioni in classe 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

COMBINAZIONI: PROPRIETÀ Valgono le seguenti proprietà: = ; (a+b)n =

COMBINAZIONI CON RIPETIZIONI n = numero dei distinti oggetti considerati (n  1); k = numero degli oggetti scelti dagli n; Scegliere k oggetti significa costituire un gruppo di k oggetti scelti e il gruppo di (n-k) oggetti complementari Cr(n,k) = numero delle scelte possibili combinazioni con ripetizioni. Criterio di distinzione tra due scelte (o gruppi) costituite da k oggetti: Un gruppo (scelta) di k oggetti si distingue da un altro sempre costituito da k oggetti se è diverso per almeno un oggetto, potendo un oggetto essere presente più volte (massimo k volte). L’ordine nel quale gli oggetti sono riportati è irrilevante. Risulta: Cr(n,k) =

COMBINAZIONI CON RIPETIZIONI Risulta: Cr(n,k) = Non dipendendo il numero delle combinazioni dalla natura specifica degli oggetti si assuma che gli n oggetti a disposizione siano costituiti dai primi n numeri interi naturali: S = {1, 2, …, n}. Una k-upla di numeri scelti da S viene indicata con (x1,x2,…,xk). Non essendo rilevante l’ordine per le combinazioni possiamo pensare i k numeri scelti ordinati in modo non decrescente: x1  x2  …  xk Come si vede si può realizzare anche l’uguaglianza tra i numeri avendo stabilito che sono possibili le ripetizioni. Consideriamo ora la k-upla di numeri (y1,y2,…,yk) definiti come segue: (1) y1 = x1 + 0; y2 = x2 + 1; y3 = x3 + 2; …; yk = xk + k - 1. Tali nuovi numeri saranno tutti distinti: y1  y2  …  yk; inoltre si avrà: yi : 1  yi  n+k-1, i=1,2 …,k. Mediante la (1) a una k-combinazione con ripetizione estratta da S corrisponde biunivocamente una k-combinazione semplice estratta dall’insieme: A= {1, 2, …, n+k-1} Segue quindi: Cr(n,k) = C (n+k-1,k) =