Lezioni di Matematica Corso SIRIO Le “curve di livello” I.T.C. “Cassandro” Barletta Corso SIRIO Lezioni di Matematica Le “curve di livello”

Attraverso l’ elaboratore elettronico il grafico di una funzione di 2 variabili si può costruire: per punti con le “curve di livello”

Le curve di livello sono le linee che si ottengono sezionando la superficie y = f(x;y) con piani paralleli al piano XY x z y

Le curve di livello sono le linee che si ottengono sezionando la superficie y = f(x;y) con piani paralleli al piano XY x z y

Nel piano XY le curve di livello sono rappresentate da un “fascio di curve” z y

In questo esempio le curve di livello sono circonferenze concentriche: y x

Svolgiamo un esempio con i calcoli: z = x2 + y2

Svolgiamo un esempio con i calcoli: z = x2 + y2 Intersechiamo questa funzione con piani paralleli al piano XY. Questi piani hanno equazione: z = k

Si tratta di risolvere il sistema di equazioni: z = x2 + y2 z = k

Si tratta di risolvere il sistema di equazioni: z = x2 + y2 k = x2 + y2 → z = k z = k

Si tratta di risolvere il sistema di equazioni: z = x2 + y2 k = x2 + y2 → z = k z = k Al variare di k, queste sono equazioni di circonferenze con centro nell’ origine e raggio √ k .

Curve di livello ottenute sostituendo a k i valori: 2, 4, 6, 8, 10

Curve di livello ottenute sostituendo a k i valori: 2, 4, 6, 8, 10 x2 + y2 = k

Costruzione in 3-D per punti della funzione z = x2 + y2

Esercizio: Determiniamo alcune linee di livello della funzione: z = x2 + y2 – 10x

Sezioniamo la superficie con piani paralleli al piano XY, risolvendo il sistema: z = x2 + y2 – 10x z = k

Sezioniamo la superficie con piani paralleli al piano XY, risolvendo il sistema: z = x2 + y2 – 10x z = k k = x2 + y2 – 10x z = k

Le sezioni ottenute hanno equazioni: k = x2 + y2 – 10x Al variare di k, queste sono equazioni di circonferenze con centro nel punto α = - a/2 β = - b/2

Le sezioni ottenute hanno equazioni: k = x2 + y2 – 10x Al variare di k, queste sono equazioni di circonferenze con centro nel punto C (5; 0)

Le sezioni ottenute hanno equazioni: k = x2 + y2 – 10x Al variare di k, queste sono equazioni di circonferenze con centro nel punto C (5; 0) e aventi raggio: r = √ α2 + β2 – c

Le sezioni ottenute hanno equazioni: k = x2 + y2 – 10x Al variare di k, queste sono equazioni di circonferenze con centro nel punto C (5; 0) e aventi raggio: r = √ 25 + k .

r = √ 25 + k Dovendo essere: 25 + k ≥ 0 quindi: k ≥ - 25

r = √ 25 + k Dovendo essere: 25 + k ≥ 0 quindi: k ≥ - 25 Le curve di livello non esistono se k < - 25

Curve di livello ottenute sostituendo a k i valori: -25, -20, -15, -10, -5, 0

Curve di livello ottenute sostituendo a k i valori: -25, -20, -15, -10, -5, 0

Curve di livello ottenute sostituendo a k i valori: -25, -20, -15, -10, -5, 0 Per k = -25 si ha il punto (5; 0)

Esercizio: Determiniamo alcune linee di livello della funzione:

Sezioniamo la superficie con piani paralleli al piano XY, risolvendo il sistema:

Sezioniamo la superficie con piani paralleli al piano XY, risolvendo il sistema:

Sezioniamo la superficie con piani paralleli al piano XY, risolvendo il sistema:

Sezioniamo la superficie con piani paralleli al piano XY, risolvendo il sistema:

Sezioniamo la superficie con piani paralleli al piano XY, risolvendo il sistema:

Le sezioni ottenute hanno equazioni: x2 + y2 – 6kx + 4 = 0 Al variare di k, queste sono equazioni di circonferenze con centro nel punto α = 3k β = 0

Le sezioni ottenute hanno equazioni: x2 + y2 – 6kx + 4 = 0 Al variare di k, queste sono equazioni di circonferenze con centro nel punto α = 3k β = 0 C (3k; 0)

Le sezioni ottenute hanno equazioni: x2 + y2 – 6kx + 4 = 0 Al variare di k, queste sono equazioni di circonferenze con centro nel punto α = 3k β = 0 C (3k; 0) e raggio: r = √ 9k2 - 4

r = √ 9k2 - 4 Dovendo essere: 9k2 - 4 ≥ 0 quindi:

r = √ 9k2 - 4 Dovendo essere: 9k2 - 4 ≥ 0 quindi: k ≤ - 2/3 v k ≥ 2/3

r = √ 9k2 - 4 Dovendo essere: 9k2 - 4 ≥ 0 quindi: k ≤ - 2/3 v k ≥ 2/3 Le curve di livello non esistono se -2/3 < k < 2/3