La Geometria di Descartes

Problemi risolvibili con la regola di Cardano Le equazioni di terzo grado in cui manca il termine di secondo grado(z3=± pz+q) possono essere risolte mediante una particolare regola, la regola di Cardano. Queste equazioni possono essere risolte anche supponendo un cerchio NQPV i cui archi NQP e NVP sono divisi in tre parti uguali. La somma di NQ, cioè la corda sottesa alla terza parte di NQP, e NV, cioè la corda sottesa alla terza parte di NVP, corrisponde alla radice dell’equazione. Questo metodo può essere utilizzato per risolvere anche le equazioni che vanno fino al quadrato del quadrato.

Problemi solidi I problemi solidi non possono essere costruiti senza che si utilizzi qualche linea più composta della circonferenza. Questi sono riducibili a due costruzioni: Una in cui si richiedono insieme i due punti che determinano due medie proporzionali tra due linee date; Un’altra in cui si richiedono i due punti che dividono in tre parti uguali un arco dato. Le curvature delle coniche, dato che dipendono sempre da due elementi diversi, possono servire anche a determinare due differenti punti.

Per questa ragione è impossibile che problemi che sono di un grado più composti di quelli solidi e che presuppongono di trovare quattro medie proporzionali o la divisione di un angolo in cinque parti uguali possono essere costruiti utilizzando queste coniche. Per costruire, quindi, tali problemi bisogna utilizzare la curva che si descrive mediante l’intersezione di una parabola con una retta.

Problemi ridotti ad un’equazione di sesto grado Alcuni problemi possono essere risolti riconducendoli all’equazione: y6-py5+qy4-ry3+syy-ty+u=0 in cui la quantità q sia maggiore del quadrato della metà di quella p. Dal grafico si può vedere che la parabola con la circonferenza si intersecano in tanti punti quante sono le radici dell’ equazione.

In questo modo le perpendicolari condotte da tali punti sulla retta, come CG, NR, QO, saranno le radici cercate.

Medie proporzionali Se vogliamo trovare quattro medie proporzionali tra le linee a e b, cioè quattro segmenti x,y,z,k, posto x per la prima abbiamo: a:x = x:y = y:z = z:k = k:b Risolvendo queste proporzioni si otterrà: x5-a4b=0

Come si può notare dal disegno la circonferenza taglia la parabola nei due punti C ed N: da questi punti si conducono le perpendicolare NR e CG, togliendo poi dalla maggiore CG la minore NR, il resto sarà x, cioè la prima delle quattro medie proporzionali cercate.