Sistema di riferimento sulla retta I punti di una retta orientata, una volta fissato un segmento di lunghezza unitaria, sono in corrispondenza biunivoca con i numeri reali. Se a è il numero associato al punto P, questa corrispondenza si evidenzia scrivendo P(a) e si dice che P ha ascissa a. u A (-3) B (+2) C (+ ) 9 2 A −3 +2 9 2 B O C +

Sistema di riferimento sulla retta Un segmento sulla retta è individuato dai suoi punti estremi. u Il segmento AB è individuato dai punti B(+6) e BA(+ ) 3 2 O +6 3 2 A B r + Per trovare la misura di AB (si indica con AB): AB = OB – OA = (+6) – (+ ) = 6 − = 3 2 9 ascissa di B di A

AB = |xA – xB| = |xB – xA| Sistema di riferimento sulla retta La misura di un segmento AB si determina calcolando la differenza fra le ascisse dei suoi punti estremi A e B, presi in un ordine qualsiasi, e considerandone poi il valore assoluto in modo da garantire la positività del risultato. Se A(xA) e B(xB), la misura di AB è data dalla relazione AB = |xA – xB| = |xB – xA| ESEMPI Se A(+4) e B(−2), allora AB = |−2 – (+4)| = |+4 – (−2)| = 6 Se A(−3) e B(−8), allora AB = |−8 – (−3)| = |−3 – (−8)| = 5

xA + xB xM = 2 5 +2 − 7 xM = = − 2 Sistema di riferimento sulla retta Il punto medio M di un segmento è il punto per il quale si verifica che AM ≅ MB. M xM xB A B r xA Se A(xA) e B(xB) si ha che: AM = xM – xA e MB = xB − xM Quindi xM − xA = xB − xM , cioè risolvendo rispetto a xM xA + xB 2 xM = Possiamo allora concludere che l’ascissa del punto medio di un segmento AB è data dalla semisomma delle ascisse dei suoi estremi. ESEMPIO Se A(+2) e B(−7), allora +2 − 7 2 xM = = − 5

Sistema di riferimento nel piano I punti del piano cartesiano sono in corrispondenza biunivoca con le coppie ordinate (x, y) di numeri reali. O 1 2 3 4 5 6 -1 s r Consideriamo due rette orientate qualsiasi r e s, incidenti, distinte e perpendicolari. Fissiamo su ciascuna di esse un sistema di ascisse in modo che il punto origine O sia il loro punto di intersezione e supponiamo che l’unità di misura sia la stessa su entrambe le rette.

P(x, y) Sistema di riferimento nel piano Da un punto qualunque P del piano, tracciamo le parallele ad r e s che le incontrano rispettivamente nel punto P’ associato al numero x e nel punto P” associato al numero y. O P’(x) P’’(y) P r s Viceversa assegnati un punto P’ di ascissa x sulla retta r ed un punto P’’ di ascissa y sulla retta s e tracciate da essi le parallele ad s e r, si viene ad individuare come loro intersezione un unico punto P. La coppia ordinata (x, y) di numeri reali rappresenta le coordinate del punto P e si scrive P(x, y)

Sistema di riferimento nel piano asse delle ascisse x y asse delle ordinate L’asse r viene detto asse delle ascisse (asse x) L’asse s viene detto asse delle ordinate (asse y) Questi due assi perpendicolari definiscono un sistema di riferimento cartesiano ortogonale. O I Quadrante x y II Quadrante III Quadrante IV Quadrante Il piano cartesiano viene diviso in quattro quadranti.

Sistema di riferimento nel piano I segni delle coordinate dei punti nel piano cartesiano variano a seconda della posizione del punto. u O x y D (−4, 3) A (3, 2) C (−2, −1) B (2, − ) 7 2

A(−2, 1) ; B(3, 4) AB = √(xB – xA)2 + (yB – yA)2 Segmenti Dati nel piano cartesiano due punti A(xA, yA) e B(xB, yB), la misura del segmento AB è data dalla formula: O x y A B C xA xB yA yB AB = √(xB – xA)2 + (yB – yA)2 ESEMPIO A(−2, 1) ; B(3, 4)

AB = |xB – xA| A(3, 2) ; B(−5, 2) AB = |−5 −3| = 8 Segmenti O x y A B A’ (xA) yA yA = yB B’ (xB) In particolare: se il segmento AB è parallelo all’asse delle ascisse AB = |xB – xA| ESEMPIO A(3, 2) ; B(−5, 2) AB = |−5 −3| = 8

AB = |yB – yA| A(3, −4) ; B(3, 7) AB = |7 − (−4)| = 11 Segmenti O x y A” (yA) xA = xB B” (xB) B se il segmento AB è parallelo all’asse delle ordinate AB = |yB – yA| ESEMPIO A(3, −4) ; B(3, 7) AB = |7 − (−4)| = 11

xA + xB yA + yB xM = yM = 2 Segmenti Dati i punti A(xA, yA) e B(xB, yB), le coordinate del loro punto medio M sono date dalla formula: O x y A A” (yA) B” (xB) B M M” (yM) A’ (xA) M’ (xM) B’ (xB) xM = xA + xB 2 yM = yA + yB ESEMPIO

Isometrie Un’isometria è una funzione che ad ogni punto del piano fa corrispondere un altro punto in modo che a segmenti congruenti corrispondano segmenti congruenti. La simmetria assiale Data una retta r, la simmetria assiale di asse r è la funzione che ad ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P’ in modo che r sia l’asse del segmento PP’; del punto P’ si dice che è il simmetrico di P. In pratica, per trovare il simmetrico di un punto P rispetto a r si traccia da P la perpendicolare a r che la incontra in H e si prende su di essa, da parte opposta rispetto a r, il punto P’ in modo che sia PH ≅ P’H.

Isometrie Simmetrie assiali nel piano cartesiano - Simmetria rispetto all’asse x - Simmetria rispetto all’asse y I simmetrici del punto P(−1, 2) rispetto all’asse x e all’asse y sono P’(−1, −2) e P’’(1, 2). ESEMPIO

Isometrie La simmetria centrale Dato un punto A, la simmetria di centro A è la funzione che ad ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P’ in modo che A sia il punto medio de segmento PP’. In pratica per trovare il simmetrico di un punto P rispetto al centro A si traccia da P la semiretta PA e si prende su di essa, da parte opposta rispetto a A, il punto P’ in modo che sia PA ≅ P’A.

Isometrie Simmetria centrale nel piano cartesiano - Simmetria rispetto all’origine - Simmetria rispetto al punto A(a, b) ESEMPIO Dato il punto P(5, −4): il suo simmetrico rispetto all’origine è il punto P’(-5, 4) il suo simmetrico rispetto ad A(−1, 2) ha coordinate:

Isometrie Dato un segmento orientato v, la traslazione è la funzione che ad ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P’ in modo che il segmento v abbia il primo estremo in P ed il secondo in P’. La traslazione e si scrive Un segmento orientato del piano si chiama anche vettore; un vettore si individua facilmente mediante le sue componenti lungo gli assi cartesiani, che sono i segmenti orientati vx e vy che si ottengono proiettando il vettore v su tali assi o su due rette ad essi parallele; se A(x1, y1) e B(x2, y2) sono rispettivamente il primo e il secondo estremo del vettore, si ha che: Il vettore v = AB con A(3,−1) e B(−2,4) ha componenti vx = −2 − 3 = −5 e vy = 4 + 1 = 5, cioè v (−5, 5), ESEMPIO

P’(−4, −1) Isometrie La traslazione nel piano cartesiano Dato un vettore v di componenti (vx, vy) ed un punto P(x, y) del piano, le coordinate del punto P’ ad esso corrispondente nella traslazione di vettore v si ottengono aggiungendo vx e vy rispettivamente alla sua ascissa e alla sua ordinata: ESEMPIO La traslazione di vettore v(−5, 3) trasforma il punto P(1, −4) nel punto P’ di coordinate: ascissa: 1 − 5 = −4 P’(−4, −1) ordinata: −4 + 3 = −1

La retta I punti che appartengono all’asse x hanno ascissa variabile ma ordinata sempre uguale a zero. equazione asse x: I punti che appartengono all’asse y hanno ordinata variabile ma ascissa sempre uguale a zero. equazione asse y:

La retta Analogamente: L’equazione di una retta parallela all’asse x è: L’equazione di una retta parallela all’asse y è:

coefficiente angolare La retta Per i punti A, B, C, ... che appartengono ad una retta per l’origine O, il rapporto è costante. L’equazione di una retta passante per l’origine. Indicata con m tale costante si ha: o anche: coefficiente angolare

coefficiente angolare La retta L’equazione di una retta non passante per l’origine. In questo caso è il rapporto che si mantiene costante: Una retta di questo tipo ha equazione: coefficiente angolare ordinata all’origine

La retta Significato geometrico di m. rappresenta la pendenza della retta (rispetto all’asse x)

La retta Rette significative passanti per l’origine sono le seguenti: bisettrice del primo e terzo quadrante bisettrice del secondo e quarto quadrante

La retta Significato geometrico di q. Nell’equazione per x = 0 si ottiene y = q Il punto di coordinate (0; q) rappresenta il punto di intersezione tra la retta e l’asse delle y. q si dice ordinata all’origine.

La retta L’equazione generale della retta può essere espressa: in forma esplicita: in forma implicita: ESEMPI L’equazione (forma esplicita) può essere scritta in forma implicita: Viceversa (forma implicita) può essere scritta in forma esplicita:

La retta Nel caso b ≠ 0 le relazioni che legano la forma esplicita a quella implicita sono: e ESEMPIO Data la retta di equazione Il coefficiente angolare è L’ordinata all’origine è Nel caso b = 0 l’equazione diventa: che individua una retta parallela all’asse y. In tal caso non si può definire il coefficiente angolare.

La retta Il grafico di una retta, così come quello di una qualsiasi curva, è costituito da tutti e soli i punti le cui coordinate ne soddisfano l’equazione. Sappiamo che per due punti del piano passa una e una sola retta. Quindi per disegnare la retta di equazione si segue la seguente procedura: scriviamo l’equazione in forma esplicita x 1 −2 y −1 troviamo il primo punto attribuendo il valore 1 alla variabile x: troviamo il secondo punto attribuendo il valore −2 a x:

La retta Per scrivere l’equazione di una retta che passa per un punto P(x0, y0) dato e che ha coefficiente angolare m noto, si usa la formula: ESEMPIO La retta passante per A(2, −3) di coefficiente angolare m = 4 ha equazione: in forma esplicita in forma implicita

La retta Per scrivere l’equazione della retta che passa per i punti A(x1, y1) e B(x2, y2) si usa la formula: ESEMPIO La retta passante per A(1, −3) e B(3, −2) ha equazione Calcolando si ottiene

La retta Date due rette e La condizione di parallelismo è La condizione di perpendicolarità è cioè ESEMPIO La retta r di equazione 3x − 2y + 1 = 0 è parallela alla retta s di equazione 6x − 4y −5 = 0 Infatti La retta r è perpendicolare alla retta t di equazione Infatti

Sistema indeterminato La retta Per studiare la posizione reciproca di due rette: si considera il sistema lineare formato dalle loro equazioni Si possono presentare i seguenti casi: Rette parallele Sistema impossibile Rette coincidenti Sistema indeterminato Rette incidenti nel punto P Sistema determinato

Sistema indeterminato La retta Per studiare la posizione reciproca di due rette: si considera il sistema lineare formato dalle loro equazioni Si possono presentare i seguenti casi: Rette incidenti nel punto P Sistema determinato Rette parallele Sistema impossibile Rette coincidenti Sistema indeterminato

La retta La distanza di un punto da una retta è il segmento di perpendicolare condotto dal punto alla retta. Se P ha coordinate (x0, y0) e ax + by + c = 0 è l’equazione della retta r in forma implicita, è possibile calcolare tale distanza, d (P, r), con la formula: ESEMPIO

I fasci di rette I Fasci di rette Fascio proprio: insieme di tutte e sole le rette che passano per un punto P assegnato. Equazione del fascio: : centro del fascio ESEMPIO Equazione del fascio proprio di centro

I fasci di rette Fascio improprio: insieme di tutte e sole le rette parallele a una retta data. L’equazione di questo fascio ha un coefficiente angolare fisso e un’ordinata all’origine variabile. ESEMPIO Il fascio di rette parallele a quella di equazione ha equazione Al variare di k le rette del fascio hanno tutte lo stesso coefficiente angolare.