Renato Betti – Politecnico di Milano IL BELLO DELLA GEOMETRIA Renato Betti – Politecnico di Milano

Renato Betti – Politecnico di Milano IL BELLO DELLA GEOMETRIA quando egli fissava i cieli, io ero là; quando tracciava un cerchio sull'abisso; (Proverbi 8, 27) Renato Betti – Politecnico di Milano

In R3: ……… In Rn: 4 Il bello della geometria – Roma, 30 0ttobre 2009 Renato Betti – Politecnico di Milano

(?!) In R10: La ipersfera interna esce dell’ipercubo ! 4 Il bello della geometria – Roma, 30 0ttobre 2009 (?!) In R10: La ipersfera interna esce dell’ipercubo ! 4 Renato Betti – Politecnico di Milano

I teoremi di Talete di Mileto Renato Betti – Politecnico di Milano Il bello della geometria – Roma, 30 0ttobre 2009 La geometria è la “misura della terra” La geometria diventa una scienza razionale I teoremi di Talete di Mileto (VI sec. aC)

La geometria è lo studio delle “forme dello spazio” Il bello della geometria – Roma, 30 0ttobre 2009 La geometria è lo studio delle “forme dello spazio” Teorema di Pitagora Esistono solo cinque poliedri regolari convessi (Teeteto, IV aC) Renato Betti – Politecnico di Milano

I solidi platonici etere terra fuoco acqua Il bello della geometria – Roma, 30 0ttobre 2009 I solidi platonici terra fuoco aria etere (modello di universo) acqua Renato Betti – Politecnico di Milano

Teorema di Napoleone Teorema di Morley Il bello della geometria – Roma, 30 0ttobre 2009 Teorema di Napoleone Teorema di Morley Renato Betti – Politecnico di Milano

Forme dello spazio (aspetti qualitativi, geometria) Rapporti quantitativi (calcolo, aritmetica/algebra) Geometria analitica (Descartes, XVII sec.) Algebra geometrica: a

La media geometrica non supera la media aritmetica

isotropia dello spazio Il bello della geometria – Roma, 30 0ttobre 2009 omogeneità e isotropia dello spazio invarianza rispetto alla scelta dell’unità di misura La geometria è lo studio delle proprietà delle forme che sono “invarianti” rispetto alle trasformazioni di un “gruppo” (Felix Klein, 1872) Renato Betti – Politecnico di Milano

qualsiasi è costante (indipendente dal punto) Il bello della geometria – Roma, 30 0ttobre 2009 Due figure F ed F’ sono “equivalenti” (F ~ F’) se esiste una trasformazione t di G che trasforma F in F’: t(F) = F’ L’area del triangolo formato dagli asintoti di un’iperbole e dalla tangente in un punto qualsiasi è costante (indipendente dal punto) Renato Betti – Politecnico di Milano

Il bello della geometria – Roma, 30 0ttobre 2009 Renato Betti – Politecnico di Milano

l’incentro e il circocentro di un triangolo sono Il bello della geometria – Roma, 30 0ttobre 2009 Proprietà delle forme l’incentro e il circocentro di un triangolo sono nozioni simili (= invarianti per similitudine) Renato Betti – Politecnico di Milano

la nozione di baricentro di un triangolo è una nozione affine Il bello della geometria – Roma, 30 0ttobre 2009 Proprietà delle forme la nozione di baricentro di un triangolo è una nozione affine Renato Betti – Politecnico di Milano

regola del momento: a.AN = b.BN Il bello della geometria – Roma, 30 0ttobre 2009 Il baricentro N a b A B regola del momento: a.AN = b.BN a a 2a Renato Betti – Politecnico di Milano

2a a 3a Il bello della geometria – Roma, 30 0ttobre 2009 Renato Betti – Politecnico di Milano

c C E D a b B A F Il teorema di Ceva Il bello della geometria – Roma, 30 0ttobre 2009 a b c A B C E F D Il teorema di Ceva (Giovanni Ceva, Milano 1647 – Mantova 1734) Renato Betti – Politecnico di Milano

Il teorema dei triangoli omologici (Girard Desargues, 1640) Il bello della geometria – Roma, 30 0ttobre 2009 Proprietà delle forme Il teorema dei triangoli omologici (Girard Desargues, 1640) Renato Betti – Politecnico di Milano

Il bello della geometria – Roma, 30 0ttobre 2009 Renato Betti – Politecnico di Milano

Esempio: il teorema di Pitagora è una proprietà simile Il bello della geometria – Roma, 30 0ttobre 2009 La generalità Esempio: il teorema di Pitagora è una proprietà simile Renato Betti – Politecnico di Milano

U=T+S Il bello della geometria – Roma, 30 0ttobre 2009 Renato Betti – Politecnico di Milano

In un triangolo rettangolo, la somma delle aree di due Il bello della geometria – Roma, 30 0ttobre 2009 In un triangolo rettangolo, la somma delle aree di due figure simili costruite sui cateti è uguale all’area della figura, simile alle precedenti, costruita sull’ipotenusa Renato Betti – Politecnico di Milano

La geometria è la scienza del ragionare corretto su figure scorrette Il bello della geometria – Roma, 30 0ttobre 2009 La geometria è la scienza del ragionare corretto su figure scorrette (G. Polya) Grazie per l’attenzione Renato Betti – Politecnico di Milano