Cap. 3 Il piano Cartesiano

Retta e punto Consideriamo una retta r e un punto P su di essa Se la retta è formata da un numero infinito ed illimitato di punti allora se inserisco un punto di fatto la divido in due parti Si viene a formare un nuovo ente che necessita di nome e definizione (che dipenderà strettamente dall’operazione svolta)

Si definisce semiretta ciascuna delle due parti in cui una retta è divisa da un suo punto

Una semiretta si dice orientata se su di essa è stato fissato un Semiretta orientata Una semiretta si dice orientata se su di essa è stato fissato un verso positivo Verso positivo O r Semiretta orientata

Semiretta orientata e graduata Graduare una semiretta orientata significa far corrispondere a ciascun punto della semiretta un valore Assegnare il valore 0 al punto di origine è relativamente semplice Ma per proseguire come si può fare, non posso mettere dei numeri a caso Mi serve un segmento da utilizzare come unità di misura (AC =1) Faccio coincidere l’estremo A con O e dove cade C assegno il valore 1

Si dice che il punto C è l’immagine di 1 Adesso ho uno strumento per assegnare a ciascun punto della semiretta un valore ripetendo consecutivamente l’unità di misura Se la ripeto 2 volte troverò il punto D che sarà l’immagine di 2 3 volte il punto 3 e così via

Corrispondenza biunivoca La corrispondenza biunivoca è una relazione che fa corrispondere a ciascun elemento di un’insieme A (es. i punti di una semiretta) un elemento dell’insieme B (es. i numeri reali) e viceversa (a ciascun elemento dell’insieme B corrisponde un solo elemento dell’insieme A)

Esiste una corrispondenza biunivoca fra i punti della semiretta ed il loro valore

A ciascun punto della semiretta corrisponde un numero reale e ogni numero reale ha la sua immagine in un punto della semiretta

Come ottenere la stessa cosa sul piano Per ottenere una corrispondenza biunivoca fra punti delle retta ed il loro valore è bastata una retta orientata Come possiamo fare la stessa cosa su di un piano? Può bastare una sola retta? Pensate a quante dimensioni ha un piano e a quante ne ha una retta

Il piano cartesiano In realtà, visto che ci troviamo in prima media, non considereremo tutto il piano cartesiano ma solo un quadrante, più che sufficiente per i nostri scopi Prendiamo in considerazione un piano a e due semirette orientate e graduate aventi un origine in comune e perpendicolari fra loro Due semirette sono perpendicolari se formano un angolo di 90° Solitamente si indica con O l’origine delle semirette, con x la semiretta orizzontale e con la y la semiretta verticale Pertanto il riferimento cartesiano è chiamato anche Oxy Se le semirette sono graduate significa che è stata fissata un’unità di misura generalmente (ma non necessariamente) identica per i due assi y x o

Si dice asse delle ascisse l’asse x Si dice asse delle ordinate l’asse y Ma a cosa serve tutto questo? Consideriamo un punto P del piano Dal punto P tracciamo la retta verticale r Questa incontra l’asse x nel punto E r E è l’immagine di 2 e prende il nome di ascissa del punto P Asse delle ordinate Come si vede hanno questo valore tutti i punti della retta r perciò il punto P non può essere individuato solo da questo valore Asse delle scisse

Tracciamo ora la retta orizzontale passante per P (retta s) Mi serve un modo per trovare fra gli infiniti punti che costituiscono la retta r che hanno ascissa E quello che a me interessa cioè P Tracciamo ora la retta orizzontale passante per P (retta s) Essa incontra l’asse y nel punto F Il punto F è l’immagine di 2 sull’asse delle ascisse e prende il nome di ordinata del punto P A questo punto il gioco è fatto, il punto P risulta determinato senza equivoci dai due numeri di cui E ed F costituiscono l’immagine E ed F prendono il nome di coordinate cartesiane del punto P e si scrive P (E;F) oppure P(2;2) r Per convenzione si mette prima il valore dell’ascissa e poi quello dell’ordinata

Una nuova corrispondenza biunivoca Esiste una corrispondenza biunivoca fra i punti del piano e una coppia di coordinate cartesiane Ad ogni punto del piano sorrisponde una sola coppia di coordinate ad ogni coppia di coordinate corrisponde un solo punto del piano

… ma anche gli assi hanno le loro coordinate Consideriamo il punto G Anch’esso fa parte del piano perciò avrà la sua coppia di coordinate L’ascissa è 1 Ripetiamo il procedimento precedente, se tracciamo la retta orizzontale passante per G troviamo il punto O di coordinate (0;0) come si conviene ad un punto che costituisce l’origine degli assi Questo ci porta alla conclusione che tutti i punti situati sull’asse delle ascisse (asse x) avranno l’ordinata 0 Il punto G avrà coordinate (1;0) – ricordiamo che per convenzione si mette prima l’ascissa e poi l’ordinata-

Consideriamo ora il punto H Trovandosi sull’asse y avrà come ascissa la stessa del punto cioè 0 Tutti i punti che si trovano sull’ordinata hanno per ascissa il valore 0 Le coordinate del punto H saranno H(0;4)

Trovare i punti conoscendo le coordinate trovare il punto P (4;2) Dal punto di ascissa 4 (asse x) traccio una retta verticale Dal punto di ordinata 2 (asse y) traccio una retta orizzontale Vedo che si incontrano in un punto Quello è il punto P cercato Punto Q (3;5)