LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO ISTITUTO PROFESSIONALE DI STATO PER I SERVIZI COMMERCIALI TURISTICO E ALBERGHIERI E DELLA RISTORAZIONE “B. STRINGHER”- UDINE LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO a cura dei prof. Roberto Orsaria e Monica Secco

Cosa è un’equazione di secondo grado? Un’equazione di secondo grado è un’equazione in cui l’incognita (usualmente indicata con la lettera x) compare con esponente al massimo pari a 2. Ad esempio sono equazioni di secondo grado: x2-3x=4 4x2-1=0 3x2-2x+4=0

Cosa significa risolvere un’equazione? Significa trovare gli eventuali valori numerici che assegnati all’incognita rendono l’equazione un’uguaglianza sempre vera. Questi valori vengono dette soluzioni o radici dell’equazione.

Quante sono le soluzioni di un’equazione di secondo grado? Un’equazione di secondo grado può avere: 1) due soluzioni reali distinte determinata 2) due soluzioni reali coincidenti 3) nessuna soluzione impossibile 4) infinite soluzioni indeterminata Nei casi 1) e 2) l’equazione si dice determinata, mentre nel caso 3) si dice impossibile e nel caso 4) si dice indeterminata

Cosa si intende per forma normale dell’equazione di secondo grado? Data un’equazione di secondo grado, essa può essere sempre ricondotta, effettuando opportuni passaggi algebrici, alla forma: ax2+bx+c=0 questa è detta “forma normale”. Ad esempio nell’ equazione 4x2=+5x-12, trasportando tutti i termini al primo membro (ricordandosi di cambiarne il segno) otteniamo l’equazione in forma normale: 4x2-5x+12=0

Classificazione delle equazioni di secondo grado In base alla loro forma le equazioni di secondo grado vengono così classificate: equazioni pure: ax2+c=0 equazioni spurie: ax2+bx=0 equazioni complete: ax2+bx+c=0 Le equazioni pure e spurie sono dette anche incomplete

Come si risolve un’equazione pura? Considera l’equazione pura: ax2+c=0 isola il termine con x2: ax2= -c dividi per a: x2= -c/a a questo punto si possono verificare due casi:

10 caso: il termine –c/a è positivo: si può allora estrarre la radice quadrata e si ottengono due soluzioni distinte (una positiva e l’altra negativa) x1,2= ±-c/a 20 caso: il termine –c/a è negativo: in questo caso non si può estrarre la radice quadrata e l’equazione non ha soluzioni reali (è impossibile).

Ad esempio considera l’equazione: 4x2-16=0 isola il termine x2: 4x2 = 16 dividi tutto per 4 e ottieni: x2 = 4 e quindi estrai la radice quadrata di +4 (ricordati che ci sono due soluzioni di segno opposto) x1,2= ± 2

Considera ora l’equazione pura seguente: 2x2+50=0 isola il termine x2 e ottieni: 2x2 = -50 dividi tutto per 2: x2 = -25 osserva ora che al secondo membro dell’equazione hai un numero negativo, per cui non è possibile estrarre la radice quadrata e quindi l’equazione è priva di soluzioni reali, cioè impossibile.

Come si risolve un’equazione spuria? Consideriamo l’equazione spuria ax2+bx=0 raccogli a fattor comune la x: x(ax+b)=0 applica la legge di annullamento del prodotto (il prodotto di due fattori è nullo se e solo se almeno uno dei due fattori è nullo) e otteni che deve essere: 10 fattore uguale a zero x=0 20 fattore uguale a zero: ax+b=0, da cui x= -b/a

quindi un’equazione spuria ha sempre due soluzioni distinte, di cui una vale sempre zero. Esempio se devi risolvere l’equazione spuria: 3x2+5x=0 devi raccogliere a fattor comune la x: x(3x+5)=0 e così ottieni le due soluzioni: x1=0 e x2= -5/3

Come si risolve un’equazione completa? Per risolvere un’equazione completa ax2+bx+c=0 devi applicare la formula risolutiva seguente: x1,2 = (-b±b2-4ac)/2a Il termine che compare sotto radice viene chiamato discriminante e indicato usualmente con la lettera greca  (delta).

Quale è il ruolo del discriminante? Il discriminante gioca un ruolo molto importante ai fini della determinazioni delle soluzioni dell’equazione. A seconda del suo segno si possono verificare tre casi: 1o caso: >0 in questo caso sotto il simbolo di radice si ha un numero positivo, per cui è possibile estrarre la radice quadrata e si ottengono due soluzioni reali distinte x1,2 = (-b±b2-4ac)/2a

2o caso: =0 se il discriminante è nullo, la radice quadrata è pure nulla e quindi si ottengono due soluzioni reali coincidenti: x1 = x2 = -b/2a 3o caso: <0 se il discriminante è negativo, sotto radice abbiamo un numero negativo e quindi non è possibile estrarre la radice quadrata, per cui l’equazione non ha soluzioni reali (è impossibile)

Esempi 1) Considera l’equazione completa x2+3x+2=0 risulta: a=1 b=3 c=2 calcola il discriminante b2-4ac: = 32-4·1· 2= 9-8=1 esso è positivo per cui l’equazione ammette due soluzioni reali distinte: calcola la radice quadrata del discriminante:  = 1 ottieni allora le due soluzioni: x1= (-3+1)/2= -1 e x2= (-3-1)/2=-2

2) Considera l’equazione completa: x2-10x+25=0 risulta: a=1 b=-10 c=+25 calcola il discriminante: = (-10)2-4· 1· 25= 100-100=0 esso è nullo e quindi l’equazione ammette due soluzioni reali coincidenti: x1=x2= 10/2=5

3) Considera l’equazione completa x2-7x+13=0 risulta: a=+1 b=-7 c=+13 calcola il discriminante: = (-7)2-4· 1· 13= 49 – 52 = -3 <0 il discriminante è negativo e quindi l’equazione non ammette soluzioni reali, cioè è impossibile.