Legge del raffreddamento di Newton

L’obiettivo di questo esperimento era lo studio della temperatura di un oggetto che si raffredda partendo da una temperatura significativamente superiore alla temperatura ambiente, in funzione del tempo. Con un apposito strumento effettuiamo la misura e raccogliamo in una tabella la misura della temperatura in gradi centigradi e il tempo a cui questa misura si riferisce in secondi. Trasferiamo i dati così raccolti in un file EXCEL e registriamo anche la temperatura ambiente in una delle caselle del file. Rappresentiamo in un grafico l’andamento della temperatura in funzione del tempo.

qualche considerazione sul grafico: ha un aspetto ragionevole? fino a quale valore scenderà la temperatura? quale funzione matematica può rappresentare l’evoluzione temporale della temperatura? c’e’ bisogno di trattare i dati in qualche modo?

L’”offset” da sottrarre ai dati è la temperatura ambiente. La discesa della temperatura sembra seguire un andamento esponenziale, ma: la funzione esponenziale negativa ha 0 come limite, mentre il limite dei nostri dati è la temperatura dell’ambiente circostante (in generale diversa da 0). Excel non è in grado di aggiungere un “offset” alla funzione esponenziale. L’”offset” da sottrarre ai dati è la temperatura ambiente. Nella colonna C calcoliamo la differenza di temperatura DTamb tra il corpo in esame e l’ambiente e riportiamola in un grafico. Se, per t  ∞, la temperatura del corpo tende alla temperatura ambiente, ci possiamo aspettare che, per t  ∞, DTamb tenda a 0.

Possiamo ipotizzare che, se avessimo continuato a prendere misure, la differenza di temperatura sarebbe arrivata a 0. E’ possibile verificare l’andamento esponenziale secondo una legge del tipo: Y = A e –kt e determinare anche i valori di A e di k che consentono di rappresentare meglio i dati.

Questa funzione esponenziale sembra rappresentare bene i nostri dati. Che significato fisico ha la costante A= 61,531 ? per x=0 (cioe’ all’istante iniziale) y = A  A rappresenta la differenza di temperatura tra corpo e ambiente all’istante iniziale E la costante k = 0,0142 ? k e’ un indice della rapidita’ di diminuzione della temperatura (cooling rate, s-1) Quali sono le loro unità di misura?

Linearizzazione del problema: Per valutare se l’adattamento e’ buono, possiamo utilizzare un piccolo trucco matematico. Linearizzazione del problema: come si puo’ trasformare la dipendenza esponenziale in una dipendenza lineare? funzione logaritmo = funzione inversa della funzione esponenziale cioè ln(ex) = x quindi se Y = A e –kt  ln(Y) = ln A – kt

linearizzazione del problema : calcoliamo il logaritmo della differenza di temperatura e mettiamolo nella colonna D. rappresentiamo i dati in un grafico in funzione del tempo. controlliamo l’adattamento ai dati di una funzione lineare, cioè di una retta. quale significato hanno le costanti trovate? hanno il valore che ci aspettavamo?

Da un punto di vista qualitativo possiamo dire che la velocità con cui il corpo si raffredda, diminuisce con il passare del tempo. Possiamo dire qualcosa di più quantitativo? Esiste una dipendenza dalla differenza di temperatura? costruiamo il grafico della velocità di diminuzione della temperatura in funzione della differenza di temperatura in colonna E calcoliamo la variabile DT/Dt dove T è la temperatura del corpo e t è il tempo. riportiamola in un grafico in funzione di DTamb

Come ci si aspettava, la velocità di diminuzione della temperatura del corpo è più alta quando è maggiore la differenza di temperatura tra il corpo e l’ambiente. Consideriamo una curva di tendenza lineare per trovare il migliore adattamento ai punti. Impostiamo l’intercetta = 0. (Perché ?)

dTcorpo/dt = -k (Tcorpo – To) Che significato ha la costante -0,0144 ? Quale è la sua dimensione? Possiamo scrivere l’equazione appena trovata come: dTcorpo/dt = -k (Tcorpo – To) dove k = 0,0144 s-1 cioè la velocità di raffreddamento è proporzionale alla differenza di temperatura tra il corpo e l’ambiente (legge del raffreddamento di Newton)