Intersezioni e distanze Daniele Marini

Programmazione grafica a.a. 2007/2008 Perchè Il calcolo delle intersezioni di rette con oggetti e di distanze è assai frequente, occorre trovare soluzioni efficienti Si usano equazioni parametriche per rappresentare rette e volumi di contenimento (BV) per accelerare il calcolo Programmazione grafica a.a. 2007/2008

Programmazione grafica a.a. 2007/2008 Definizioni utili Raggio r(t) semiretta dotata di origine e direzione (solitamente la direzione è normalizzata) Superfici: implicite e esplicite implicite: f(p)=0 - es sfera: x2+y2+z2-r2=0 dato il punto p si valuta se appartiene alla superficie trovando gli zeri dell’equazione esplicite: f(u,v)=(fx(u,v),fy(u,v),fz(u,v)) es sfera: f(,)=((r sin cos), (r sin sin), (r cos)) Programmazione grafica a.a. 2007/2008

Programmazione grafica a.a. 2007/2008 Rette Dato un punto p =(x0,y0,z0) per cui passa la retta, la sua forma parametrica è: r(t)=p+td dove d è la direzione (vettore normalizzato) e t il parametro, per t>0 abbiamo una semiretta (tipicamente il raggio) Le componenti sono: Programmazione grafica a.a. 2007/2008

Programmazione grafica a.a. 2007/2008 Bounding volume Si definiscono tre tipi di bounding volumes: AABB, OBB, k-DOP AABB: axis aligned bounding box, un parallelepipedo con le facce parallele ai piani coordinati, si definisce con due valori estremi amin , amax amin amax Programmazione grafica a.a. 2007/2008

Programmazione grafica a.a. 2007/2008 OBB: oriented bounding box è un AABB ruotato rispetto agli assi principali, si può definire con un centro e tre vettori normalizzati che descrivono le direzioni dei lati k-DOP: discrete oriented polytope, definito da k/2 vettori normalizzati con associati due valori scalari per definire una porzione di piano; in pratica definiscono un poliedro Programmazione grafica a.a. 2007/2008

Programmazione grafica a.a. 2007/2008 Bounding sphere Si utilizza anche la sfera come volume di contenimento Lo studio delle intersezioni con i BV è essenziale per l’efficienza Programmazione grafica a.a. 2007/2008

Programmazione grafica a.a. 2007/2008 Intersecare rette Usato in ray tracing / ray casting Usato per calcolare collisioni Il raggio è una semiretta, con direzione data, e un punto di applicazione la retta è specificata con coseni direttori e un punto da cui passa Programmazione grafica a.a. 2007/2008

Programmazione grafica a.a. 2007/2008 La distanza di un punto q dalla retta r che passa per p si ottiene proiettando q su r e valutando la norma: r q p d q-p w (q-p)-w Programmazione grafica a.a. 2007/2008

Intersezione con una sfera Caso più semplice di BV è la sfera Raggio in forma parametrica (vettore): Sfera con centro in (l,m,n) e raggio r: Programmazione grafica a.a. 2007/2008

Programmazione grafica a.a. 2007/2008 (x2,y2,z2) t>1 (x1,y1,z1) 0<t<1 t<0 Sostituendo nell’equazione della sfera x,y,z (vediamo solo x): Programmazione grafica a.a. 2007/2008

Programmazione grafica a.a. 2007/2008 la forma quadratica generale è quindi: da risolvere come equazione di II grado; se il determinate è <0 non ci sono intersezioni, se =0 il vettore è tangente, se >0 due intersezioni, e le radici t1,t2 danno il punto di entrata e di uscita del raggio i,j,k sono le differenze (x2-x1) ecc. non sono coseni direttori ! Programmazione grafica a.a. 2007/2008

Programmazione grafica a.a. 2007/2008 si ricava anche la normale alla sfera nel punto di intersezione (tangenza): Programmazione grafica a.a. 2007/2008

Programmazione grafica a.a. 2007/2008 per accelerare il calcolo si valuta prima il test di rifiuto rejection test le intersezioni “dietro” non interessano si valuta il vettore origine_raggio - centro_sfera, se ne calcola il modulo c2, se < r2 l’origine è interna alla sfera il raggio interseca certamente, se ci interessa solo questo si termina (es: picking) altrimenti si procede) si calcola la proiezione del vettore sul raggio, se <0 e se l’origine è esterna allora la sfera è dietro al raggio e si termina altrimenti si calcola la distanza al quadrato dal centro sfera alla proiezione del vettore sul raggio m2 se > r2 il raggio non colpisce la sfera altrimenti si calcola l’intersezione Programmazione grafica a.a. 2007/2008

Programmazione grafica a.a. 2007/2008 Rejection test Programmazione grafica a.a. 2007/2008

Intersezione raggio triangolo (poligono) 3 passi: determinare il piano su cui giace il triangolo determinare l’intersezione piano-raggio valutare se l’intersezione e’ interna al triangolo (poligono) usata anche per clipping, i raggi in questo caso sono i bordi del poligono e il piano è uno dei piani del frustum di visione; trovate tutte le intersezioni si genera un nuovo poligono Programmazione grafica a.a. 2007/2008

Intersezione raggio triangolo Programmazione grafica a.a. 2007/2008

Programmazione grafica a.a. 2007/2008 Determinare il piano equazione del piano: Ax+By+Cz+D=0 A,B,C sono le componenti della normale al piano il prodotto vettore tra due vettori identifica la normale dati due lati V, W del triangolo calcoliamo la normale: dove i,j,k sono i versori, quindi A,B,C sono: D si ottiene sostituendo un vertice del poligono nell’equazione (un punto che giace nel piano) Programmazione grafica a.a. 2007/2008

Intersezione raggio / piano si sostituisce x,y,z dalla equazione parametrica del piano: se t<0 il raggio è nel semispazio che non contiene il poligono se il denominatore = 0 raggio e piano sono paralleli; per verificare se il raggio è nel semispazio che non contiene il poligono basta testare il segno del numeratore: se > 0 è esterno Programmazione grafica a.a. 2007/2008

Programmazione grafica a.a. 2007/2008 Casi negativi raggio esterno al semispazio che contiene il poligono: t<0 raggio parallelo al piano del poligono: denominatore = 0 nel semispazio esterno al poligono: numeratore >0 raggio esterno esterno interno interno Programmazione grafica a.a. 2007/2008

Test di appartenenza del punto nei casi “positivi” si verifica se l’intersezione col piano cade nel poligono (triangolo) metodo diretto: se è interno la somma degli angoli dal punto ai vertici è 360° Programmazione grafica a.a. 2007/2008

Programmazione grafica a.a. 2007/2008 Il metodo diretto è costoso, se il punto è su un bordo dà errore, non si può valutare se il poligono è orientato “back face” rispetto alla direzione del raggio (può interessare solo la prima intersezione con un poliedro) Programmazione grafica a.a. 2007/2008

Programmazione grafica a.a. 2007/2008 Intersezione con OBB si considerano a turno coppie di piani paralleli determinando tnear e tfar si conserva nel confronto tnear maggiore e tfar minore se il massimo tnear è maggiore del minimo tfar non c’è intersezione Programmazione grafica a.a. 2007/2008

Programmazione grafica a.a. 2007/2008 tnear tfar tnear tfar tnear tnear tfar tfar Programmazione grafica a.a. 2007/2008