× × = 1 ESEMPI DI LUOGHI GEOMETRICI Luoghi geometrici Luogo geometrico di punti: insieme di tutti e soli i punti che godono della proprietà p. Un luogo di punti è quindi una figura geometrica F i cui punti hanno le seguenti caratteristiche: tutti i punti di F, nessuno escluso, soddisfano p non ci sono altri punti oltre a quelli di F che soddisfano p. L’asse di un segmento è il luogo dei punti equidistanti dagli estremi del segmento. × ESEMPI DI LUOGHI GEOMETRICI La bisettrice di un angolo è il luogo dei punti equidistanti dai lati dell’angolo. × = 1

2 Definizione e proprietà Si chiama circonferenza il luogo dei punti del piano che hanno distanza costante da un puto fisso assegnato detto centro. Si chiama cerchio l’insieme dei punti di una circonferenza e dei suoi punti interni. La circonferenza e il cerchio sono figure che: hanno un centro di simmetria che è esattamente il centro della circonferenza hanno infiniti assi di simmetria rappresentati dalle rette che passano per il centro sono unite in ogni rotazione attorno al centro O 2

3 CONSEGUENZE: Condizioni per individuare una circonferenza Per un punto del piano passano infinite circonferenze. Per due punti del piano passano infinite circonferenze. A,B: punti base Retta AB: asse radicale Retta dei centri: asse centrale Per tre punti del piano non allineati passa una e una sola circonferenza. CONSEGUENZE: due circonferenze distinte non possono avere più di due punti di intersezione; infatti se ne avessero tre sarebbero la stessa circonferenza una circonferenza non può avere punti allineati 3

4 Elementi della circonferenza e del cerchio Arco: ciascuna delle due parti in cui due punti (A e B) dividono la circonferenza Corda: segmento che congiunge due punti della circonferenza Diametro: corda passante per il centro Si dice che l’arco AB sottende la corda AB. Segmento circolare a una base: parte di cerchio delimitata da una corda e da uno dei due archi che la sottendono. Segmento circolare a due basi: parte di cerchio delimitata da due corde parallele (AB e CD). Caso particolare: 4

= 5 Proprietà delle corde In ogni circonferenza il diametro è maggiore di qualunque corda non passante per il centro. In ogni circonferenza, a corde congruenti corrispondono archi congruenti e angoli al centro congruenti. La retta perpendicolare ad una corda e passante per il centro della circonferenza è asse della corda, dimezza l’arco che sottende ed è bisettrice dell’angolo al centro corrispondente. = 5

Proprietà delle corde In una stessa circonferenza (o in circonferenze congruenti) corde congruenti hanno la stessa distanza dal centro e, viceversa, se due corde hanno uguale distanza dal centro sono congruenti. In una stessa circonferenza (o in circonferenze congruenti) se una corda è maggiore di un’altra, la prima ha minore distanza dal centro della seconda e viceversa AB > CD OH < OK 6

7 Elementi della circonferenza e del cerchio e proprietà Angolo al centro: ha il vertice nel centro della circonferenza Settore circolare: parte di cerchio individuata da un angolo al centro In una stessa circonferenza (o in circonferenze congruenti) angoli al centro congruenti insistono su archi congruenti e viceversa. Si dice che l’angolo al centro ACB insiste sull’arco AB. In una stessa circonferenza (o in circonferenze congruenti) se due angoli al centro sono disuguali, l’angolo maggiore insiste sull’arco maggiore e viceversa 7

8 Posizioni reciproche tra rette e circonferenze Teorema. Una circonferenza e una retta hanno al più due punti di intersezione. Una retta è esterna ad una circonferenza se e solo se la sua distanza d dal centro è maggiore del raggio r: d > r Una retta è tangente ad una circonferenza se e solo se la sua distanza d dal centro è congruente al raggio r: d = r Una retta è secante rispetto a una circonferenza se e solo se la sua distanza d dal centro è minore del raggio r: d < r 8

9 PA ≅ PB APC ≅ BPC Posizioni reciproche tra rette e circonferenze Proprietà delle rette tangenti. Se da un punto P esterno ad una circonferenza si mandano le tangenti alla circonferenza stessa, i segmenti di tangente sono congruenti e la semiretta di origine P che passa per il centro è bisettrice dell’angolo formato dalle tangenti. PA ≅ PB APC ≅ BPC 9

10 Posizioni reciproche tra circonferenze Anche due circonferenze distinte non possono avere più di due punti di intersezione. Indichiamo con d la distanza tra i centri di due circonferenze distinte e con r e r’ (con r > r’) i due raggi. esterne se e solo se d > r + r’ Le circonferenze sono: tangenti esternamente se e solo se d ≅ r + r’ In questo caso le circonferenze sono entrambe tangenti alla retta t e hanno altre due tangenti in comune (le rette in giallo in figura). secanti se e solo se r – r’ < d < r + r’ 10

11 Posizioni reciproche tra circonferenze tangenti internamente se e solo se d ≅ r - r’ In questo caso le circonferenze sono entrambe tangenti alla retta t ma non hanno altre tangenti comuni. interne se e solo se d < r − r’ concentriche se e solo se d = 0 11

12 Angoli alla circonferenza e angoli al centro Si dice angolo alla circonferenza un angolo che ha il vertice sulla circonferenza e i lati o entrambi secanti oppure uno secante e l’altro tangente (o entrambi tangenti) alla circonferenza. AVB insiste sull’arco AB (in rosso) EPD insiste sull’arco EP (in rosso) All’angolo AVB alla circonferenza che insiste sull’arco AB possiamo associare l’angolo al centro ACB che insiste sullo stesso arco. Esso si costruisce tracciando le semirette che hanno origine nel centro della circonferenza e passano per A e B Teorema. Ogni angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro. 12