IL PROBLEMA

ESTRAZIONE DI RADICE QUADRATA DI UN NUMERO NEGATIVO

Matematicamente si può: decidere che tale calcolo non interessa creare un insieme di numeri in cui tale calcolo si può eseguire

Optiamo per la seconda ipotesi ok !

Cominciamo con l’osservare che non vi è alcun numero reale il cui quadrato sia uguale a -1. Però nulla impedisce di creare un nuovo “numero”, fuori dall’insieme R dei numeri reali, il quale soddisfi a questa condizione. Questo nuovo numero si suole indicare con la lettera i e si chiama unità immaginaria

si ha quindi per definizione 2 i = -1

l’unità immaginaria è un po’ “strana”

l’unità immaginaria ha, con le sue potenze, un “piede” nell’insieme dei numeri reali le sue potenze sono “cicliche” di ciclo 4, infatti i valori si ripetono ogni quattro

in un riferimento cartesiano ortogonale poniamo sull’asse delle ascisse i numeri reali sull’asse delle ordinate i “numeri immaginari” ottenuti moltiplicando un numero reale per l’unità immaginaria i

Rappresentazione Geometrica P=(a,b) b a a

chiamiamo numero complesso un numero del tipo a+ib

a si chiama parte reale del numero complesso con a e b numeri reali a si chiama parte reale del numero complesso ib si chiama parte immaginaria del numero complesso

un nuovo insieme di numeri è nato un nuovo insieme di numeri i numeri complessi

Rappresentiamo con un insieme tutti i numeri che conosciamo Complessi a+ib Reali Immaginari a bi

Diamo qualche definizione a+ib=c+id se e solo se a = c e b = d a+ib > c+id non si può stabilire a+ib e a-ib complessi coniugati

Somma algebrica di numeri complessi (a+ib)+(c+id) (a+c)+(b+d)i

esempi (3+2i)+(-5+7i)=-2+9i (-2-4i)+(-3+5i)=-5+i

Prodotto di numeri complessi (a+ib) (c+id) = ac+adi+bci+bdi2 =ac+adi+bci-bd = (ac-bd)+(bc+ad)i in particolare: (a+ib) (a-ib) = a2- b2i2 = a2 + b2 Si però i fattori sono numeri complessi!!! Bella cosa……..! Nell’insieme dei numeri complessi la somma di due quadrati è scomponibile in fattori!!!

esempi (3+2i) (4-i) = (12+2)(-3+8)i = 14+5i (3+2i) (3-2i) = 9 + 4 =13 somma di due quadrati

Reciproco di un numero complesso Si definisce reciproco del numero complesso c + id il numero complesso c - id_ c2 + d2 infatti il loro prodotto è uguale a 1

Quoziente di numeri complessi (a+ib) / (c+id) = (a+ib) __1___ (c+id) = (a+ib) (c-id) c2+d2

esempio

quello che abbiamo imparato RIASSUMIAMO quello che abbiamo imparato

=3i Avevamo un problema l’abbiamo risolto introducendo i numeri immaginari abbiamo creato l’insieme dei numeri complessi a + ib abbiamo visto che tale insieme contiene sia i numeri reali già noti che i numeri immaginari abbiamo visto che in questo nuovo insieme valgono regole uguali a quelle già note ma in più che in esso si possono fare operazioni vietate nell’insieme dei reali