PLS Tratto da : ‘Sistemi di scelte sociali: il Teorema di Arrow ‘ di Dario Palladino e ‘Il paradosso del gelataio e altri problemi delle votazioni’ di Alberto Saracco

Nomenclatura K: insieme finito di alternative x, y, z: alternative possibili (elementi di K) C: insieme degli individui (ognuno, secondo le sue preferenze, proporrà un ordinamento totale tra le varie alternative possibili) Diremo xPy se x è preferito a y nella graduatoria collettiva Diremo xP h y se x è preferito a y dal cittadino h

ESEMPIO Opzioni: Sanità pubblica (SaP) Scuola pubblica (ScP) Pensione (P) Servizi: strade, carabinieri per sicurezza pubblica, fognature, etc… (Se) Le preferenze possibili saranno: x: si SaP, si ScP, si P, si Se y: no SaP, si ScP, no P, si Se etc….

ESEMPIO K: è l’insieme di tutte le possibili alternative di preferenza. Ovvero K={x, y, …} C: è l’insieme di tutti i cittadini, o elettori Se Francesco appartiene a C avrà delle sue preferenze, per esempio: x (si SaP, si ScP, si P, si Se) > y(no SaP, si ScP, no P, si Se) > z(no SaP, si ScP, si P, si Se) > t(si SaP, si ScP, no P, si Se) ……………………………..

Legge di Benessere Sociale Una legge di benessere sociale è una funzione che, assegnate le preferenze individuali dei cittadini, identifica una preferenza sociale. Osserviamo che deve essere possibile assegnare una legge di preferenza sociale qualunque siano le scelte dei cittadini, questo per garantire la libertà di voto.

Quali proprietà deve avere una legge di benessere sociale per essere ritenuta democratica? P1: Proprietà di completezza. In corrispondenza di ogni possibile n-pla di graduatorie individuali, la legge di benessere sociale deve indicare una ed una sola graduatoria sociale:

Quali proprietà deve avere una legge di benessere sociale per essere ritenuta democratica? P2: Proprietà di sovranità dei cittadini. Per ogni coppia di elementi x, y, se nella graduatoria collettiva xPy esiste una n-pla di graduatorie individuali per cui xP h y. Ovvero non può accadere che nella legge di benessere sociale x sia preferito ad y se nessun individuo particolare preferisce x a y.

Quali proprietà deve avere una legge di benessere sociale per essere ritenuta democratica? P3: Proprietà di correlazione positiva. Se, per una certa n-pla di graduatorie individuali, la legge di benessere sociale associa una graduatoria collettiva per cui xPy, allora, per tutte le altre n-ple di graduatorie individuali che differiscono dalla precedente solo perché, in alcune graduatorie individuali x ha migliorato la sua posizione rispetto ad y, nella graduatoria collettiva ancora xPy. Ovvero non può accadere che x migliori la sua posizione nel gradimento dei cittadini, ma peggiori la sua posizione nel gradimento della legge di benessere sociale.

Quali proprietà deve avere una legge di benessere sociale per essere ritenuta democratica? P4: Proprietà di invarianza delle alternative irrilevanti. Se, per una certa n-pla di graduatorie individuali, la legge di benessere sociale associa una graduatoria collettiva per cui xPy, allora, per tutte le altre n-ple di graduatorie individuali in ciascuna delle quali la relazione di preferenza tra x e y non è mutata, nella graduatoria collettiva deve ancora essere xPy. Ovvero se preferisco x a y non deve dipendere da quanto mi piace z.

Quali proprietà deve avere una legge di benessere sociale per essere ritenuta democratica? P5: Proprietà di non dittatorialità La legge di benessere sociale non associa ad ogni n-pla di graduatorie quella di un particolare individuo: non esiste un individuo h tale che, per ogni x e y, se xP h y, allora xPy Questo individuo, se esistesse, sarebbe un dittatore

Proprietà di Pareto Se valgono le proprietà P2, P3 e P4 allora possiamo dire che: Se per ogni h (da 1 a n), xP h y, allora xPy. Ovvero: se tutti preferiscono x a y, anche nella legge di benessere sociale x deve essere preferito ad y. Dimostrazione: Sia data una n-pla di graduatorie individuali tale che, per ogni h, xP h y. Per P4 possiamo limitare le nostre considerazioni alle due sole alternative x e y (trascurando tutte le altre). Per P2 si verifica che xPy se vi è una n-pla di graduatorie individuali, le cui relazioni di preferenza indichiamo con P h ’, tale che nella corrispondente graduatoria collettiva x è preferito a y (xP’y). Ma, nel nostro caso, (P) in tutte le graduatorie individuali, x è preferito a y, e quindi x ha migliorato la posizione che aveva rispetto ad y in P’, quindi per l’assioma P3, nella corrispondente graduatoria collettiva x continua, a maggior ragione, ad essere preferito a y. Quindi xPy come si voleva dimostrare.

Insiemi decisivi

Si dice che un insieme D di individui (D  C) è decisivo per l’alternativa x rispetto all’alternativa y se e solo se, se per tutti gli h  D vale xP h y, allora xPy (ossia se basta che gli individui di D preferiscano x a y affinché nella graduatoria collettiva x sia preferito a y). Se tale insieme decisivo si riduce ad avere un solo elemento, si dice che tale elemento è un dittatore per l’alternativa x rispetto all’alternativa y. Un dittatore è un individuo che da solo determina un insieme decisivo rispetto a qualsiasi coppia di alternative.

Insiemi decisivi L’insieme C di tutti gli individui è decisivo per x rispetto a y.

Insiemi decisivi Lemma1: Se valgono P2, P3 e P4, condizione necessaria e sufficiente affinché un insieme D sia decisivo per x rispetto a y è che si abbia: ((  h  D, xP h y) e (  h  D yP h x) )  (xPy) Devo cioè dimostrare che le due proposizioni: A=(  h  D xP h y)  (xPy) e B=((  h  D, xP h y) e (  h  D, yP h x))  (xPy) sono equivalenti

Insiemi decisivi Condizione Necessaria: A  B Se è vero che (  h  D xP h y)  (xPy) a maggior ragione è vero anche che ((  h  D, xP h y) e (  h  D, yP h x))  (xPy) Es. ‘Se prendi 6 nel prossimo compito ti do 6’ ‘ Se prendi 6 nel prossimo compito e mi fai questi 50 esercizi ti do 6’ In quanto più restrittiva, se sono disposta a darti 6 se prendi 6 nel prossimo compito a maggior ragione lo farò se fai anche degli esercizi in più.

Insiemi decisivi Condizione Sufficiente: B  A Se è vero che ((  h  D, xP h y) e (  h  D, yP h x))  (xPy) voglio dimostrare che è vero anche (  h  D xP h y)  (xPy) xP h y in tutte le graduatorie individuali dei cittadini facenti parte dell’insieme D e yP h x per tutti i cittadini che non fanno parte di D. Per P4 la posizione di x e y nella graduatoria collettiva dipende solo dalle posizioni di x e y nelle graduatorie individuali. Se abbiamo una n-pla di graduatorie individuali in cui (almeno) gli elementi di D preferiscono x a y, tale n-pla si può pensare ottenuta da quella in cui solo gli elementi di D preferiscono x a y (ossia per cui vale l’ipotesi di B), migliorando la posizione di x. Per P3 non cambia la posizione di x e y nella graduatoria collettiva e x è preferito a y. Quindi D è decisivo.

Insiemi decisivi Lemma2: Se un insieme D è decisivo per l’alternativa x rispetto all’alternativa y, allora è decisivo per qualsiasi altra coppia ordinata di alternative: (supponiamo vere P1, P2, P3, P4 che useremo implicitamente) Dimostrazione: Per ipotesi D è decisivo per la coppia ordinata (x, y). Per dimostrare che D è decisivo rispetto alle altre coppie procediamo per casi. a) Sia z un’alternativa diversa da x e da y. Consideriamo una qualsiasi n-pla di graduatorie individuali tale che:  h  D, xP h y e yP h z (e quindi anche xP h z),  h  D, yP h z e zP h x (e quindi anche yP h x). Dato che D è decisivo per (x, y), nella graduatoria collettiva si ha xPy. Poiché, per ogni h  C, yP h z, per la proprietà di Pareto, nella graduatoria collettiva si ha yPz. Da xPy e yPz segue xPz per la proprietà transitiva. Vale quindi: ((  h  D, xP h z ) e (  h  D zP h x))  xPz. Per il Lemma1, ne segue che D è decisivo per la coppia (x, z) con z qualsiasi. Analogamente si può dimostrare che D è decisivo anche per le coppie (z, z’) e (z,x) con z e z’ qualsiasi, quindi è decisivo per tutte le coppie.

Conseguenza Se un individuo è un dittatore per la coppia (x,y) allora è un dittatore e la legge di benessere sociale è dittatoriale

Teorema di Arrow Se l’insieme C contiene almeno 2 cittadini e K almeno tre diverse possibili scelte non è possibile che la legge di benessere sociale soddisfi tutte le proprietà P1, P2, P3, P4 e P5. Data (x, y), coppia di alternative. C è decisivo (per cond. Pareto). Quindi  D insieme decisivo minimale per la coppia (x,y). D non può avere un solo elemento perché per il teorema precedente sarebbe un dittatore. Si può allora suddividere D in due sottoinsiemi disgiunti non vuoti D’ e D”. Date tre alternative x, y e z, consideriamo una qualsiasi n-pla di graduatorie individuali tale che:  h  D’, xP h y e yP h z (e quindi anche xP h z)  h  D’’, zP h x e xP h y (e quindi anche zP h y)  h  D, yP h z e zP h x (e quindi anche yP h x) Deve essere xPy dato che l’insieme D è decisivo per coppia (x, y). Nella graduatoria collettiva non può essere zPy, altrimenti D” sarebbe decisivo per la coppia (z, y) (e quindi per tutte le coppie), contro l’ipotesi che D sia decisivo minimale. Se fosse yPz, allora da xPy seguirebbe xPz e D’ sarebbe decisivo per la coppia (x,z), contro la minimalità di D. Non può nemmeno essere yIz, poiché da xPy e yIz seguirebbe xPz e D’ sarebbe decisivo per la coppia (x,z). Si ha quindi l’assurdo che le alternative y e z non possono essere ordinate nella graduatoria collettiva (non può valere nessuna delle tre condizioni yPz, zPy e yIz).