Ing. Raffaele Carli ( Politecnico di Bari Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale Corso di Analisi dei Sistemi Bari, 16 dicembre 2013 Lezione 8: Esempi di analisi dei sistemi non lineari

Pag. 2 – Ing. R. Carli Laboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A Esempi di linearizzazione di sistemi non lineari: Sistema I ordine tempo-discreto Modello di Beverton-Holt Sistema II ordine tempo-discreto Modello dei cicli di crescita di Goodwin Sommario

Pag. 3 – Ing. R. Carli Laboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A Esempio 1 – Modello di Beverton-Holt Modello di Beverton-Holt Richiami teorici Equazione di stato x : densità di individui p : sopravvivenza alla pesca Punti di equilibrio

Pag. 4 – Ing. R. Carli Laboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A Modello di Beverton-Holt Movimento con Simulink Esempio 1 – Risoluzione

Pag. 5 – Ing. R. Carli Laboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A Caso 1 – senza pesca p = 1 ; λ = 1.2, β = 0.01 x 0 = 15 Esempio 1 – Risultati punto di equilibrio x e = 20

Pag. 6 – Ing. R. Carli Laboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A Modello di Beverton-Holt Linearizzazione nell’intorno del punto di equilibrio x e = 20 Esempio 1 – Linearizzazione

Pag. 7 – Ing. R. Carli Laboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A Caso 1 – senza pesca p = 1 ; λ = 1.2, β = 0.01 x 0 = 15 Esempio 3 – Risultati linearizzazione

Pag. 8 – Ing. R. Carli Laboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A Confronto tra il sistema (non lineare) e il sistema linearizzato Esempio 1 – Confronti

Pag. 9 – Ing. R. Carli Laboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A Esempio 1 – Confronto risultati Caso 1 – senza pesca p = 1 ; λ = 1.2, β = 0.01 x 0 = 15

Pag. 10 – Ing. R. Carli Laboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A Esempio 1 – Risultati Caso 2 – con pesca blanda p = 0.9 ; λ = 1.2, β = 0.01 x 0 = 15 punto di equilibrio x e = 8

Pag. 11 – Ing. R. Carli Laboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A Modello economico di Goodwin DISCRETO Teoria Modello non-lineare dei cicli economici basato sulla lotta di classe: datori di lavoro-lavoratori Mostra la relazione ciclica tra il lavoro e il salario in una economia chiusa basata sul lavoro n(t+1) = (1+β) n(t) n : offerta di lavoro β : tasso di crescita dell’offerta di lavoro – costante ≥ 0 q(t+1)/l(t+1) = (1+α) q(t)/l(t) q: output l: lavoro impiegato α: tasso di produttività del lavoro - costante ≥ 0 k(t)/q(t) = σ k: capitale σ : rapporto capitale/output – costante Esempio 2 – Sistema discreto II ordine Hp: il lavoro non è il fattore limitante della produzione

Pag. 12 – Ing. R. Carli Laboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A Modello economico di Goodwin DISCRETO Teoria u(t) = (w(t) l(t)) / q(t) u : quota di reddito dei lavoratori w : salario Equilibrio del mercato: k(t+1)-k(t) = (1-u(t)) q(t) 1-u : quota di reddito dei capitalisti Tasso di occupazione dei lavoratori (l/n) g = α +β+ α β tasso naturale di crescita Tasso di crescita dei salari Esempio 2 – Sistema discreto II ordine Hp: I lavoratori spendono tutto il loro salario in consumi I capitalisti investono tutti i profitti realizzati Hp: approssimazione lineare della curva di Phillips

Pag. 13 – Ing. R. Carli Laboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A Modello economico di Goodwin DISCRETO Teoria Equazioni di stato Punti di equilibrio Esempio 2 – Sistema discreto II ordine Equazioni tipo modello di Lotka-Volterra Alta occupazione genera inflazione nei salari che li può far aumentare; ciò, a sua volta, riduce i profitti dei capitalisti e così riduce gli investimenti futuri e la produzione. Tale riduzione della produzione riduce a sua volta la domanda di lavoro e l’ inflazione dei salari. I salari dei lavoratori diminuiscono. Ma non appena i salari diminuiscono i profitti aumenteranno e con essi gli investimenti. Ciò porterà all’aumento dell’occupazione e poi dei salari. Il ciclo quindi si ripeterà.

Pag. 14 – Ing. R. Carli Laboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A Modello economico di Goodwin DISCRETO Linearizzazione intorno al punto di equilibrio non nullo Punto di equilibrio Jacobiano Esempio 2 – Sistema discreto II ordine

Pag. 15 – Ing. R. Carli Laboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A Modello di Goodwin Movimento e traiettoria con Simulink Esempio 2 – Risoluzione I

Pag. 16 – Ing. R. Carli Laboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A Caso 1 a = 1.30, b = 0.40, c = 0.97, d = 0.04, ti = 0, tf = 1550 v 0 =0.76, u 0 =0,76 Esempio 2 – Risultati Valori tali che i parametri economici siano all’interno di un range di significatività

Pag. 17 – Ing. R. Carli Laboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A Modello di Goodwin Linearizzazione nell’intorno del punto di equilibrio Esempio 2 – Linearizzazione

Pag. 18 – Ing. R. Carli Laboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A Caso 1 a = 1.30, b = 0.40, c = 0.97, d = 0.04, ti = 0, tf = 1550 v 0 =0.76, u 0 =0.76 Esempio 2 – Risultati linearizzazione

Pag. 19 – Ing. R. Carli Laboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A Confronto tra il sistema (non lineare) e il sistema linearizzato Esempio 2 – Confronti

Pag. 20 – Ing. R. Carli Laboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A Esempio 2 – Confronto risultati Caso 1 a = 1.30, b = 0.40, c = 0.97, d = 0.04, ti = 0, tf = 1550 v 0 =0.76, u 0 =0.76

Pag. 21 – Ing. R. Carli Laboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A Continua…

Pag. 22 – Ing. R. Carli Laboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A Grazie per l’attenzione! Laboratorio di Analisi dei sistemi Ing. Raffaele Carli Dipartimento di Ingegneria Elettrica e dell’Informazione