STATISTICA A – K (60 ore) Marco Riani

Soluzioni esercizi da svolgere per Lunedì 29 marzo

Es. v.c. associata al lancio di un dado Calcolare F(3,14)? F(-0,37)? F(3,57)? F(6,5)? E(X)? VAR(X)? Valori x i Probabilità p i 11/

Soluzione F(3,14)=0,50 F(-0,37)=0 F(3,57)=0,50 F(6,5)=1 E(X)=3,5 VAR(X)=35/12

Esercizio Dimostrare che f(x)=2(x-10)/50 se 10<x<15 f(x)=2(20-x)/50 se 15<x<20 è una densità Rappresentare graficamente la funzione di densità e di ripartizione

Verificare che è una densità

Rappresentazione grafica f(x)= densità triangolare Area triangolo =10*0,2/2=1 2(20-x)/50 2(x-10)/50

Calcolo della funzione di ripartizione

Calcolare –Pr(X>12) –Pr(X<10) –Pr(X<11) –Pr(14 < X < 18) –E(X)? –VAR(X)? –Calcolare il quantile x 0,95 ossia la coordinata x che lascia alla sua destra una probabilità pari a 0,05 e a sinistra una probabilità pari a 0,95

Pr(X>12) 1- (Area triangolo con base 2 e altezza 0,08)=1-2*0,08/2=0,92

Pr(X<11) Area triangolo con base 1 e altezza 0,04/2=0,02

Pr(14 < X < 18) Pr(14 < X < 18)=0,6 (utilizzando le aree dei due trapezi oppure il calcolo integrale)

E(X) Occorre calcolare il seguente integrale: E(X)=15

VAR(X) Occorre calcolare il seguente integrale: VAR(X)=4,17

Calcolo del quantile x 0,95 [(20-x 0,95 ) 2(20-x 0,95 )/50] 0,5=0,05 Pr=0,05 x 0,95 2(20-x)/50 x 0,95 =18,42

Metodo alternativo basato sul calcolo integrale Si ottiene: Le soluzioni dell’equazione di secondo grado sono 21,58 e 18,42. Naturalmente escludiamo 21,58 in quanto esterna all’intervallo di definizione della densità

Esercizio Si calcoli la probabilità di ottenere un 2 almeno una volta in tre lanci consecutivi di un dado.

Soluzione Pr (un due almeno una volta in tre lanci)=1-Pr(nessun due in tre lanci) Pr(nessun due in tre lanci)= (5/6) 3 Pr (un due almeno una volta in tre lanci)=1- (5/6) 3 =0,42

Esercizio Un docente di statistica ha distribuito un elenco di 20 domande da cui sceglierà a caso quattro domande per l’esame finale. Avendo poco tempo lo studente x prepara solo 4 domande. Qual è la probabilità che proprio queste costituiscano la prova di esame

Soluzione Casi favorevoli = 1 Casi possibili C 20,4 =4845 Pr = 1/4845=0,00021

Esercizio Supponiamo di disporre di un mazzo di 52 carte. Estraendo 5 carte a caso, qual è la probabilità di avere due carte di quadri, due di cuori e una di fiori?

Soluzione Casi favorevoli due carte di quadri=C 13,2 Casi favorevoli due carte di cuori=C 13,2 Casi favorevoli una carta di fiori=C 13,1 =13 Casi possibili =C 52,5 Pr richiesta = C 13,2 × C 13,2 × 13 / C 52,5 =79092/ =0,03

Esercizio Supponiamo di disporre di un mazzo di 52 carte. Si estrae una sola carta. Qual è la probabilità di estrarre una carta di quadri oppure una carta rossa?

Soluzione Pr (carta di quadri U carta rossa) = Pr (carta di quadri)+ Pr(carta rossa) –P(carta di quadri ∩ carta rossa)=13/52+26/52- 13/52=26/50=1/2

Esercizio Supponiamo di disporre di un mazzo di 52 carte. Si estrae una sola carta. Qual è la probabilità di estrarre una carta di quadri oppure un re?

Soluzione Pr(carta di quadra U un re)=13/52+4/52- 1/52=16/52=0,31