Formula dell’interesse composto Dodero Baroncini vol. 4 2 vol. 5 Il numero di Nepero Formula dell’interesse composto Dodero Baroncini vol. 4 2 vol. 5

UN PO’ DI STORIA 1618 lo scozzese Giovanni Nepero pubblica le sue tavole logaritmiche per semplificare calcoli complessi: la base era e 1683 lo svizzero Jacob Bernoulli pubblicò lo studio di matematica finanziaria sugli interessi composti.

Problema: Investiamo € 1000 al tasso del 10% annuo, dopo un anno Possiamo riscuotere i 100 euro di interesse e mantenere il capitale investito così ogni anno avrò altri 100 euro di interessi. Possiamo aggiungere i 100 euro di interesse al precedente capitale e investire quindi 1100 euro per il secondo anno. Così al termine del secondo anno avrò 110 euro di interesse … INTERESSE COMPOSTO INTERESSE SEMPLICE

INTERESSE COMPOSTO IN FORMULE Dopo il primo anno Dopo il secondo anno Dopo un numero n di anni

INTERESSE COMPOSTO con capitale pari a 1 euro, interesse annuo r = 100% SE L’INTERESSE VENISSE CORRISPOSTO IN PIÙ SOLUZIONI INVECE CHE UNA SOLA VOLTA AL TERMINE DELL’ANNO? Capitale Primo Semestre Secondo Semestre 1 euro 1+50%*1=1,50 euro 1,50 +50%*1,50= 2,25 euro Capitale Primo Quadrimestre Secondo Quadrimestre Terzo Quadrimestre 1 euro 1+33,3%*1=1.33 € 1.33+33,3%*1,33 = 1,77 € 1,77+33,3%*1,77= 2,37 € Capitale Primo Trimestre Secondo Trimestre Terzo Trimestre Quarto Trimestre 1 1,25 1,56 1,95 2,44

IN FORMULA SE L’ANNO VIENE FRAZIONATO IN n PARTI UGUALI E IN OGNUNA DI QUESTE VIENE CORRISPOSTO UN INTERESSE DEL 100/n%, AL TERMINE DELL’ANNO IL CAPITALE SARÀ Se suddividiamo l’anno in un numero sempre crescente di parti uguali? Cioè se facciamo tendere Cn costituisce anche un esempio di SUCCESSIONE NUMERICA, cioè una funzione il cui dominio è l’insieme dei numeri NATURALI

n Cn 1 2 2,25 3 2,37037 4 2,441406 40 2,685064 60 2,69597 80 2,701485 100 2,704814 120 2,707041 140 2,708637 160 2,709836 180 2,710769 200 2,711517 220 2,71213 240 2,71264 260 2,713073 280 2,713444 300 2,713765 320 2,714047 340 2,714295 Il numero e rappresenta il montante (capitale + interessi) di un capitale di 1 euro al termine dell’anno, nel caso in cui l’interesse del 100% sia computato in modo continuo, ossia dividendo l’anno in un numero infinito di parti uguali, ciascuna di durata infinitesima. In base alla definizione di limite possiamo considerare solo il LIMITE PER n CHE TENDE A INFINITO Teorema: sia f(x) una funzione il cui dominio contiene N ; Se esiste il limite di f(x) per x che tende a infinito, allora anche la successione an = f(n) ammette limite

Applichiamo questo limite notevole Per dimostrare i seguenti limiti

Problema: investire 50 euro per 3 anni al 10% di interesse, ricalcolandolo ogni 3 mesi , cioè n = 4; Formula dell’interesse composto per Altri esercizi su questo limite notevole a pag. 201

Positivamente divergenti Negativamente divergenti Successioni Convergenti Positivamente divergenti Negativamente divergenti Divergenti Indeterminata