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Trasformazioni nel piano Trasformazioni LINEARI INVERSioni CIRCOLARI

Affinità Dilatazioni Compressioni Similitudini Inclinazioni Omotetie Isometrie Traslazioni Simmetrie Rotazioni Centrali Assiali

Affinità Si definisce affinità una corrispondenza biunivoca tra punti dello stesso piano che trasformi rette in rette conservando il parallelismo.

x’ = ax + by + p y’ = cx + dy + q Associamo a ciascun punto P (x,y) del piano in modo biunivoco il vettore . L’affinità T di equazioni: x’ = ax + by + p y’ = cx + dy + q può allora essere scritta nella forma matriciale x’ = Ax + u , in cui u = , è il vettore dell’affinità e A = è la matrice dell’affinità il cui determinante è diverso da 0 (condizione di non singolarità della matrice) a b c d

Teorema Data una trasformazione di matrice A e una superficie del piano S, sia S’ la superficie corrispondente. Il rapporto tra S’ e S è pari al modulo del det A. Definizione Si definisce elemento unito un elemento che corrisponde a se stesso nella trasformazione.

Dilatazioni e Compressioni Si definisce dilatazione o compressione di rapporto k lungo l’asse x e di rapporto h lungo l’asse y l’affinità: x’ = kx y’ = hy k ≠ 0 h ≠ 0 con: k 0 0 h di matrice: det A = kh e vettore:

x’ = x y’ = 3y x’ = x y’ = ⅓y Dilatazione Compressione 1 0 0 3 1 0 0 3 di matrice: det A = 3 Compressione x’ = x y’ = ⅓y 1 0 0 ⅓ di matrice: det A = ⅓

Inclinazioni x’ = x + k y y’ = y Si definisce inclinazione lungo l’asse x di coefficiente k la trasformazione che fa corrispondere a ogni punto (x,y) il punto che ha la stessa ordinata y e ascissa proporzionale. x’ = x + k y y’ = y di matrice: 1 k 0 1 det A = 1

Inclinazioni x’ = x y’ = kx + y Si definisce inclinazione lungo l’asse y di coefficiente k la trasformazione che fa corrispondere a ogni punto (x,y) il punto che ha la stessa ascissa x e ordinata proporzionale. di matrice: x’ = x y’ = kx + y 1 0 k 1 det A = 1

ESERCIZIO 2 0 0 1 La trasformazione di matrice muta il quadrato Q di vertici O(0,0), A(1,0), B(1,1) e C(0,1) nel rettangolo R. Appli- cando successivamente l’inclinazione di matrice si ottiene il parallelogramma P. Calcolane l’area. 1 2 0 1

Similitudini La similitudine è un’affinità tra punti del piano che mantiene costante il rapporto tra segmenti corrispondenti. Cioè, dati i segmenti AB e CD: k è detto rapporto di similitudine.

a = k cos α x’ = ax + by + p b = - k sin α y’ = - bx + ay + q Diretta a = k cos α b = - k sin α x’ = ax + by + p y’ = - bx + ay + q a b -b a La cui matrice associata risulta: det A = a² + b² = k² Inversa a = - k cos α b = k sin α x’ = ax + by + p y’ = bx - ay + q a b b -a La cui matrice associata risulta: det A = - a² - b² = - k²

Omotetie x’ = ax + xC - axC y’ = ay + yC - ayC Siano C un punto del piano e a un numero reale non nullo si definisce omotetia di centro C e rapporto a la corrispondenza biunivoca tra i punti del piano che a ogni punto P fa corrispondere in modo univoco il punto P’ tale che CP’ = a CP. x’ = ax + xC - axC y’ = ay + yC - ayC a 0 0 a La matrice associata risulta: xC – axC yC - ayC E il suo vettore: det A = a²

Isometrie Si definisce isometria ogni affinità tra i punti del piano che conservi le distanze (k = 1). La più semplice isometria è l’identità: x’ = x y’ = y 1 0 0 1 La cui matrice associata risulta: det A = 1

Traslazione x’ = x + p y’ = y + q Si definisce traslazione di vettore v la corrispondenza biunivoca tra i punti del piano che a ogni punto P associa il punto P’ tale che PP’ = v Dato il vettore v = (p;q), risulta: x’ = x + p y’ = y + q 1 0 0 1 La cui matrice associata risulta: det A = 1 E il cui vettore:

Matrice: 1 0 0 1 det A = 1 Vettore: ¼ 1

ESERCIZIO 9 -1 Dati la traslazione di vettore e il triangolo di vertici A (0,0), B (1,0) e C (0,3), trovare i vertici di A’B’C’. A’ (xA’, yA’) = (xA + p, yA + q) = (9, -1) B’ (xB’, yB’) = (xB + p, yB + q) = (10, -1) C’ (xC’, yC’) = (xC + p, yC + q) = (9, 2)

Rotazione x’ = x cos θ – y sin θ y’ = x sin θ + y cos θ Siano O un punto del piano e θ un numero reale. Si chiama rotazione di centro O e di angolo θ la corrispondenza biunivoca tra i punti del piano che associa il punto O il punto O stesso e che ogni punto P distinto da O associa il punto P’ tale che PÔP’ = θ. x’ = x cos θ – y sin θ y’ = x sin θ + y cos θ cos -sin sin cos La cui matrice associata risulta: det A = 1

Matrice: 0 -1 1 0 det A = 1

ESERCIZIO Dati la rotazione di angolo θ = 90° e il triangolo di vertici A (0,0), B (1,0) e C (0,3), trovare i vertici di A’B’C’. A’ (xA’, yA’) = (xA cos θ - yA sin θ, xA sinθ + yA cos θ) = (0, 0) B’ (xB’, yB’) = (xB cos θ - yB sin θ, xB sinθ + yB cos θ) = (0, 1) C’ (xC’, yC’) = (xC cos θ - yC sin θ, xC sinθ + yC cos θ) = (-3, 0)

SIMMETRIA CENTRALE x’ = 2 xC - x y’ = 2 yC - y Si definisce simmetria centrale Sc rispetto a C la corrispondenza biunivoca tra punti del piano che associa a ogni punto P il punto P’ tale che C sia il punto medio di PP’ x’ = 2 xC - x y’ = 2 yC - y -1 0 0 -1 La cui matrice associata risulta: det A = 1 2 xC 2 yC E il suo vettore:

Vettore: Matrice: -1 0 0 -1 2 1 det A = 1

ESERCIZIO 8 4 Dati la simmetria centrale di vettore e il triangolo di vertici A (0,0), B (1,0) e D (0,3), trovare i vertici di A’B’D’. C (½ 8, ½ 4) = (4, 2) A’ (xA’, yA’) = (2 xC - xA, 2 yC - yA) = (8, 4) B’ (xB’, yB’) = (2 xC - xB, 2 yC - yB) = (7, 4) D’ (xD’, yD’) = (2 xC - xD, 2 yC - yD) = (8, 1)

SIMMETRIA ASSIALE Si definisce simmetria rispetto a r l’affinità Sr che lascia uniti i punti P che appartengono ad r e che trasforma ogni punto P che non appartiene ad r in P’ tale che r sia l’asse di PP’. Di matrice: det A = -1 e vettore:

x’ = x y’ = - y + 2 k x’ = - x + 2 k y’ = y Caso particolare: y = k 2k 1 0 0 -1 det A = -1 Caso degenere: x = k 2k x’ = - x + 2 k y’ = y -1 0 0 1 det A = -1

Caso particolare: y = x x’ = y y’ = x 0 1 1 0 det A = -1

ESERCIZIO Dati la simmetria assiale di asse x = 4 e il triangolo di vertici A (0,0), B (1,0) e C (0,3), trovare i vertici di A’B’C’. A’ (xA’, yA’) = (- xA + 8, yA) = (8, 0) B’ (xB’, yB’) = (- xB + 8, yB) = (7, 0) C’ (xC’, yC’) = (- xC + 8, yC) = (8, 3)

Composizione di trasformazioni La composizione o prodotto di due affinità T1 e T2, rispettivamente di matrici A1 e A2 e vettori u1 e u2, è l’affinità T2T1, la cui matrice è A = A2A1 e il cui vettore è u = A2u1+u2. T1: x’= A1 x + u1 e T2: x’= A2 x + u2 x  Applico T1: x’= A1 x + u1  Applico T2: x’’= A2 (A1 x + u1) + u2 = A2 A1 x + A2 u1 + u2 MATRICE VETTORE

ESERCIZIO Trasformare la circonferenza x²+y²-2x=0 applicando prima T: e poi T’: . Ripetere l’esercizio applicando prima T’ e poi T. x’ = 2x y’ = -y x’ = 3x y’ = 2y

Trasformazione inversa L’inversa di un’affinità T di matrice A e vettore u è l’affinità di matrice A-1 e vettore v = -A-1 u. x’= A x + u  Moltiplico per A-1 A-1x’= A-1A x + A-1u  A-1A = I A-1x’= I x + A-1u  Isolo x x = A-1x’ - A-1u MATRICE VETTORE

ESERCIZI TRATTI DALL’ESAME DI STATO Edit by FlashBox