CALCOLO COMBINATORIO

Che cos’è il calcolo combinatorio? Concetto di raggruppamenti semplici e di raggruppamenti con ripetizione Disposizioni Permutazioni Combinazioni

PROBLEMI In quanti modi diversi 4 ragazzi di una compagnia di 9 amici si possono sedere su 4 poltrone libere di un cinema? Quanti numeri di 4 cifre si possono comporre con le cifre 1, 2, 3, 4, 5, 6? Quanti anagrammi si possono comporre con le lettere della parola ROMA? E con la parola ALA? Quanti terni si possono fare con i 90 numeri del Lotto? In quanti modi diversi 7 caramelle identiche possono essere distribuite tra 4 bambini? E se le caramelle fossero diverse?

CHE COS’E’? Il calcolo combinatorio è un particolare ramo della matematica applicata avente come scopo la costruzione e la misurazione del numero di raggruppamenti diversi che si possono comporre prendendo una determinata quantità di elementi in un assegnato insieme, in modo che siano rispettate determinate regole.

I RAGGRUPPAMENTI POSSONO ESSERE: SEMPLICI: quando gli oggetti sono tutti diversi CON RIPETIZIONE: quando gli oggetti sono presenti una o più volte

COPPIE PER LE QUALI NON IMPORTA L’ORDINE: ESEMPIO 1 Raggruppare gli elementi a-b-c a gruppi di 2 con elementi che non si ripetono 1° modo COPPIE ORDINATE: ab ac ba bc ca cb 2° modo COPPIE PER LE QUALI NON IMPORTA L’ORDINE: ab ac bc 1° modo: si parla di DISPOSIZIONI 2° modo: si parla di COMBINAZIONI

COPPIE PER LE QUALI NON IMPORTA L’ORDINE: ESEMPIO 2 Raggruppare gli elementi a-b-c a gruppi di 2 con elementi possono ripetersi 1° modo COPPIE ORDINATE: aa ab ac bb ba bc cc ca cb 2° modo COPPIE PER LE QUALI NON IMPORTA L’ORDINE: aa ab ac bb bc cc

I DIVERSI TIPI DI RAGGRUPPAMENTI DISPOSIZIONI: si tiene conto dell’ordine degli elementi COMBINAZIONI: non si tiene conto dell’ordine degli elementi

COME CALCOLARE IL NUMERO DI DISPOSIZIONI?

Problema: in quanti modi 4 ragazzi di una compagnia di 9 amici possono sedersi su 4 poltrone libere di un cinema?

Problema: in quanti modi 4 ragazzi di una compagnia di 9 amici possono sedersi su 4 poltrone libere di un cinema? 9 8 7 6 9x8x7x6 = 3024 … wow!

Il numero di DISPOSIZIONI SEMPLICI di n oggetti distinti presi k per volta è Dn,k= n(n-1)(n-2) ….. (n-k+1) con n>k (cioè il prodotto di k numeri naturali consecutivi, in ordine decrescente, a partire da n)

il numero delle DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE di n oggetti distinti presi k per volta è

il numero delle DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE di n oggetti distinti presi k per volta è D’n,k= nk

CHE COSA SONO LE PERMUTAZIONI?

PERMUTAZIONI SEMPLICI ESEMPIO: COSTRUIRE E CONTARE GLI ANAGRAMMI (anche privi di senso) DELLA PAROLA «APE» P E A P E A E P A E P A E P A E P E A P E A A P E A P E P A E P A

Le permutazioni semplici di n oggetti distinti sono tutti i possibili raggruppamenti contenenti la totalità degli n oggetti e che differiscono solo per l’ordine Pn = Dn,n Pn = n!

PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONE: se tra gli n oggetti dati ve ne sono α uguali tra loro e β uguali tra loro, il numero delle permutazioni degli n oggetti assegnati risulta: Pn(α, β ) = n! α! * β!

COME CALCOLARE IL NUMERO DI COMBINAZIONI?

Problema: quanti terni si possono fare con i 90 numeri del Lotto? La situazione è simile a quella del problema degli amici al cinema, ma stavolta l’ordine non conta, quindi bisogna dividere le disposizioni di 90 oggetti presi 3 per volta per il numero delle permutazioni di tre oggetti

Problema: quanti terni si possono fare con i 90 numeri del Lotto?

Il n° di COMBINAZIONI SEMPLICI di n oggetti distinti presi k per volta è Cn,k = Dn,k / k! = ( ) n k

Il numero delle COMBINAZIONI CON RIPETIZIONE di n oggetti distinti presi k per volta è C’n,k= (cioè è il prodotto di k fattori crescenti a partire da n, diviso per k! ) n(n+1)….. (n+k-1) k ! n(n+1)….. (n+k-1) k !