CONCAVITA’ Una curva ha la concavità rivolta verso l’alto nel punto P di ascissa xo se esiste un intorno I di xo tale che per ogni x appartenente a I il punto della curva di ascissa x sta sopra la retta tangente alla curva in P f(X) P f(Xo) Xo X

CONCAVITA’ Una curva ha la concavità rivolta verso il basso nel punto P di ascissa xo se esiste un intorno I di xo tale che per ogni x appartenente a I il punto della curva di ascissa x sta sotto la retta tangente alla curva in P f(X) f(Xo) P Xo X

FLESSI Se non esiste nessun intorno di xo in cui la curva sta tutta sopra o sotto la tangente, allora il punto P si dice punto di flesso f(X) f(Xo) P Xo X

CONCAVITA’ E DERIVATA Vale il seguente teorema: Sia f(x) derivabile in un intorno di xo e due volte derivabile in xo (ovvero esista la derivata della derivata); allora: se la funzione ha la concavità rivolta verso l’alto in xo allora f”(xo) ≥0 se la funzione ha la concavità rivolta verso il basso in xo allora f”(xo)≤0

CONCAVITA’ E DERIVATA Viceversa: se f”(xo)>0 allora la funzione ha la concavità rivolta verso l’alto in xo se f”(xo)<0 allora la funzione ha la concavità rivolta verso il basso in xo

CONCAVITA’ E DERIVATA Dimostrazione della prima parte: La tangente in P ha equazione E, posto x=xo+h Ovvero: f(Xo+h) y P f(Xo) Xo Xo+h

CONCAVITA’ E DERIVATA Per definizione di concavità rivolta verso l’alto: Ovvero: f(Xo+h) y P f(Xo) Xo Xo+h

CONCAVITA’ E DERIVATA Dividendo per h Poiché f è derivabile, vale nell’intervallo h il teorema di Lagrange, ovvero esiste un punto c interno ad h per cui: f(Xo+h) y P f(Xo) C Xo Xo+h

CONCAVITA’ E DERIVATA Sostituendo: Ovvero, posto c=xo+k Dividendo per k (che è positivo, perché c è maggiore di x0)

CONCAVITA’ E DERIVATA Passando al limite per k tendente a zero, per il teorema del confronto: Ma questo limite è la derivata seconda in xo cvd

FLESSI Vale il seguente teorema: Sia xo un punto di flesso della funzione f e sia f due volte derivabile in tale punto; allora: Non vale il viceversa: un punto in cui la derivata seconda si annulla non è necessariamente un punto di flesso

FLESSI Dimostrazione: In un intorno sinistro di xo la curva ha la concavità verso il basso, quindi, per quanto dimostrato f(Xo) P Xo

FLESSI In un intorno destro di xo la curva ha la concavità verso l’alto, quindi Poiché xo appartiene a entrambi gli intorni le due relazioni devono valere entrambe, quindi: f(Xo) P Xo

FLESSI La ricerca dei punti di concavità e dei punti di flesso, quindi, richiede lo studio del segno della derivata seconda - + + FLESSO FLESSO