criteri di scelta tra investimenti 1. Operazione finanziaria: (semplice o complessa) (investimento, finanziamento, mista) 2. Generalità sui criteri di scelta: (completezza) (indice di preferenza) 3. Criteri di scelta: Tempo di recupero REA TIR

Operazioni finanziarie t0 t1 ... tn  C0 C1 ... Cn una operazione finanziaria P può essere descritto da una coppia di vettori P = (C, t) ove C è il vettore dei capitali e t il vettore delle scadenze

ipotesi n > 1, il progetto contiene almeno due capitali; s Cs  0, si trascurano i capitali nulli e le rispettive scadenze senza modificare l’operazione; Ch  Cs < 0 per almeno una coppia di tempi h e s, il vettore C dei capitali non contiene solo costi o solo ricavi.

Operazione finanziaria operazione semplice: un costo seguito da un ricavo è un’operazione d’investimento. un ricavo iniziale seguito da un costo finale, si configura come un’operazione di finanziamento. Quando, in generale, i capitali e le scadenze che caratterizzano il progetto sono più di due (operazione complessa), non è altrettanto immediata la sua classificazione nella categoria dei finanziamenti o degli investimenti.

classificazione investimento (finanziamento) in senso stretto: se i costi (ricavi) precedono temporalmente i ricavi (costi) investimento (finanziamento) in senso generale: un’ operazione per la quale la scadenza media zc < zr (zc > zr ) per ogni tasso i  0; investimento (finanziamento) in senso lato: un’operazione per cui la scadenza media aritmetica dei costi (ricavi) precede l’epoca del primo ricavo (costo);

classificazione saldo contabile tra costi e ricavi in t. Investimento (finanziamento) puro se S(t) cambia segno una sola volta, dal negativo (positivo) al positivo (negativo). altrimenti progetto misto.

Esempio Acquisto oggi un’obbligazione pagandola Euro 9,80 e fra un anno riscuoto Euro 0,90 di interessi, altri Euro 0,90 dopo un anno, altri Euro 0,90 dopo un anno. Unitamente agli ultimi Euro 0,90 mi viene rimborsata l’obbligazione a Euro 10,20. 0 1 2 3 |  9,80 0,90 0,90 0,90 + 10,20 I saldi contabili alle scadenze t = 0, 1, 2, 3 sono: S(0) = – 9,80 S(1) = – 9,80 + 0,90 = – 8,90 S(2) = – 8,90 + 0,90 = – 8,00 S(3) = – 8,00 + 0,90 + 10,20 = + 3,10.

Operazioni finanziarie Devono essere: Complete devono avere la medesima struttura rispetto al capitale e all’arco temporale. ammissibili cioè compatibili con la situazione economico finanziaria del risparmiatore. indipendenti quando l’eventuale attuazione di ciascuna di esse non ha alcuna influenza né sull’attuabilità, né sugli elementi che descrivono ciascuno delle altre. alternative quando l’accettazione dell’una esclude l’accettazione dell’altra.

Confronto tra progetti: esborso diverso –800 500 800 Euro ||| A 0 1 2 t –1.400 500 700 Euro ||| B 0 1 2 t Esborso diverso: In assenza di vincoli finanziari la scelta del progetto A comporterebbe un risparmio di Euro 600 che dovremo decidere come impiegare. In presenza di vincoli finanziari B non sarebbe realizzabile (oppure prendere a prestito la differenza)

Investimenti integrativi –600 600(1 + i)2 Euro ||| A' 0 1 2 t + 600 –600(1+i)2 Euro ||| B’ 0 1 2 t A rappresenta l’investimento fruttifero integrativo dell’eccedenza (600). B rappresenta il finanziamento oneroso per la parte di capitale non disponibile (600).

Confronto tra progetti: durata diversa –1.500 500 900 Euro ||| P 0 1 2 t –1500 1.200 Euro || Q 0 1 t si trascura l’effetto di investimenti alternativi che, durante il secondo anno, si offrono all’investitore che decide di effettuare il progetto Q.

Indice di preferenza La scelta tra progetti P consiste nel definire un criterio di scelta che associ ad ogni P un numero I(P)  , detto indice di preferenza, o indice di utilità. Se I(A) > I(B), vorrà dire che il progetto A è preferito al progetto B e scriveremo A  B, mentre I(B) > I(A) indica che il progetto B è preferito al progetto A, ossia B  A. Infine I(A) = I(B) vuol dire che i due progetti sono equivalenti (A  B). 1. l’equivalenza () tra due o più progetti è relazione riflessiva, simmetrica e transitiva, ossia comunque scelti i progetti A, B e C:  A  A;  A  B  B  A;  A  B, B  C  A  C

Indice di preferenza 2. la relazione di preferenza () tra due o più progetti deve godere della proprietà transitiva: A  B, B  C  A  C C : A  B  (A + C)  (B + C) C : A  B  (A + C)  (B + C) A  B,  > 0  ( A)  ( B) 6. A  B,  > 0  ( A)  ( B)

IL CRITERIO DEL PAY-BACK tempo di recupero del capitale, rappresenta il tempo necessario affinché si possa recuperare integralmente il capitale impiegato. è la scadenza più vicina tra quelle per le quali il totale dei ricavi consente di recuperare i costi sostenuti, cioè eguagliarli o superarli; Ovvero la prima scadenza alla quale si realizza una inversione di segno nei saldi Sk del progetto tp =  tk C0  Sk  0, k = 0, 1, 2, ..., n 

IL CRITERIO DEL PAY-BACK tra più alternative di investimento si preferisce quella con tempo di recupero minore tra più alternative di finanziamento si preferisce quella con tempo di recupero maggiore. due alternative con il medesimo tempo di recupero sono ritenute indifferenti (ma non necessariamente identiche).

IL CRITERIO DEL PAY-BACK : pregi e difetti Non è indicatore reddituale, ma temporale: esprime il grado di liquidità di un progetto. Limiti: - non tiene conto della distribuzione temporale dei costi e dei ricavi entro tp, - trascura i ricavi e/o i costi successivi a tp. Pregi: - semplicità

Esempio il progetto A è preferito a B. CA = , CB = , tA = tB = S0 = C0 = – 1.200 S1 = – 1.200 + 500 = – 700 S2 = – 700 + 400 = – 300 S3 = – 300 + 500 = 200 S4 = 200 + 100 = 300 S5 = 300 + 100 = 400 PROGETTO B: S0 = – 1.200 S1 = – 1.200 + 200 = – 1000 S2 = – 1000 + 200 = – 800 S3 = – 800 + 200 = – 600 S4 = – 600 + 400 = - 200 S5 = -200 + 800 = 600 il progetto A è preferito a B.

Il criterio del risultato economico attualizzato (R.E.A.) Fissato un tasso di valutazione i, si dice Risultato Economico Attualizzato (R. E.A.) di un’operazione finanziaria il valore attuale dei suoi flussi di cassa.  tra più alternative d’investimento si preferisce quella che presenta un R.E.A. maggiore, così come tra più alternative di finanziamento si preferisce quella con R.E.A. maggiore;

Il criterio del risultato economico attualizzato (R.E.A.)  se due alternative hanno il medesimo R.E.A. esse sono ritenute indifferenti (ma non necessariamente identiche). Il R.E.A è un operatore lineare: R.E.A.(A + B) = R.E.A.(A) + R.E.A.(B), R.E.A.(A) =  R.E.A.(A) con  numero reale qualunque.

esempio CA =  tA= tB  =  CB =  Calcoliamo il R.E.A. dei due progetti con legge esponenziale al tasso periodale del 7%: VA(0,07) = – 1.000 + 300(1 + 0,07)– 1 + 500(1 + 0,07)– 2 + + 300(1 + 0,07)– 3 + 400(1 + 0,07) – 4 = 267,141 VB(0,07) = – 1.000 + 200(1 + 0,07)– 1 + 300(1 + 0,07)– 2 + + 300(1 + 0,07)– 3 +  500(1 + 0,07)– 4 = 75,2845 L’operazione A è preferita all’operazione B in quanto dotata di un R.E.A. maggiore. .

Pregi e difetti Il R.E.A. fornisce un criterio soggettivo, in quanto dipendente dalla scelta del tasso i utilizzando tassi diversi si giunge a risultati diversi. per un investimento il tasso di valutazione è quello al quale si possono effettuare i reimpieghi per un finanziamento, il tasso i è quello che regola la provvista di fondi assorbiti dal progetto grande variabilità tra i diversi operatori.

Proprietà funzione REA se il tasso di valutazione è nullo, il R.E.A. di un progetto è la somma delle poste; se il tasso di valutazione tende a +  il R.E.A. di un progetto tende al valore della prima posta. asintoto orizzontale di equazione y = C0.

Confronto tra progetti non completi utilizzando il R.E.A. ha senso anche il confronto tra investimenti non completi, purché le operazioni integrative siano fatte allo stesso tasso con il quale si opera la valutazione. Infatti, si debbano confrontare, in base al criterio del R.E.A., i progetti P e P, dopo averli integrati rispettivamente con le operazioni Q e Q condotte allo stesso tasso scelto per le valutazioni. R.E.A.(Q) = R.E.A.(Q) = 0 in virtù della proprietà di linearità del R.E.A., si ha: R.E.A.(P+Q) = R.E.A.(P) + R.E.A.(Q) = R.E.A.(P) R.E.A.(P+Q) = R.E.A.(P) + R.E.A.(Q) = R.E.A.(P).

Il criterio del tasso interno di rendimento (T.I.R) Data un’operazione finanziaria si dice Tasso Interno di Rendimento (T.I.R.) dell’operazione stessa quel tasso di valutazione i in corrispondenza del quale il valore attuale dei suoi flussi di cassa si annulla. Indicando con Ck gli importi delle poste non tutti uguali a 0, con tk le relative scadenze (k = 0, 1, ..., n), la funzione che esprime il R.E.A. dell’operazione sarà Il T.I.R. di un’operazione è quel tasso, se esiste, che rende equa l’operazione, ossia quel tasso per il quale V(i) = 0.

T.I.R. investimento si preferisce quella che presenta un T.I.R. maggiore, finanziamento si preferisce quella con T.I.R. minore(T.I.C. (tasso interno di costo)); T.I.R. uguale: alternative indifferenti (ma non necessariamente identiche).

Proprietà T.I.R. T.I.R (– A) = T.I.R(A) T.I.R(A) = T.I.R(A)   0. Qualora si operi nel regime dell’interesse composto, il R.E.A. dell’operazione al tasso i è: Limitiamoci ora al caso prima posta negativa, successive positive:

Grafico funzione di REA SCk-C0 -C0 i* i

Esistenza e unicità del T.I.R. La determinazione del tasso interno di rendimento di un’operazione finanziaria è legato alla soluzione dell’equazione V(i) = 0. Esistenza e unicità non garantite: la risoluzione di tale equazione infatti può condurre all’individuazione di:  nessuna radice  una radice  più radici. Di queste non tutte possiedono un significato finanziario, pertanto sarà compito dell’utilizzatore verificare l’accettabilità dei risultati, in particolare la loro compatibilità con le reali situazioni di mercato.

Esempio V (i*) = – 1.500 + 100 (1 +i )–1 + 2000 (1 + i )– 2 = 0 1.500 100 2000 Euro ||| 0 1 2 t V (i*) = – 1.500 + 100 (1 +i )–1 + 2000 (1 + i )– 2 = 0 Non accettabile accettabile

Esempio 2 CA =  , tA= è minore di zero per ogni tasso di valutazione i. Quindi non esiste alcun i tale che VA(i) = 0.

Esempio 3 Flussi di Anni cassa -145 1 100 2 3 4 5 -275 Si verifica che VB(i) = 0 per i= 8,78% e i= 26,75%, entrambi finanziariamente accettabili.

Teorema di Levi Data un’operazione finanziaria che dà luogo ad uscite Us alle scadenze ts (s = 1, 2, ..., m), numerate in ordine crescente, e alle entrate Ek alle scadenze k (k = 1, 2, ..., n), numerate in ordine crescente, e tale che la somma delle entrate supera quella delle uscite, condizione sufficiente (ma non necessaria) di esistenza ed unicità del T.I.R. è che la scadenza media aritmetica delle uscite preceda la scadenza della prima entrata.

esempio 1.500 1.000 1.000 3.000 600 Euro ||||| 0 1 2 3 4 t 0,8< 1: la condizione posta dal Teorema di Levi è soddisfatta T.I.R.=38,24%.

Condiz. suff ma non necessaria! 1 2 3 -1500 1000 -2000 3000 1,14 > 1: la condizione posta dal Teorema di Levi non è soddisfatta ma T.I.R.=19,20%.

Teorema di Norstrom Condizione sufficiente: Indicando con S(t) il saldo in t di un’operazione finanziaria, se S(0) < 0 e se S cambia segno una sola volta, allora esiste un solo tasso  i > 0 per il quale V(i) = 0.

esempio -1500 1 1000 2 -2000 3 3000 4 600 S(0) = - 1.500, S(1) = - 500, S(2) = - 2.500, S(3) = + 500, S(4) = + 1.100 Poiché i saldi di cassa S(t) presentano un’unica inversione di segno, il Teorema di Norstrom garantisce che esiste un unico T.I.R. positivo.

Condizione sufficiente In particolare, una condizione sufficiente che garantisce l’unicità del T.I.R. è che l’ultima scadenza delle uscite preceda la prima scadenza delle entrate.

esempio Acquisto alla pari titolo a cedola fissa, tasso cedolare i: iC iC+C 1 2 3 n TIR = tasso cedolare i. E se fosse stato acquistato sopra o sotto la pari?

esercizi ACD: cap. 10 es.10.1, 10.2, 10.3, 10.6 punto a), 10.7 punto a), 10.8, 10.9, 10.11 punto a). BC: cap. 4 es. 1, 3 punto i), 4, 5, 6, 8, 9, 10.