Il lotto economico Il lotto economico nasce dalla teoria legata alla gestione a scorte dei materiali in cui la domanda deriva da stime previsionali (effettuate ad esempio ricavando i dati futuri dall'analisi dello storico) e non dalla esplosione di un piano di produzione come avviene invece per la gestione a fabbisogno (esempio MRP).

Esistono due modelli di lotto economico a seconda che si consideri: Il dimensionamento degli ordini d'acquisto di materia prima verso il fornitore, qualora il livello di scorte a magazzino scenda sotto il livello del punto di riordino (per evitare blocchi di produzione). modello del lotto economico di acquisto (EOQ)

modello del lotto economico di produzione (EMQ) Il dimensionamento dei lotti di produzione da processare sulle macchine qualora il prodotto sia realizzato internamente. modello del lotto economico di produzione (EMQ)

Modello Economic Order Quantity (EOQ) Sviluppato da F.W. Harris, 1913 risponde a due quesiti quando ordinare quanto ordinare domanda Indipendente I materiali a domanda dipendente sono quelli che rientrano nella distinta base di un qualsiasi prodotto, dipendono dal piano generale di produzione che è stato formulato, ovvero la domanda di tali prodotti dipende dalla domanda di altri beni; tutti gli altri sono a domanda indipendente (olio da taglio, lubrificante refrigerante). il materiale a domanda indipendente: lo possono essere i prodotti finiti (il loro fabbisogno non dipende dalle modalità di gestione della produzione o comunque da decisioni aziendali).

EOQ Ipotesi Domanda nota e costante nel tempo Prezzo unitario di acquisto costante per ogni dimensione del lotto ordinato e nel periodo considerato Lead time di riordino noto e costante Costi di stoccaggio unitari costanti L’ordine emesso è inserito a scorta interamente non appena è stato ricevuto

EOQ Ipotesi Non si considera la possibilità di avere rotture di stock (equivale a fissare un costo infinito alla rottura di stock) Possono essere trasportati lotti di qualunque dimensione senza che questo influenzi i costi di trasporto, L’ordine emesso può essere di dimensione qualunque.

EOQ Obiettivi Il lotto economico di acquisto rappresenta il numero di unità di singolo articolo che dovrebbe essere specificato ogni volta che si emette un ordine, al fine di minimizzare i costi totali: Costi di acquisto Costi di emissione di un ordine Costi di mantenimento a scorta dei beni

EOQ Costi totali Costi di mantenimento Costo d’acquisto Costi di ordinazione QOPT Quantità da ordinare Q

costo totale d’acquisto (Ca) Voci di costo per EOQ costo totale d’acquisto (Ca) è pari al prodotto di p (prezzo) per la quantità acquistata D (uguale alla domanda) e non dipende quindi dalla dimensione del lotto: Ca = pD

costo di ordinazione (Co) Voci di costo per EOQ costo di ordinazione (Co) Es.: Costi di ricerca e selezione dei fornitori Costi amministrativi legati alla preparazione dell’ordine Costi amministrativi legati alle procedure di pagamento del fornitore

costo di ordinazione (Co) Voci di costo per EOQ costo di ordinazione (Co) se la grandezza del lotto è pari a Q e se ordino D unità avrò che il numero di ordini è pari a D/Q se Co il costo unitario di ordinazione allora il costo totale di ordinazione sarà:

costo di mantenimento (Cm) Voci di costo per EOQ costo di mantenimento (Cm) Due categorie principali: 1. Costi tangibili di mantenimento – Costi operativi emergenti con la gestione delle scorte in uno spazio fisico determinato. Costi di affitto del magazzino, costi di assicurazione, costi legati alla movimentazione fisica, costi di obsolescenza 2. Costi opportunità legati all’investimento di capitale nelle giacenze

Voci di costo per EOQ costo di mantenimento (Cm) Q/2 = quantità media a giacenza Tempo Giacenza Q Q/2

costo di mantenimento (Cm) Voci di costo per EOQ costo di mantenimento (Cm) è pari a: In cui cS è il costo di un euro messo a scorta per un anno

costo totale Dove: p è il prezzo di acquisto di un’unità del singolo bene D è la domanda annua co è il costo di emissione di un singolo ordine cS è il costo di un euro messo a scorta per un anno Q è la quantità ordinata con un singolo ordine

EOQ Per trovare il minimo della funzione di costo totale è necessario derivare Ctot rispetto a Q e porre la derivata uguale a zero 12 12

È possibile calcolare l’intervallo ottimo di riordino, il costo totale ottimo e il numero ottimo di ordine emessi in un anno:

Esempio Un commerciante deve decidere la quantità da tenere a scorta di un certo prodotto a fronte delle seguenti condizioni: D (domanda annuale) = 10.000 unità Valore unitario del prodotto = 24 euro Costo di mantenimento = 30% del valore unitario Costo unitario di ordinazione= 50 euro Giorni lavorativi = 250 giorni all’anno Calcolare: il lotto economico (EOQ) L’intervallo ottimo di riordino (TBO-Time between orders) Costi totali.

Risoluzione

Modello EOQ con sconti quantità Tra le ipotesi più restrittive fatte per la derivazione dell’EOQ c’è quella dell’indipendenza del prezzo unitario dalla quantità ordinata. In realtà infatti in molte situazioni reali ciò non accade, e si è in presenza spesso di sconti sulle quantità ordinate (sconti sul prezzo di acquisto oltre un certo quantitativo). Ciò può facilmente accadere quando si devono considerare eventuali costi di trasporto.

Modello EOQ con sconti quantità

Modello EOQ con sconti quantità

Modello EOQ con sconti quantità ∀ Q: CTk(Q) < CTk-1(Q) <… < CT1(Q) Se EOQi è ammissibile, allora il costo minimo per bi-1 ≤ Q < bi si ottiene per Q = EOQi. Se EOQi < bi-1, allora il costo minimo per bi-1 ≤ Q < bi si ottiene per Q = bi-1; se EOQi > bi, allora il costo minimo per bi-1 ≤ Q < bi si ottiene per Q =bi Se EOQi è ammissibile, allora CT(Q) non può essere minimizzato in corrispondenza di una quantità Q con prezzo unitario superiore a pi.

Esempio Il costo di emissione ordine è pari $49 per ciascun ordine. La domanda annua (D) è 5000 units, Il costo unitario di mantenimento è in percentuale (cs=0.20) del prezzo del prodotto (p).

Question: Quale è la quantità da ordinare che mi minimizza I costi Answer: Step 1: Compute Q* for every discount range.

Esempio

Esempio Step 2: modificare i valorei di Q* che sono al di fuori dei range ammissibili Per Q1 il range ammissibile è 0-999. Q1* = 700 è all’interno del range e non deve essere modificato.

Esempio Per Q2, il range ammissibile è 1000-1999. Q2* = 714 non è nel range (Q2* non è ammissibile), quindi modifichiamo il valore con il più basso valore ammissibile, che è Q2* = 1000. - Per Q3, il range è 2000-. Q3* = 718 non è nel range, quindi modifichiamo il valore con il più basso valore ammissibile, che è Q3* = 2000.

Esempio Step 3: Confrontiamo il costo totale per ciascuna delle quantità ordinate(Q*)

Esempio Step 4: Un ordine di 1000 units minimizzerà il costo totale.

Modello EOQ con backorders introdotto il caso di rottura di stock È il caso in cui i clienti sono disposti ad accettare dilazioni nella consegna dei beni rispetto alla data richiesta, ma ogni ritardo nella consegna ha un costo. È opportuno modificare il modello per tener conto dei maggiori costi che occorrono per evadere un ordine posticipato

Modello EOQ con backorders La domanda non può essere completamente soddisfatta dalla merce disponibile in magazzino Ammanco (stock out) di merce richiesta ma non disponibile Backorders: la domanda sarà immediatamente soddisfatta all’arrivo di nuova merce in magazzino Si tiene traccia di tutte le richieste di merce giunte al magazzino e non soddisfatte Costo (unitario) di ammanco (cso)

Modello EOQ con backorders Viene emesso un ordine di Q unità quando il livello di scorta disponibile raggiunge il lvello di riordino Nel momento in cui la quantità ordinata arriva viene ripristinata la quantità max presente in magazzino pari a M; Q-M (quantita da evadere in ritardo) viene inviata con maggiori costi ai clienti. t1 t2

Costo di stoccaggio Cm = cs *p*M/2*t1= cs *p*M2/2D Essendo t1 = M/D

Costo di stockout perdite dovute all’incapacità di soddisfare la domanda. È proporzionale al tempo tempo di ritardo. Cso = cso*p*(Q-M)*t2/2 = cso*p*(Q-M)2/2D Essendo t2=(Q-M)/D cso=è il costo di stockout per una unità per un anno

Ctot Il costo totale di un singolo periodo di durata T risulta essere:

Ctot Essendoci in un anno un numero di peridi T pari a D/Q ne deriva un costo annuo totale pari a: dove cuSO è il costo di stock out per un unità per un anno

Qott e Mott Si determinano i valori ottimi di Q e M derivando l’espressione del costo totale una volta rispetto a Q e una volta rispetto a M per poi uguagliare a zero le espressioni cosi ricavate, ottenendo:

osservazioni Facendo tendere il costo di rottura di stock unitario a infinito, condizione che è verificata per il modello base, si ottiene l’espressione del lotto economico di acquisto del modello base. È possibile calcolare il valore max di tempo che un cliente deve attendere come rapporto tra (Q-M) e D, in questo modo è possibile valutare se tale ritardo è accettabile.

Lotto economico di produzione

EPQ (o EMQ) Si considera che gli ordini possono essere ricevuti gradualmente in un determinato periodo di tempo. l’approvigionamento per l’ordine non arriva immediatamente. Ciò avviene quando: 1. gli ordini vengono consegnati come flussi continui in un determinato periodo di tempo. 2. le unità in scorta sono prodotte dall’azienda.

Nel modello EPQ si considera che occorre un certo tempo per produrre le quantità richieste. Quindi rp è il tasso di produzione ed rc è il tasso di consumo, (espressi in quantità per unità di tempo). tp è la lunghezza del periodo di produzione in giorni

EPQ - Ipotesi di base rp > rc : in caso contrario la produzione non sarebbe sufficiente a soddisfare la domanda; La produzione continua per tutto il periodo tp, dopodiché le scorte decrescono in base al tasso di domanda; Quando le scorte raggiungono il livello 0 si riprende la produzione.

PRODUCTION ORDER QUANTITY Livello delle scorte nel tempo rp > rc rp = 0 rc ≠ 0

Q1 rp - rc Q è la quantità di prodotto da realizzare Inventory Time rp - rc tp tc Q/ rp Q/ rc Q1 Q è la quantità di prodotto da realizzare rp è il tasso di produzione rc è il tasso di consumo tp è il tempo in cui sarà prodotta la quantità Q di prodotto da realizzare

Costo di produzione e di set up Costi fissi di produzione= p*D Costi di set up (ordinazione) = csu * D/Q (costo unitario di set up per il numero di set up nell’intervallo di tempo)

Valore massimo della scorta Q1 Costo di mantenimento Valore massimo della scorta Q1 Durante il periodo di produzione si ha anche consumo, quindi le scorte aumentano in ragione della differenza dei tassi di produzione e di consumo per cui si ottiene un valore massimo della scorta pari a: Q1 = (rp – rc)*tp= (rp – rc)*Q/ rp

Scorta media

Costo totale Dove: p è il costo da imputare alla produzione di un singolo prodotto csu è il costo unitario di set up Q è la quantità di prodotto da produrre D è la domanda annua

Qott Per determinare la dimensione ottima del lotto da produrre si dovrà derivare la funzione Ctot rispetto a Q e porre la derivata uguale a zero. dCtot (Q) = 0

osservazione Al tendere di rp a infinito, limite teorico che equivale alla condizione di produzione immediata di ogni quantità ordinata (prodotta), si ricade nel EOQ. La durata ottima del lancio di produzione risulta essere: Qott/rp

EPQ con backorders Anche nel caso di lotto economico di produzione il modello può essere modificato per tenere conto della possibilità di andare in rottura di stock.

“Make or Buy” Dal confronto tra lotto economico di acquisto e lotto economico di produzione è possibile ottenere informazioni in merito alla convenienza tra produrre internamente o decidere di far eseguire a terzi la produzione di uno o più beni.

Esercizio Il responsabile di un impianto di imbottigliamento deve decidere la dimensione dei lotti da lanciare in produzione per ciascun tipo di bevanda. Dati: La domanda è di 80000 bottiglie al mese In ogni mese sono disponibili 160 ore di produzione. La linea di imbottigliamento ha un ritmo di 3000 bottiglie/ora Il costo di ogni set-up è pari a 100 € Il costo di mantenimento unitario (per ogni bottiglia è pari a 0,1 €/mese.

Risoluzione D=80000 bottiglie/mese rc= 80000 /160= 500 bott/ora