GEOMETRIA DOMANDE STIMOLO: Perché, per andare da Milano a Los Angeles, i voli aerei intercontinentali sorvolano la Groenlandia (cioè, perché per andare poco più a sud di Milano conviene andare così a nord?) Un cacciatore di orsi trova le tracce di un orso e le segue per un lungo tragitto. Si trova a percorrere un tragitto di un chilometro in direzione sud, poi l’orso devia di 90° e percorre un chilometro in direzione est, poi svolta un’altra volta di 90° e percorre un chilometro in direzione nord. Alla fine di questo tragitto il cacciatore si ritrova al punto di partenza. La domanda è: di che colore è l’orso? (risposta: l’orso è bianco, perché l’unico punto sulla terra in cui può esistere un triangolo con due angoli retti è il polo Nord) Perché nel reticolo autostradale delle cartine degli stati uniti le strade in direzione nord-sud presentano degli angoli e non sono diritte per tutto il loro percorso?

si dimostrano e sono costituiti da: OGGETTI E REGOLE sono gli elementi di cui si occupa la geometria OGGETTI PRIMITIVI non si definiscono: PUNTO (indicato con P,R,S…) RETTA (indicata con r,s,v,t…) PIANO (indicato con lettere greche) OGGETTI DERIVATI si definiscono: SPAZIO è l’insieme di tutti i punti FIGURA GEOMETRICA: è un sottoinsieme dello spazio sono proposizioni su cui si fonda la geometria (e che permettono di generare nuove proposizioni) ASSIOMI non si definiscono: Sono proposizioni “degne” di fiducia che vengono assunte vere e riguardano gli enti primitivi TEOREMI si dimostrano e sono costituiti da: IPOTESI: è la premessa, cioè una proposizione sempre vera TESI: è la conseguenza, cioè la proposizione di cui si deve accertare la verità DIMOSTRAZIONE: è l’insieme dei ragionamenti che si devono fare per giungere dalla verità dell’ipotesi alla verità della tesi

ASSIOMI DELLA RETTA due punti distinti dello spazio appartengono ad una ed una sola retta Se due punti di una retta appartengono ad un piano, anche tutti gli altri punti appartengono a quel piano Alla retta appartengono infiniti punti: essa è illimitata e densa. La retta si può orientare, cioè su di essa si può fissare un verso di percorrenza.

POSIZIONI RECIPROCHE DI DUE RETTE NEL PIANO Rette prive di punti di intersezione: si dicono parallele distinte Rette aventi un unico punto di intersezione: si dicono incidenti o secanti Rette con infiniti punti di intersezione: si dicono parallele coincidenti o sovrapposte

SEGMENTI si definisce semiretta l’insieme di punti: una retta orientata contiene certamente un punto A si definisce semiretta l’insieme di punti: A (ORIGINE) e tutti i punti che precedono (o seguono) A una retta orientata contiene certamente due punti: nell’ordine A, B si definisce segmento l’insieme di punti: A, B (ESTREMI) e tutti i punti che precedono B e seguono A. SEGMENTI CONSECUTIVI due segmenti sono consecutivi se hanno in comune solo un estremo SEGMENTI ADIACENTI due segmenti sono adiacenti se sono consecutivi e, in più, appartengono alla stessa retta

La dimostrazione “per assurdo” In una dimostrazione “per assurdo”, anziché passare direttamente dall’ipotesi del teorema alla tesi attraverso dei ragionamenti i  t si procede così: si nega la tesi, cioè si dice che è falsa, si conducono delle deduzioni (ragionamenti conseguenti alla falsità della tesi), si giunge ad una contraddizione, per es. ad affermare una frase che è in contrasto con un assioma o un teorema già dimostrato, poiché gli assiomi sono stati accettati come veri e i teoremi sono stati dimostrati veri, essi non possono essere falsi, in questo modo di procedere, l’unica cosa errata è aver detto che la tesi era falsa, dunque la tesi deve essere vera. non t  non i

Teorema: IPOTESI: due rette distinte nel piano, TESI: hanno al massimo un punto in comune la dimostrazione procede “per assurdo”: si nega la tesi, le rette non hanno al massimo un punto in comune (0,1) deduzione 1: devono averne almeno due distinti poiché esiste un assioma che afferma: “per due punti distinti del piano passa una e una sola retta” e poiché tale assioma è stato accettato come vero, esso non può essere falso, contraddizione con l’ipotesi: se la retta è una e una sola, allora non sono due rette distinte, cosa affermata nell’ipotesi l’affermazione errata consiste nell’aver detto che le rette avevano più di un punto in comune dunque la tesi deve essere vera

ASSIOMA DI PARTIZIONE DEL PIANO ASSIOMI DEL PIANO Tre punti dello spazio non appartenenti alla stessa retta (non allineati), appartengono ad uno ed un solo piano Al piano appartengono infiniti punti e infinite rette un piano contiene certamente una retta, essa lo suddivide in due regioni di punti dette SEMIPIANI di cui la retta è BORDO o FRONTIERA ASSIOMA DI PARTIZIONE DEL PIANO Se due punti A B del piano appartengono allo stesso semipiano  il segmento che li congiunge non ha punti in comune con la frontiera Se due punti A B del piano appartengono a semipiani diversi  il segmento che li congiunge ha un punto in comune con la frontiera

ANGOLI due semirette aventi l’origine in comune suddividono il piano in due parti: si definisce angolo ciascuna di queste due parti, si definiscono lati dell’angolo le semirette e vertice la loro comune origine. Un angolo convesso non contiene i prolungamenti dei suoi lati Un angolo concavo li contiene ANGOLI CONSECUTIVI due angoli sono consecutivi se hanno in comune il vertice ed un lato, avendo gli altri due lati in semipiani opposti rispetto al lato comune ANGOLI ADIACENTI due angoli sono adiacenti se sono consecutivi e, in più, i lati non comuni appartengono alla stessa retta

cioè sovrapponibili punto a punto LA CONGRUENZA NEL PIANO ESISTE LA POSSIBILITA’ DI EFFETTUARE UN MOVIMENTO RIGIDO CHE NON DEFORMI LE FIGURE tale movimento permette di definire FIGURE CONGRUENTI, cioè sovrapponibili punto a punto PROPRIETà DELLA CONGRUENZA: (simbolo: ) p. riflessiva: ogni figura è congruente a sè stessa p. simmetrica: se la figura f1 è congruente alla figura f2, allora la fig. f2 è congruente alla figura f1 p. transitiva: se la figura f1 è congruente alla figura f2 e la figura f2 è congruente alla figura f3, allora la fig. f1 è congruente alla figura f3

Figure congruenti Le rette sono congruenti fra loro Le semirette sono congruenti fra loro I piani sono congruenti fra loro I semipiani sono congruenti fra loro

POLIGONI E TRIANGOLI SPEZZATA: linea costituita da più segmenti consecutivi fra loro può essere: chiusa, aperta semplice, intrecciata Poligono è la figura formata da una una poligonale (spezzata chiusa non intrecciata) e da tutti i punti della parte FINITA di piano delimitata dalla poligonale P. convesso se il segmento avente per estremi due punti del poligono è interamente contenuto nel poligono Angolo interno: ha per vertice un vertice del p. e per lati le semirette dei lati uscenti da quel vertice Angolo esterno: ciascun angolo adiacente ad un angolo interno (ce ne sono due congruenti per ogni angolo interno) Corda: segmento che unisce due punti qualsiasi del contorno (perimetro) non appartenenti allo stesso lato Diagonale: ogni corda che unisce due vertici non consecutivi

TRIANGOLI (poligoni di tre lati) E CRITERI DI CONGRUENZA CLASSIFICAZIONE RISPETTO AI LATI: SCALENO: tutti i lati diversi ISOSCELE: due lati congruenti (lati obliqui, una base) EQUILATERO: tre lati congruenti Bisettrice di un angolo: è la semiretta uscente dal vertice dell’angolo, ma anche il segmento di bisettrice che ha un estremo appartenente al lato opposto. Mediana di un lato: è il segmento che congiunge un vertice con il punto medio del lato opposto. PRIMO CRITERIO DI CONGRUENZA: Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti due lati e l’angolo fra essi compreso, allora i triangoli sono congruenti SECONDO CRITERIO DI CONGRUENZA: Se due triangoli hanno un lato e gli angoli ad esso adiacenti ordinatamente congruenti, , allora i triangoli sono congruenti TERZO CRITERIO DI CONGRUENZA: Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti i tre lati, allora i triangoli sono congruenti QUARTO CRITERIO DI CONGRUENZA: Se due triangoli hanno due angoli e il lato opposto ad uno di essi ordinatamente congruenti, allora i triangoli sono congruenti